Matematică pedagogic, sesiunea iunie-iulie 2024

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Se consideră progresia geometrică (bₙ)ₙ≥₁ cu b₁ = 4 și b₂ = 8. Calculați b₃.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 16

   Rația progresiei este q = b₂/b₁ = 2 - 3p b₃ = b₂ · q = 16 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 7x + 2. Determinați numărul real a pentru care f(a) = 9.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   f(a) = 7a + 2, pentru orice număr real a - 2p 7a + 2 = 9, de unde obținem a = 1 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₂(2x + 3) = log₂(3x + 1).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   2x + 3 = 3x + 1 - 3p x = 2, care convine - 2p

4. 4. După o scumpire cu 25%, prețul unui obiect a crescut cu 50 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 200 de lei

   (25/100) · x = 50, unde x este prețul obiectului înainte de scumpire - 3p x = 200 de lei - 2p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,4), B(8,4) și C(4,0). Demonstrați că BM = CM, unde punctul M este…

   −+din 5
   Arată baremul

   M(4,4) - 2p BM = 4, CM = 4, deci BM = CM - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 12 și BC = 13. Arătați că perimetrul triunghiului ABC este…

   −+din 5
   Arată baremul

   AC = √(BC² − AB²) = 5 - 3p P_ΔABC = AB + BC + AC = 30 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. Arătați că 1 ∘ 1 = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   1 ∘ 1 = 1/1 + 1/1 + 1 = - 3p = 1 + 1 + 1 = 3 - 2p

2. 2. Determinați x ∈ M pentru care x ∘ x = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   2. x ∘ x = 2/x + 1, pentru orice x ∈ M - 3p 2/x + 1 = 2, de unde obținem x = 2, care convine - 2p

3. 3. Arătați că legea de compoziție „∘” este comutativă.

   −+din 5
   Arată baremul

   y ∘ x = 1/y + 1/x + 1 = 1/x + 1/y + 1 = - 3p = x ∘ y, pentru orice x ∈ M și y ∈ M, deci legea de compoziție „∘” este comutativă - 2p

4. 4. Determinați x ∈ M pentru care x ∘ (1/x) = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   x ∘ (1/x) = (x² + x + 1)/x, pentru orice x ∈ M - 2p (x² + x + 1)/x = 3, deci x² − 2x + 1 = 0, de unde obținem x = 1, care convine - 3p

5. 5. Determinați numerele naturale n pentru care (n + 1) ∘ (n + 1) este număr natural.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: n ∈ {0, 1}

   (n + 1) ∘ (n + 1) = 2/(n + 1) + 1, pentru orice număr natural n - 2p (n + 1) ∘ (n + 1) este număr natural dacă n + 1 este divizor natural al lui 2, de unde obținem n = 0 și n = 1, care convin - 3p

6. 6. Determinați x ∈ (1, +∞) pentru care (log₂ x) ∘ (logₓ 2) = 7/2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 4 sau x = √2

   (log₂ x) ∘ (logₓ 2) = 1/(log₂ x) + 1/(logₓ 2) + 1, pentru orice x ∈ (1, +∞) - 2p 1/(log₂ x) + 1/(logₓ 2) + 1 = 7/2 și, cum 1/(logₓ 2) = log₂ x, obținem log₂ x = 2 sau log₂ x = 1/2, de unde rezultă x = 4 sau x = √2, care convin - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. Arătați că det(A(6)) = −4.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(6) = ⎛8  2⎞ ⇒ det(A(6)) = │8  2│ = 8 · 0 − 2 · 2 = - 3p
          ⎝2  0⎠               │2  0│

   = 0 − 4 = −4 - 2p

2. 2. Arătați că A(3) · A(1) = 19I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(3) · A(1) = ⎛5   2⎞ ⎛3   2⎞   ⎛19   0⎞
                 ⎝2  −3⎠ ⎝2  −5⎠ = ⎝ 0  19⎠ = - 3p
   = 19 ⎛1  0⎞ = 19I₂ - 2p
        ⎝0  1⎠

3. 3. Demonstrați că A(a) + A(−a) = 2A(0), pentru orice număr real a.

   −+din 5
   Arată baremul

   3. A(a) + A(−a) =

   ⎛a + 2    2  ⎞ + ⎛−a + 2     2   ⎞ = ⎛4    4 ⎞ =
   ⎝  2    a − 6⎠   ⎝   2    −a − 6⎠   ⎝4  −12⎠

   - 3p

   = 2⎛2   2⎞ = 2A(0), pentru orice număr real a
      ⎝2  −6⎠

   - 2p

4. 4. Determinați numărul real a pentru care det(A(a)) = −20.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   det(A(a)) = |a + 2 2; 2 a − 6| = a² − 4a − 16, pentru orice număr real a - 3p a² − 4a − 16 = −20, de unde obținem a = 2 - 2p

5. 5. Determinați numerele reale a pentru care A(a²) − A(a) = 2I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = −1 sau a = 2

   A(a²) − A(a) = ⎛a² − a     0   ⎞
                 ⎝  0      a² − a⎠, pentru orice număr real a - 2p
   ⎛a² − a     0   ⎞   ⎛2  0⎞
   ⎝  0      a² − a⎠ = ⎝0  2⎠, de unde obținem a = −1 sau a = 2 - 3p

6. 6. Determinați numerele reale x și y pentru care A(−1) · (x, y)ᵀ = (−1, 9)ᵀ.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 1 și y = −1

   A(−1) · (x, y)ᵀ = [[1, 2], [2, −7]] · (x, y)ᵀ = (x + 2y, 2x − 7y)ᵀ, unde x și y sunt numere reale - 2p (x + 2y, 2x − 7y)ᵀ = (−1, 9)ᵀ, de unde obținem x = 1 și y = −1 - 3p