Matematică mate-info, sesiunea iunie-iulie 2024

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 2lg100 + lg2 + lg5 = 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   2lg100 + lg2 + lg5 = 2 · 2 + lg10 = - 3p = 4 + 1 = 5 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x − 6. Determinați numărul real a pentru care f(a) + f(3a) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   f(a) = a − 6, f(3a) = 3a − 6 - 3p a − 6 + 3a − 6 = 0, de unde obținem a = 3 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5³ˣ · 5² = 5ˣ.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   3. 5^(3x+2) = 5ˣ, de unde obținem 3x + 2 = x - 3p x = −1 - 2p

4. 4. Determinați câte submulțimi cu două elemente, ambele numere pare, are mulțimea A = {1, 2, 4, 6, 8, 9}.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 6

   În mulțimea A sunt 4 numere pare - 2p Sunt C₄² = 4!/(2! · 2!) = 6 submulțimi cu două elemente, ambele numere pare - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3,1) și B(3,0). Determinați coordonatele punctului C pentru care AC⃗…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: C(6,1)

   5. AC⃗ = (x_C − 3)i⃗ + (y_C − 1)j⃗, OB⃗ = 3i⃗ - 3p (x_C − 3)i⃗ + (y_C − 1)j⃗ = 3i⃗, de unde obținem x_C = 6 și y_C = 1 - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu aria egală cu 18 și B = π/4. Arătați că AB = 6.

   −+din 5
   Arată baremul

   AB = AC - 2p (AB·AB)/2 = 18, deci AB² = 36, de unde obținem AB = 6 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(M(1)) = 7.

   −+din 5
   Arată baremul

   M(1) = ⎛ 1  0  0 ⎞
          ⎜ 0  3  1 ⎟
          ⎝ 0  2  3 ⎠

   ⇒ det(M(1)) = | 1 0 0 | | 0 3 1 | | 0 2 3 | = - 2p = 9 + 0 + 0 − 0 − 0 − 2 = 7 - 3p

2. 1. b) Determinați numărul real x pentru care M(x)·M(2) = M(x − 1).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   M(2) = ⎛ 2  0  0 ⎞
          ⎜ 0  4  2 ⎟
          ⎝ 0  4  4 ⎠,
   M(x)·M(2) = ⎛ 2x     0       0   ⎞
               ⎜  0   8x + 8  6x + 4 ⎟
               ⎝  0  12x + 8  8x + 8 ⎠,

   pentru orice număr real x - 3p

   ⎛ 2x     0       0   ⎞   ⎛ x − 1    0       0   ⎞
   ⎜  0   8x + 8  6x + 4 ⎟ = ⎜   0    x + 1   x − 1 ⎟
   ⎝  0  12x + 8  8x + 8 ⎠   ⎝   0   2x − 2   x + 1 ⎠,

   de unde obținem x = −1 - 2p

3. 1. c) Determinați numerele naturale n pentru care 2det(M(n)) ≤ det(M(2n)).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: n ∈ {0, 1}

   det(M(n)) = n(−n² + 4n + 4), det(M(2n)) = 2n(−4n² + 8n + 4), pentru orice număr natural n - 2p 2n(−n² + 4n + 4) ≤ 2n(−4n² + 8n + 4), de unde obținem n²(3n − 4) ≤ 0 și, cum n este număr natural, obținem n = 0 și n = 1 - 3p

4. 2. a) Arătați că f(2) = 0, pentru orice număr real a.

   −+din 5
   Arată baremul

   f(2) = 2³ − 2·2² − a·2 + 2a = - 3p = 8 − 8 − 2a + 2a = 0, pentru orice număr real a - 2p

5. 2. b) Pentru a = 1, arătați că polinomul f este divizibil cu polinomul g = X + 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   f = X³ − 2X² − X + 2 ⇒ f(−1) = (−1)³ − 2(−1)² − (−1) + 2 = - 3p = −1 − 2 + 1 + 2 = 0, deci polinomul f este divizibil cu polinomul g = X + 1 - 2p

6. 2. c) Determinați a ∈ (0, +∞) pentru care |x₁| + |x₂| + |x₃| = 8, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 9

   f = (X − 2)(X² − a); x₁ = 2 și |x₂| = |x₃| = √a, deci |x₁| + |x₂| + |x₃| = 2 + 2√a - 3p 2 + 2√a = 8, de unde obținem a = 9 - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 2(x − 1)(eˣ + 1), x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = eˣ(2x − 4) + 2eˣ + 2x − 2 = - 3p = eˣ(2x − 2) + 2x − 2 = 2(x − 1)(eˣ + 1), x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Arătați că lim_{x→0} f(x)/(1 − eˣ) = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   Cum lim_{x→0} f(x) = 0, rezultă lim_{x→0} f(x)/(1 − eˣ) = lim_{x→0} f′(x)/(1 − eˣ)′ = - 3p = lim_{x→0} [2(x − 1)(eˣ + 1)/(−eˣ)] = 4 - 2p

3. 1. c) Arătați că ecuația f(x) = 0 are exact două soluții.

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = 0 ⇔ x = 1; pentru orice x ∈ (−∞, 1), f′(x) < 0, deci f este strict descrescătoare pe (−∞, 1) și, pentru orice x ∈ (1, +∞), f′(x) > 0, deci f este strict crescătoare pe (1, +∞) - 2p lim_{x→−∞} f(x) = +∞, f(1) = 3 − 2e < 0, lim_{x→+∞} f(x) = +∞ și f este continuă, deci ecuația f(x) = 0 are exact două soluții - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₃⁴ f(x)(3x² + 1) dx = 14.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) ∫₃⁴ f(x)(3x² + 1) dx = ∫₃⁴ 4x dx = [2x²]₃⁴ = - 3p = 32 − 18 = 14 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀¹ f(x) dx = (4/3) ln 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. b) ∫₀¹ f(x) dx = ∫₀¹ 4x/(3x² + 1) dx = (2/3)∫₀¹ (3x² + 1)′/(3x² + 1) dx = [(2/3) ln(3x² + 1)]₀¹ = - 3p = (2/3) ln 4 − (2/3) ln 1 = (4/3) ln 2 - 2p

6. 2. c) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g: (0,+∞) → ℝ, g(x) = (4 ln x)/f(x), axa Ox și…

   −+din 5
   Arată baremul

   2. c) g(x) = ((3x² + 1) ln x)/x, x ∈ (0,+∞), deci A = ∫₁ᵉ |g(x)| dx = ∫₁ᵉ (3x + 1/x) ln x dx = ∫₁ᵉ (3x²/2)′ ln x dx + [(ln x)²/2]₁ᵉ = - 3p = 3[(x² ln x)/2 − x²/4]₁ᵉ + 1/2 = 3e²/4 + 3/4 + 1/2 = (3e² + 5)/4 - 2p