Matematică mate-info, model de subiect 2026

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Determinați numărul real x pentru care numerele x, 8 și 2x + 1 sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 5

   1. (x + 2x + 1)/2 = 8 - 3p x = 5 - 2p

2. 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 1 și g : ℝ → ℝ, g(x) = x + 4. Determinați numărul real a pentru care (f…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -3

   g(a) = a + 4, (f ∘ g)(a) = 2a + 9, pentru orice număr real a - 3p 2a + 9 = −a, de unde obținem a = −3 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2log₅x = log₅(4x + 5).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 5

   log₅x² = log₅(4x + 5), de unde obținem x² − 4x − 5 = 0 - 2p x = −1, care nu convine sau x = 5, care convine - 3p

4. 4. Se consideră mulțimea A = {1, 3, 5, 7, 8}. Determinați câte numere naturale de două cifre distincte, cu cifra zecilor…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 16

   Cifra zecilor se poate alege în 4 moduri - 2p Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților se poate alege în câte 4 moduri, deci se pot forma 4 · 4 = 16 numere - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,5) și B(3,4). Determinați coordonatele punctului C pentru care…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: C(1,3)

   OA⃗ = 5j⃗, OB⃗ = 3i⃗ + 4j⃗, deci OA⃗ + OB⃗ = 3i⃗ + 9j⃗ - 3p OC⃗ = (1/3)(OA⃗ + OB⃗), de unde obținem OC⃗ = i⃗ + 3j⃗, deci C(1,3) - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, cu A = π/2, C = π/3 și AE = 2, unde E este punctul în care bisectoarea unghiului C…

   −+din 5
   Arată baremul

   6. ∠ECB = π/6 = ∠EBC, deci EB = EC, de unde obținem d(B,CE) = d(C,BE) = CA - 3p tg ∠ACE = AE/AC, deci 1/√3 = 2/AC, de unde obținem d(B,CE) = 2√3 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(0)) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(0) = ⎛ 0  0  −2 ⎞
          ⎜ 1  1   1 ⎟
          ⎝ 2  1  −2 ⎠
   ⇒ det(A(0)) = │0  0  −2│
                 │1  1   1│
                 │2  1  −2│ = - 2p

   = 0 − 2 + 0 + 4 − 0 − 0 = 2 - 3p

2. 1. b) Determinați mulțimea numerelor reale a pentru care matricea A(a) este inversabilă.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: ℝ ∖ {1, 2}

   det(A(a)) = │a  0  −2 │
               │1  1  1−a│
               │2  1  −2 │ = a² − 3a + 2, pentru orice număr real a - 2p

   det(A(a)) = 0 ⇔ a = 1 sau a = 2, deci matricea A(a) este inversabilă dacă și numai dacă a ∈ ℝ ∖ {1, 2} - 3p

3. 1. c) Pentru a = 2, arătați că x₀z₀ + y₀ ≥ 0, pentru orice soluție (x₀, y₀, z₀) a sistemului de ecuații, cu x₀, y₀ și z₀…

   −+din 5
   Arată baremul

   Pentru a = 2, soluțiile (x₀, y₀, z₀) cu x₀, y₀, z₀ ∈ ℝ sunt (α, 1, α − 2), cu α ∈ ℝ - 3p x₀z₀ + y₀ = (α − 1)² ≥ 0, pentru orice soluție (x₀, y₀, z₀) cu x₀, y₀, z₀ ∈ ℝ - 2p

4. 2. a) Arătați că 3 ∗ 5 = 7/4.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) 3 ∗ 5 = (3 · 5 − 1)/((3 − 1)(5 − 1)) = - 3p = 14/(2 · 4) = 7/4 - 2p

5. 2. b) Determinați x ∈ M pentru care x ∗ x = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   b) x ∗ x = (x² − 1)/(x − 1)² = (x + 1)/(x − 1), pentru orice x ∈ M - 3p (x + 1)/(x − 1) = 3, de unde obținem x = 2, care convine - 2p

6. 2. c) Demonstrați că (x ∗ 2) ∗ x > 2, pentru orice x ∈ M.

   −+din 5
   Arată baremul

   c) x ∗ 2 = (2x − 1)/(x − 1), deci (x ∗ 2) ∗ x = (2x² − 2x + 1)/(x(x − 1)) = - 3p = 2 + 1/(x(x − 1)) > 2, pentru orice x ∈ M - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = ((2 − x) ln x)/x, x ∈ (0,+∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) f′(x) = 1 + (2 ln x)/x − ln x − 1 = - 3p = (2 ln x − x ln x)/x = ((2 − x) ln x)/x, x ∈ (0,+∞) - 2p

2. 1. b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției f în care tangenta la graficul funcției f este paralelă…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1 și 2

   b) Tangenta la graficul funcției f în punctul A(a,f(a)) este paralelă cu axa Ox ⇔ f′(a) = 0, a ∈ (0,+∞) - 2p ((2 − a) ln a)/a = 0, de unde obținem a = 1 sau a = 2, care convin - 3p

3. 1. c) Demonstrați că ecuația f(x) = 0 are soluție unică.

   −+din 5
   Arată baremul

   c) Pentru orice x ∈ (0,1], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe (0,1], pentru orice x ∈ [1,2], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [1,2] și, pentru orice x ∈ (2,+∞), f′(x) < 0, deci f este strict descrescătoare pe (2,+∞) - 2p Cum f(1) = 1, lim_{x→+∞} f(x) = −∞ și f este continuă, obținem că ecuația f(x) = 0 are soluție unică - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₀³ (f(x) − √(x² + 4)) dx = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₀³ (f(x) − √(x² + 4)) dx = ∫₀³ (x² − 2) dx = [x³/3 − 2x]₀³ = - 3p = 9 − 6 = 3 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀^{√5} x/(f(x) − x² + 2) dx = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₀^{√5} x/(f(x) − x² + 2) dx = ∫₀^{√5} x/√(x² + 4) dx = ∫₀^{√5} (x² + 4)′/(2√(x² + 4)) dx = [√(x² + 4)]₀^{√5} = - 3p = 3 − 2 = 1 - 2p

6. 2. c) Demonstrați că lim_{x→0} (1/x²) ∫₀ˣ F(t) dt = 0, unde F : ℝ → ℝ este primitiva funcției f pentru care F(0) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   lim_{x→0} (1/x²) ∫₀ˣ F(t) dt = lim_{x→0} ((∫₀ˣ F(t) dt)′/(x²)′) = lim_{x→0} F(x)/(2x) = lim_{x→0} F′(x)/(2x)′ = - 3p = lim_{x→0} f(x)/2 = f(0)/2 = 0 - 2p