Matematică pedagogic, sesiunea august 2024

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că √2(√2 + 3) − 3√2 + 2 = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   √2(√2 + 3) − 3√2 + 2 = √2 · √2 + 3√2 − 3√2 + 2 = 2p = 2 + 2 = 4 3p

2. 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x + 2 și g : ℝ → ℝ, g(x) = 2x + 3. Determinați numărul real m pentru care…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   f(m) = 3m + 2, pentru orice număr real m - 2p g(m) = 2m + 3, pentru orice număr real m, deci 3m + 2 = 2m + 3, de unde obținem m = 1 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2^(4x − 3) = 2^(2 − x).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   4x − 3 = 2 − x, de unde obținem 5x = 5 - 3p x = 1 - 2p

4. 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, numărul 2n + 1 să…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4/9

   Mulțimea A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile - 2p Numerele n, din mulțimea A, pentru care numărul 2n + 1 aparține mulțimii A sunt 1, 2, 3 și 4, deci sunt 4 cazuri favorabile, de unde obținem p = 4/9 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3,0) și B(0,4). Calculați aria triunghiului AOB.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 6

   AO = 3, BO = 4 - 3p Cum triunghiul AOB este dreptunghic în O, obținem 𝒜_ΔAOB = (AO·BO)/2 = 6 - 2p

6. 6. Arătați că (sin 60° + sin 30°)(sin 60° − sin 30°) = sin 45° · cos 45°.

   −+din 5
   Arată baremul

   sin 60° = √3/2, sin 30° = 1/2, sin 45° = cos 45° = √2/2 - 3p (sin 60° + sin 30°)(sin 60° − sin 30°) = sin 45° · cos 45° ⇔ (√3/2)² − (1/2)² = (√2/2)² ⇔ 1/2 = 1/2 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. Arătați că 1 ∘ 2 = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   1 ∘ 2 = 3·1·2 − 2(1 + 2 − 1) = - 3p = 6 − 4 = 2 - 2p

2. 2. Arătați că e = 1 este elementul neutru al legii de compoziție „∘”.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∘ 1 = 3·x·1 − 2(x + 1 − 1) = 3x − 2x = x, pentru orice număr real x - 2p 1 ∘ x = 3·1·x − 2(1 + x − 1) = 3x − 2x = x, pentru orice număr real x, deci e = 1 este elementul neutru al legii de compoziție „∘” - 3p

3. 3. Determinați numărul real x pentru care (x ∘ 2) + (x ∘ 3) = 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   (x ∘ 2) + (x ∘ 3) = 4x − 2 + 7x − 4 = 11x − 6, pentru orice număr real x - 3p 11x − 6 = 5, de unde obținem x = 1 - 2p

4. 4. Determinați numerele naturale n pentru care (3n + 1) ∘ 1 < 7.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: n ∈ {0, 1}

   (3n + 1) ∘ 1 = 3n + 1, pentru orice număr natural n - 2p 3n + 1 < 7, de unde obținem n < 2 și, cum n este număr natural, rezultă n = 0 și n = 1 - 3p

5. 5. Demonstrați că x ∘ y = 3(x − 2/3)(y − 2/3) + 2/3, pentru orice numere reale x și y.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∘ y = 3xy − 2x − 2y + 4/3 + 2/3 = 3x(y − 2/3) − 2(y − 2/3) + 2/3 = - 3p = 3(x − 2/3)(y − 2/3) + 2/3, pentru orice numere reale x și y - 2p

6. 6. Arătați că (1/2) ∘ (2/3) ∘ (3/4) ∘ (4/5) = 2/3.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∘ (2/3) = (2/3) ∘ x = 2/3, pentru orice număr real x - 3p ((1/2) ∘ (2/3)) ∘ ((3/4) ∘ (4/5)) = (2/3) ∘ ((3/4) ∘ (4/5)) = 2/3 - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. Arătați că det(A(1)) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(1) = ⎛2  −1⎞
          ⎝1   0⎠

   ⇒ det(A(1)) = |2 −1; 1 0| = 2·0 − 1·(−1) = - 3p = 0 + 1 = 1 - 2p

2. 2. Demonstrați că I₂ + A(a − 1) = A(a), pentru orice număr real a.

   −+din 5
   Arată baremul

   I₂ + A(a − 1) = ⎛1  0⎞ + ⎛a    −1 ⎞ =
                   ⎝0  1⎠   ⎝1   a − 2⎠

   3p

   = ⎛a + 1    −1 ⎞ = A(a), pentru orice număr real a
     ⎝  1     a − 1⎠

   2p

3. 3. Determinați numerele reale a pentru care det(A(a)) = a.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = 0 sau a = 1

   det(A(a)) = |a + 1 −1| | 1 a − 1| = (a + 1) · (a − 1) − 1 · (−1) = a², pentru orice număr real a - 3p a² = a, de unde obținem a = 0 sau a = 1 - 2p

4. 4. Determinați numărul real a pentru care A(a)·A(a) = ⎛8 −4⎞ ⎝4 0⎠.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   A(a)·A(a) = ⎛a + 1   −1 ⎞⎛a + 1   −1 ⎞
               ⎝  1    a − 1⎠⎝  1    a − 1⎠
             = ⎛a² + 2a    −2a  ⎞
               ⎝   2a    a² − 2a⎠,

   pentru orice număr real a - 3p

   ⎛a² + 2a    −2a  ⎞ = ⎛8  −4⎞
   ⎝   2a    a² − 2a⎠   ⎝4   0⎠,

   de unde obținem a = 2 - 2p

5. 5. Determinați matricea X ∈ M₂(ℝ) pentru care X · A(1) = A(2).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: X = ⎛ 1 1⎞ ⎝−1 3⎠

   Inversa matricei A(1) este matricea

   ⎛ 0  1⎞
   ⎝−1  2⎠ - 3p

   X = ⎛3  −1⎞ ⎛ 0  1⎞ = ⎛ 1  1⎞
       ⎝1   1⎠ ⎝−1  2⎠   ⎝−1  3⎠ - 2p

6. 6. Demonstrați că det(A(a) + I₂) ≥ 0, pentru orice număr real a.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(a) + I₂ = ⎛a + 2  −1⎞
               ⎝  1     a⎠

   ⇒ det(A(a) + I₂) = a² + 2a + 1, pentru orice număr real a - 3p a² + 2a + 1 = (a + 1)² ≥ 0, pentru orice număr real a - 2p