Matematică pedagogic, simulare 2021

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice (aₙ)ₙ≥₁, știind că a₁ = 1/2 și a₄ = 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 6

   5 = 1/2 + 3r ⇔ r = 3/2, unde r este rația progresiei - 2p a₁ + a₂ + a₃ = 3a₁ + 3r = 6 - 3p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + a − 2, unde a este număr real. Determinați numărul real a pentru care…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   f(1) = 2a − 2, f(−2) = −a − 2, pentru orice număr real a - 2p 2a − 2 − a − 2 = 0, deci a = 4 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 1 + log₆(2x + 6) = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 15

   log₆(2x + 6) = 2 ⇒ 2x + 6 = 6² - 3p 2x + 6 = 36 ⇒ x = 15, care convine - 2p

4. 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să poată fi scris…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3/10

   Sunt 10 de numere naturale de o cifră, deci sunt 10 cazuri posibile - 2p Sunt 3 numere naturale de o cifră care pot fi scrise sub forma n³, deci sunt 3 cazuri favorabile - 2p p = (nr. cazuri favorabile)/(nr. cazuri posibile) = 3/10 - 1p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,2), B(0,6), C(4,2) și punctul D, mijlocul segmentului BC.…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = x + 2

   D(2,4) - 2p Ecuația dreptei AD este y = x + 2 - 3p

6. 6. Calculați 2sin30°cos60° − cos120°.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   sin30° = 1/2, cos60° = 1/2, cos120° = −1/2 - 3p 2sin30°cos60° − cos120° = 2 · 1/2 · 1/2 + 1/2 = 1 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. Arătați că 2 ∗ (−5) = −2.

   −+din 5
   Arată baremul

   2 ∗ (−5) = ((2 − 1)(−5 − 1))/2 + 1 = - 3p = −3 + 1 = −2 - 2p

2. 2. Verificați dacă e = 3 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∗ 3 = ((x − 1)(3 − 1))/2 + 1 = x − 1 + 1 = x, pentru orice număr real x - 2p 3 ∗ x = ((3 − 1)(x − 1))/2 + 1 = x − 1 + 1 = x, pentru orice număr real x, deci e = 3 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

3. 3. Determinați numărul real a pentru care a ∗ 5 = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   a ∗ 5 = 2(a − 1) + 1 = 2a − 1, pentru orice număr real a - 3p 2a − 1 = 3, deci a = 2 - 2p

4. 4. Determinați valorile reale ale lui x pentru care x ∗ (1 − x) ≥ −5.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x ∈ [−3, 4]

   x ∗ (1 − x) = (−x² + x + 2)/2, pentru orice număr real x - 2p (−x² + x + 2)/2 ≥ −5 ⇔ −x² + x + 12 ≥ 0, de unde obținem x ∈ [−3, 4] - 3p

5. 5. Arătați că există o infinitate de numere naturale n pentru care numărul N = (√n + 1) ∗ (√n + 1) este natural par.

   −+din 5
   Arată baremul

   N = (√n + 1) ∗ (√n + 1) = n/2 + 1, pentru orice număr natural n - 2p De exemplu, pentru n = 4k + 2, unde k ∈ ℕ, obținem că N = 2(k + 1), care este număr natural par - 3p

6. 6. Determinați tripletele (m, n, p) de numere naturale, cu m < n < p, pentru care m ∗ n ∗ p = 8.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (2, 5, 8) și (2, 3, 15)

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al II-lea / 6. m ∗ n ∗ p = ((m − 1)(n − 1)(p − 1))/4 + 1, pentru orice numere naturale m, n și p - 3p ((m − 1)(n − 1)(p − 1))/4 + 1 = 8 ⇔ (m − 1)(n − 1)(p − 1) = 28 și, cum m, n și p sunt numere naturale, cu m < n < p, obținem tripletele (2, 5, 8) și (2, 3, 15) - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. Arătați că det A = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   det A = | 1 3| |−1 1| = 1 · 1 − (−1) · 3 = - 3p = 1 + 3 = 4 - 2p

2. 2. Arătați că det(A + xI₂) ≥ 3, pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   A + xI₂ = ⎛1 + x    3  ⎞
              ⎝ −1    1 + x⎠

   ⇒ det(A + xI₂) = |1 + x 3 | | −1 1 + x| = (1 + x)(1 + x) − 3 · (−1) = - 3p = (1 + x)² + 3 ≥ 3, pentru orice număr real x - 2p

3. 3. Arătați că există un număr real a, astfel încât B(3) = aI₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   A · A = ⎛−2   6⎞
           ⎝−2  −2⎠,
   B(3) = (A · A) · A = ⎛−8   0⎞
                         ⎝ 0  −8⎠ = −8I₂ - 3p

   −8I₂ = aI₂, de unde obținem a = −8 - 2p

4. 4. Determinați numerele reale m pentru care det(2mA + I₂) + 2m det(A − I₂) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: m = −1/2 sau m = −1/8

   det(2mA + I₂) = | 2m + 1 6m | | −2m 2m + 1 | = 16m² + 4m + 1 și 2m det(A − I₂) = 6m, pentru orice număr real m - 3p 16m² + 10m + 1 = 0, de unde obținem m = −1/2 sau m = −1/8 - 2p

5. 5. Se consideră matricea M = ⎛x y⎞ ⎝z t⎠ ∈ ℳ₂(ℝ), astfel încât A · M = M · A. Arătați că x + y + 3z − t = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   A · M = ⎛x + 3z   y + 3t⎞
           ⎝−x + z   −y + t⎠,
   M · A = ⎛x − y   3x + y⎞
           ⎝z − t   3z + t⎠,

   unde x, y, z și t sunt numere reale - 2p A · M = M · A ⇒ 3z = −y și t = x, de unde obținem x + y + 3z − t = x + y − y − x = 0 - 3p

6. 6. Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul n, matricea B(6n) are toate elementele numere naturale.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al III-lea / 6. B(3) = −8I₂, deci B(6n) = A ⋅ A ⋅ … ⋅ A ⋅ A ⋅ A ⋅ A (de 6n ori A) = B(3) ⋅ B(3) ⋅ … ⋅ B(3) (de 2n ori B(3)) = (−8)²ⁿI₂, unde n este număr natural nenul - 3p B(6n) = 64ⁿI₂, deci B(6n) are toate elementele numere naturale, pentru orice număr natural nenul n - 2p