Matematică mate-info, model de subiect 2024

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 2(1−2i)+i(4+i)=1, unde i²=−1.

   −+din 5
   Arată baremul

   2(1−2i)+i(4+i)=2−4i+4i+i²= - 3p =2+(−1)=1 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f: ℝ → ℝ, f(x)=x²+ax−a, unde a este număr real. Determinați numărul real a pentru care punctul…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -6

   f(3)=−3 ⇒ 9+3a−a=−3 - 3p a=−6 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₂(x² + 8) = log₂(8 − 2x).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = −2 sau x = 0

   x² + 8 = 8 − 2x, de unde obținem x² + 2x = 0 - 3p x = −2 sau x = 0, care convin - 2p

4. 4. Determinați câte numere naturale de două cifre distincte, cu cifra zecilor pară, se pot forma cu elementele mulțimii…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 8

   Cifra zecilor se poate alege în 2 moduri - 2p Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților se poate alege în câte 4 moduri, deci se pot forma 2 · 4 = 8 numere - 3p

5. 5. În sistemul cartezian xOy se consideră punctele A(0,3) și B(4,0). Determinați coordonatele punctului C pentru care…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: C(4,3)

   O⃗A = 3j⃗, O⃗B = 4i⃗ - 2p O⃗C = 4i⃗+3j⃗, deci punctul C are coordonatele (4,3) - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABC, cu AB=5, C=π/4 și înălțimea AD=4. Arătați că BC=7.

   −+din 5
   Arată baremul

   DC=4 - 2p BD=3, deci BC=BD+DC=3+4=7 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(1)) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(1) = ⎛0   0  1⎞
          ⎜1  −1  1⎟
          ⎝1   0  0⎠

   ⇒ det(A(1)) = |0 0 1| |1 −1 1| |1 0 0| = - 2p = 0 + 0 + 0 − (−1) − 0 − 0 = 1 - 3p

2. 1. b) Arătați că A(a) · A(b) = A(a) − A(b) + I₃, pentru orice numere reale a și b.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(a) · A(b) = ⎛   1     0    0  ⎞
                 ⎜−b + a   1  a − b⎟
                 ⎝   0     0    1  ⎠ = - 3p
   = ⎛  0    0    0  ⎞   ⎛1  0  0⎞
     ⎜a − b  0  a − b⎟ + ⎜0  1  0⎟
     ⎝  0    0    0  ⎠   ⎝0  0  1⎠

   = A(a) − A(b) + I₃, pentru orice numere reale a și b - 2p

3. 1. c) Determinați matricea X ∈ M₃(ℝ) pentru care A(1) · X · A(0) = I₃.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: X = ⎛1 0 0⎞ ⎜1 1 1⎟ ⎝0 0 1⎠

   (A(1))⁻¹ = A(1), (A(0))⁻¹ = A(0) - 2p X = (A(1))⁻¹ · (A(0))⁻¹, de unde obținem

   X = ⎛1  0  0⎞
       ⎜1  1  1⎟
       ⎝0  0  1⎠ - 3p

4. 2. a) Arătați că 3 ∘ 5 = 3, pentru orice m ∈ (0, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   3 ∘ 5 = m(3 − 3)(5 − 3) + 3 = - 3p = m · 0 · 2 + 3 = 3, pentru orice m ∈ (0, +∞) - 2p

5. 2. b) Pentru m = 2, arătați că e = 7/2 este elementul neutru al legii de compoziție „∘”.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∘ (7/2) = 2(x − 3)(7/2 − 3) + 3 = x − 3 + 3 = x, pentru orice x ∈ M - 2p (7/2) ∘ x = 2(7/2 − 3)(x − 3) + 3 = x − 3 + 3 = x, pentru orice x ∈ M, deci e = 7/2 este elementul neutru al legii de compoziție „∘” - 3p

6. 2. c) Se consideră funcția f : M → M, f(x) = 3 + √(x − 3). Pentru m = 1, arătați că f(x ∘ y) = f(x) ∘ f(y), pentru orice x,…

   −+din 5
   Arată baremul

   f(x ∘ y) = 3 + √((x − 3)(y − 3) + 3 − 3) = 3 + √((x − 3)(y − 3)) = - 2p = 3 + (3 + √(x − 3) − 3)(3 + √(y − 3) − 3) = (f(x) − 3)(f(y) − 3) + 3 = f(x) ∘ f(y), pentru orice x, y ∈ M - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x)=((x−1)²+xe⁻ˣ)/(x−1)², x∈(1,+∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x)=1−(−e⁻ˣ(x−1)−e⁻ˣ)/(x−1)²= - 3p =1+xe⁻ˣ/(x−1)²=((x−1)²+xe⁻ˣ)/(x−1)², x∈(1,+∞) - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y=x

   lim_{x→+∞} f(x)/x = lim_{x→+∞} (1−e⁻ˣ/(x(x−1)))=1 - 3p lim_{x→+∞} (f(x)−x) = lim_{x→+∞} (−e⁻ˣ/(x−1))=0, deci dreapta de ecuație y=x este asimptota oblică spre +∞ la graficul funcției f - 2p

3. 1. c) Demonstrați că funcția f este bijectivă.

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x)>0, pentru orice x∈(1,+∞) ⇒ f este strict crescătoare pe (1,+∞), deci f este injectivă - 2p lim_{x→+∞} f(x)=+∞, lim_{x→1} f(x)=−∞ și f este continuă, deci f este surjectivă, de unde obținem că f este bijectivă - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₁³ f(x)(x² + 1)² dx = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al III-lea, 2. a) ∫₁³ f(x)(x² + 1)² dx = ∫₁³ x dx = [x²/2]₁³ = - 3p = 9/2 − 1/2 = 4 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀¹ f(x) dx = 1/4.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al III-lea, 2. b) ∫₀¹ f(x) dx = ∫₀¹ x/(x² + 1)² dx = (1/2)∫₀¹ (x² + 1)′/(x² + 1)² dx = −(1/2)·[1/(x² + 1)]₀¹ = - 3p = −1/4 + 1/2 = 1/4 - 2p

6. 2. c) Pentru fiecare număr natural nenul n, se consideră numărul Iₙ = ∫₀¹ xⁿ√(xf(x)) dx. Arătați că Iₙ − Iₙ₊₄ = 2/((n +…

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al III-lea, 2. c) Iₙ = ∫₀¹ xⁿ√(xf(x)) dx = ∫₀¹ xⁿ⁺¹/(x² + 1) dx, pentru orice număr natural nenul n - 2p Iₙ − Iₙ₊₄ = ∫₀¹ xⁿ⁺¹(1 − x⁴)/(x² + 1) dx = ∫₀¹ xⁿ⁺¹(1 − x²) dx = [xⁿ⁺²/(n + 2)]₀¹ − [xⁿ⁺⁴/(n + 4)]₀¹ = 1/(n + 2) − 1/(n + 4) = = 2/((n + 2)(n + 4)), pentru orice număr natural nenul n - 3p