Matematică pedagogic, simulare 2023

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că √2(2√2 − √6) + 2√3 = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. √2(2√2 − √6) = 4 − 2√3 - 3p 4 − 2√3 + 2√3 = 4 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 1. Determinați numărul real pozitiv a pentru care f(a) este media…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   f(a) = 2a + 1, f(0) = 1, f(4) = 9 - 3p f(a) = √(f(0) · f(4)) ⇒ 2a + 1 = √9, de unde obținem a = 1 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 · 3^(x + 1) = 18.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   3^(x + 1) = 3², deci x + 1 = 2 - 3p x = 1 - 2p

4. 4. Prețul unui produs este 300 de lei. După o scumpire cu p% prețul produsului devine 360 de lei. Calculați p.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 20

   300 + (p/100) · 300 = 360, deci (p/100) · 300 = 60 - 3p p = 20 - 2p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−1, 2), B(1, 1) și C(3, m). Determinați numărul real m pentru care…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 0

   5. Ecuația dreptei AB este (x + 1)/2 = (y − 2)/(−1) ⇒ x + 2y − 3 = 0 - 3p Punctul C(3, m) aparține dreptei AB ⇔ 3 + 2m − 3 = 0, de unde obținem m = 0 - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A, AB = 6 și măsura unghiului C este egală cu 60°. Arătați că BC = 4√3.

   −+din 5
   Arată baremul

   În triunghiul ABC dreptunghic în A, sin C = AB/BC ⇔ √3/2 = 6/BC - 3p BC = 4√3 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. Arătați că 1 ∘ (−3) = 7.

   −+din 5
   Arată baremul

   1 ∘ (−3) = (1/3) · 1 · (−3) − 1 + 3 + 6 = - 3p = −1 − 1 + 3 + 6 = 7 - 2p

2. 2. Arătați că e = 6 este elementul neutru al legii de compoziție „∘”.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∘ 6 = (1/3) · x · 6 − x − 6 + 6 = x, pentru orice număr real x - 2p 6 ∘ x = (1/3) · 6 · x − x − 6 + 6 = x, pentru orice număr real x, deci e = 6 este elementul neutru al legii de compoziție „∘” - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale pozitive ecuația √x ∘ 6 = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   3. √x ∘ 6 = √x, pentru orice număr real pozitiv x - 3p √x = 1, de unde obținem x = 1, care convine - 2p

4. 4. Determinați numerele naturale n pentru care 2 ∘ n < (2n) ∘ 1 + 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: n = 0 sau n = 1

   4. 2n/3 − 2 − n + 6 < 2n/3 − 2n − 1 + 6 + 1 - 2p n < 2 și, cum n număr natural, obținem n = 0 sau n = 1 - 3p

5. 5. Demonstrați că x ∘ y = ⅓(x − 3)(y − 3) + 3, pentru orice numere reale x și y.

   −+din 5
   Arată baremul

   5. x ∘ y = ⅓xy − ⅓·3x − y + 3 + 3 = - 2p = ⅓x(y − 3) − (y − 3) + 3 = (y − 3)(⅓x − 1) + 3 = ⅓(x − 3)(y − 3) + 3, pentru orice numere reale x și y - 3p

6. 6. Calculați √1 ∘ √2 ∘ … ∘ √2023.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al II-lea, 6. x ∘ 3 = 3 ∘ x = 3, pentru orice număr real x - 2p (√1 ∘ √2 ∘ … ∘ √8) ∘ √9 ∘ (√10 ∘ … ∘ √2023) = 3 ∘ (√10 ∘ … ∘ √2023) = 3 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. Arătați că A · A = 5I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al III-lea, 1. [−1 2; 2 1] · [−1 2; 2 1] = [1 + 4 −2 + 2; −2 + 2 4 + 1] = - 3p = [5 0; 0 5] = 5I₂ - 2p

2. 2. Determinați numerele reale a pentru care det(B(a) + A) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = −4 sau a = 2

   2.

   ⎛a + 2  1⎞ + ⎛−1  2⎞ = ⎛a + 1    3  ⎞
   ⎝  1    a⎠   ⎝ 2  1⎠   ⎝  3    a + 1⎠,

   det(B(a) + A) = (a + 1)² − 9 - 3p (a + 1)² − 9 = 0, de unde obținem a = −4 sau a = 2 - 2p

3. 3. Demonstrați că B(q − 1) este inversabilă pentru orice număr rațional q.

   −+din 5
   Arată baremul

   3.

   det(B(q − 1)) = │q + 1    1  │ = q² − 2, pentru orice număr rațional q
                   │  1    q − 1│ - 2p

   q² − 2 = 0 ⇒ q = −√2 ∉ ℚ sau q = √2 ∉ ℚ, deci B(q − 1) este inversabilă pentru orice număr rațional q - 3p

4. 4. Determinați numerele reale a pentru care B(a) · B(a) = B(5/4).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = −1/2

   [a + 2 1; 1 a] · [a + 2 1; 1 a] = [(a + 2)² + 1 2 + 2a; 2 + 2a 1 + a²], B(5/4) = [13/4 1; 1 5/4] - 3p [(a + 2)² + 1 2 + 2a; 2 + 2a 1 + a²] = [13/4 1; 1 5/4], de unde obținem a = −1/2 - 2p

5. 5. Determinați numerele reale pozitive x pentru care B(log₂ x) − B(log₄ x) = I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   5.

   B(log₂ x) − B(log₄ x) = ⎛log₂ x − log₄ x         0        ⎞
                          ⎝       0         log₂ x − log₄ x⎠,

   pentru orice număr real pozitiv x - 2p log₂ x − log₄ x = 1 ⇒ log₂ x = 2, de unde obținem x = 4 care convine - 3p

6. 6. Determinați matricea X ∈ M₂(ℝ) pentru care X · B(0) = A.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: X = [2 −5; 1 0]

   X · B(0) = [a b; c d] · [2 1; 1 0] = [2a + b a; 2c + d c], unde X = [a b; c d] - 2p [2a + b a; 2c + d c] = [−1 2; 2 1], de unde obținem a = 2, b = −5, c = 1 și d = 0, deci X = [2 −5; 1 0] - 3p