Matematică mate-info, model de subiect 2025

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Se consideră numerele complexe z₁ = 4 + i și z₂ = 2 − 4i. Arătați că i · z₁ + z₂ = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   1. i · z₁ + z₂ = 4i + i² + 2 − 4i = - 3p = −1 + 2 = 1 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x² − 3x + 5. Determinați numerele reale a pentru care punctul A(a, 5) aparține…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = 0 sau a = 3

   Reguli generale:

   2. f(a) = 5, de unde obținem a² − 3a = 0 - 3p a = 0 sau a = 3 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₆(7x − 5) = log₆(x + 1) + 1/(logₓ 6).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 5

   Reguli generale:

   3. log₆(7x − 5) = log₆(x² + x), deci 7x − 5 = x² + x, de unde obținem x² − 6x + 5 = 0 - 3p x = 1, care nu convine, sau x = 5, care convine - 2p

4. 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/18

   Reguli generale:

   4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p În mulțimea numerelor naturale de două cifre, numerele 27, 45, 63, 81 și 99 sunt multiplii impari de 9, deci sunt 5 cazuri favorabile, de unde obținem p = 5/90 = 1/18 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2, 0), B(2, 4) și C(5, a), unde a este număr real. Determinați…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 6

   Reguli generale:

   5. m_OB = 2 - 2p m_AC = a/3 și, cum m_OB = m_AC, obținem a = 6 - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, cu AB = 6, BC = 10 și cos B = 4/5. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 18.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   6. sin B = 3/5 - 3p 𝒜_△ABC = (AB · BC · sin B)/2 = (1/2) · 6 · 10 · (3/5) = 18 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det A = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a) det A =

   │ 0   0  1│
   │−1   0  0│
   │ 0  −1  0│

   = 0·0·0 + (−1)·(−1)·1 + 0·0·0 − 1·0·0 − 0·(−1)·0 − 0·0·(−1) = - 3p = 0 + 1 + 0 − 0 − 0 − 0 = 1 - 2p

2. 1. b) Arătați că A − B(x)·A = xI₃, pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. b)

   B(x)·A = ⎛−x   0   1⎞
            ⎜−1  −x   0⎟
            ⎝ 0  −1  −x⎠,
   A − B(x)·A = ⎛x  0  0⎞
                ⎜0  x  0⎟
                ⎝0  0  x⎠ = - 3p
   = x ⎛1  0  0⎞
       ⎜0  1  0⎟
       ⎝0  0  1⎠

   = xI₃, pentru orice număr real x - 2p

3. 1. c) Pentru fiecare număr real x se consideră matricea C(x) astfel încât A·C(x) = B(x). Arătați că C(x) − C(y) = (y − x)A,…

   −+din 5
   Arată baremul

   1. c)

   A⁻¹ = ⎛0  −1   0⎞
         ⎜0   0  −1⎟
         ⎝1   0   0⎠,
   C(x) = A⁻¹·B(x) = ⎛0  −1  −x⎞
                      ⎜x   0  −1⎟
                      ⎝1   x   0⎠,

   pentru orice număr real x - 3p

   C(x) − C(y) = ⎛  0     0   −x+y⎞
                 ⎜x−y     0      0⎟
                 ⎝  0   x−y      0⎠

   = (y − x)A, pentru orice numere reale x și y - 2p

4. 2. a) Arătați că 1 ∗ 3 = 16.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. a) 1 ∗ 3 = 1² · 3 + 1 · 3² + 1 + 3 = - 3p = 3 + 9 + 4 = 16 - 2p

5. 2. b) Determinați numerele reale nenule x pentru care x ∗ (2/x) = 9x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = −1 sau x = 1

   Reguli generale:

   2. b) x ∗ (2/x) = (3x² + 6)/x, pentru orice număr real nenul x - 3p (3x² + 6)/x = 9x, de unde obținem x = −1 sau x = 1, care convin - 2p

6. 2. c) Determinați perechile (m, n) de numere întregi, cu m ≤ n, pentru care m ∗ n = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (m, n) ∈ {(0, 1), (−2, 1)}

   Reguli generale:

   2. c) m ∗ n = (m + n)(mn + 1), pentru orice numere întregi m și n - 2p (m + n)(mn + 1) = 1 și, cum m și n sunt numere întregi, cu m ≤ n, obținem perechile (0, 1) și (−2, 1) - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = (1 − 3 ln x)/x⁴, x ∈ (0,+∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a) f′(x) = ((1/x)·x³ − 3x² ln x)/x⁶ = - 3p = (x² − 3x² ln x)/x⁶ = (1 − 3 ln x)/x⁴, x ∈ (0,+∞) - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 0

   1. b) lim_{x→+∞} f(x) = lim_{x→+∞} (ln x)/x³ = lim_{x→+∞} (1/x)/(3x²) = 0 - 3p Dreapta de ecuație y = 0 este asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcției f - 2p

3. 1. c) Determinați mulțimea numerelor reale m pentru care ecuația f(x) = m are cel puțin o soluție.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (−∞,1/(3e)]

   1. c) f′(x) = 0 ⇒ x = ∛e; pentru orice x ∈ (0,∛e], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe (0,∛e] și, pentru orice x ∈ [∛e,+∞), f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [∛e,+∞) - 2p lim_{x→0} f(x) = −∞, f(∛e) = 1/(3e) și f este continuă, deci mulțimea numerelor reale m pentru care ecuația f(x) = m are cel puțin o soluție este (−∞,1/(3e)] - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₁⁴ (f(x) − eˣ) dx = 18.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. a) ∫₁⁴ (f(x) − eˣ) dx = ∫₁⁴ (x² − 1) dx = (x³/3 − x)|₁⁴ = - 3p = 64/3 − 4 − (1/3 − 1) = 18 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₁² eˣ/(f(x) − x²) dx = ln(e + 1).

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. b) ∫₁² eˣ/(f(x) − x²) dx = ∫₁² eˣ/(eˣ − 1) dx = ∫₁² (eˣ − 1)′/(eˣ − 1) dx = ln(eˣ − 1)|₁² = - 3p = ln(e² − 1) − ln(e − 1) = ln(e + 1) - 2p

6. 2. c) Demonstrați că ∫₀¹ x/(f(x) + 1) dx ≤ 1 − 2/e.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. c) ∫₀¹ x/(f(x) + 1) dx = ∫₀¹ x/(eˣ + x²) dx și, cum eˣ + x² ≥ eˣ, pentru orice x ∈ [0, 1], obținem relația ∫₀¹ x/(f(x) + 1) dx ≤ ∫₀¹ xe⁻ˣ dx - 3p ∫₀¹ xe⁻ˣ dx = ∫₀¹ x(−e⁻ˣ)′ dx = −e⁻ˣ(x + 1)|₀¹ = 1 − 2/e, deci ∫₀¹ x/(f(x) + 1) dx ≤ 1 − 2/e - 2p