Matematică pedagogic, model de subiect 2022

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că √3(2 − √3) + 3 = √12.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. √3(2 − √3) + 3 = 2√3 − √3·√3 + 3 = 2√3 - 3p √12 = 2√3, deci √3(2 − √3) + 3 = √12 - 2p

2. 2. Se consideră funcțiile f: ℝ → ℝ, f(x) = x + 1 și g: ℝ → ℝ, g(x) = 2x − 1. Determinați numerele naturale a pentru care…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = 0 sau a = 1

   2. a + 1 > 2a − 1 2p a < 2 și cum a este număr natural, obținem a = 0 sau a = 1 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3^(x+2)·2^(x+1) + 2·6ˣ = 120.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   3. 3ˣ·3²·2ˣ·2 + 2·6ˣ = 120 ⇔ 18·6ˣ + 2·6ˣ = 120, deci 20·6ˣ = 120 3p 6ˣ = 6 ⇒ x = 1 2p

4. 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale nenule mai mici decât 114, acesta…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 28/113

   4. Mulțimea numerelor naturale nenule mai mici decât 114 are 113 elemente, deci sunt 113 cazuri posibile - 2p În mulțimea numerelor naturale nenule mai mici decât 114 sunt 28 numere divizibile cu 4, deci sunt 28 cazuri favorabile - 2p p = (nr. cazuri favorabile)/(nr. cazuri posibile) = 28/113 - 1p

5. 5. Determinați numărul real a, știind că punctul M(a,15) aparține dreptei d de ecuație y = 3x + 2a.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   5. M(a,15) ∈ d ⇒ 15 = 3a + 2a - 3p 15 = 5a ⇒ a = 3 - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A, cu AB = 3, AC = 4 și înălțimea AD, unde punctul D aparține laturii BC.…

   −+din 5
   Arată baremul

   6. BC = √(AB² + AC²) = 5, AB² = BD·BC ⇒ BD = 9/5 - 3p sin∠BAD = BD/AB = 3/5 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. Arătați că (−1) ∘ (−1) = 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. (−1) ∘ (−1) = 2·(−1)·(−1) − (−1) − (−1) + 1 = - 2p = 2 + 1 + 1 + 1 = 5 - 3p

2. 2. Demonstrați că x ∘ y = 2(x − 1/2)(y − 1/2) + 1/2, pentru orice numere reale x și y.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. x ∘ y = 2xy − x − y + 1/2 + 1/2 = 2x(y − 1/2) − (y − 1/2) + 1/2 = 3p = 2(x − 1/2)(y − 1/2) + 1/2, pentru orice numere reale x și y 2p

3. 3. Arătați că e = 1 este elementul neutru al legii de compoziție „∘”.

   −+din 5
   Arată baremul

   3. x ∘ 1 = 2(x − 1/2)(1 − 1/2) + 1/2 = x − 1/2 + 1/2 = x, pentru orice număr real x 2p 1 ∘ x = 2(1 − 1/2)(x − 1/2) + 1/2 = x − 1/2 + 1/2 = x = x ∘ 1, pentru orice număr real x, deci e = 1 este elementul neutru al legii de compoziție „∘” 3p

4. 4. Arătați că x ∘ 1/2 = 1/2 ∘ x = 1/2, pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   4. x ∘ 1/2 = 2(x − 1/2)(1/2 − 1/2) + 1/2 = 1/2, pentru orice număr real x - 2p 1/2 ∘ x = 2(1/2 − 1/2)(x − 1/2) + 1/2 = 1/2, deci x ∘ 1/2 = 1/2 ∘ x = 1/2, pentru orice număr real x - 3p

5. 5. Calculați (1/3) ∘ (2/4) ∘ (3/5) ∘ … ∘ (2020/2022).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/2

   5. (1/3) ∘ (2/4) ∘ (3/5) ∘ … ∘ (2020/2022) = ((1/3) ∘ (1/2)) ∘ (3/5) ∘ … ∘ (2020/2022) = - 2p = (1/2) ∘ ((3/5) ∘ … ∘ (2020/2022)) = 1/2 - 3p

6. 6. Determinați numărul real strict pozitiv x, pentru care (log₂x + 1/2) ∘ (log₃x + 1/2) = 1/2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   6. (log₂x + 1/2) ∘ (log₃x + 1/2) = 2(log₂x + 1/2 − 1/2)(log₃x + 1/2 − 1/2) + 1/2 = 2·log₂x·log₃x + 1/2, 3p 2·log₂x·log₃x + 1/2 = 1/2 ⇔ log₂x·log₃x = 0, de unde obținem x = 1, care convine 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. Arătați că A·A = 4I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.

   A·A = ⎛0  2⎞ · ⎛0  2⎞ = ⎛4  0⎞
         ⎝2  0⎠   ⎝2  0⎠   ⎝0  4⎠ - 3p
   4I₂ = 4·⎛1  0⎞ = ⎛4  0⎞
           ⎝0  1⎠   ⎝0  4⎠,

   deci A·A = 4I₂ - 2p

2. 2. Arătați că aI₂ + A = M(a), pentru orice număr real a.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.

   aI₂ + A = a · ⎛1  0⎞ + ⎛0  2⎞ = ⎛a  0⎞ + ⎛0  2⎞ =
                 ⎝0  1⎠   ⎝2  0⎠   ⎝0  a⎠   ⎝2  0⎠

   - 3p

   = ⎛a  2⎞ = M(a), pentru orice număr real a
     ⎝2  a⎠

   - 2p

3. 3. Arătați că M(2)·M(4) = 6M(2).

   −+din 5
   Arată baremul

   3. M(2)·M(4) = (2I₂ + A)(4I₂ + A) = 8I₂ + 6A + 4I₂ = 3p = 12I₂ + 6A = 6(2I₂ + A) = 6·M(2) 2p

4. 4. Determinați perechile (a, b) de numere naturale pentru care M(a)·M(b) = 7·I₂ + 4·A.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (a, b) ∈ {(3, 1), (1, 3)}

   4. M(a)·M(b) = (ab + 4)·I₂ + (a + b)·A = 7·I₂ + 4·A ⇒ 3p ⇒ ab = 3 și a + b = 4 și cum a și b sunt numere naturale, obținem perechile (3,1) și (1,3) 2p

5. 5. Determinați numărul natural k pentru care det(M(k + 2)) ≤ 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 0

   5.

   M(k + 2) = ⎛k + 2    2  ⎞
              ⎝  2    k + 2⎠

   ⇒ det(M(k + 2)) = (k + 2)² − 4 = k² + 4k - 3p k² + 4k ≤ 0 și k număr natural, obținem k = 0 - 2p

6. 6. Determinați numărul real a, a < −2, știind că inversa matricei M(a) este matricea M(a) − 2·A.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: −√5

   6.

   M(a) − 2·A = ⎛a  2⎞ − ⎛0  4⎞ = ⎛ a  −2⎞
                ⎝2  a⎠   ⎝4  0⎠   ⎝−2   a⎠

   2p M(a)·(M(a) − 2·A) = (M(a) − 2·A)·M(a) = I₂, deci a² = 5, și cum a < −2, obținem că a = −√5 3p