Matematică pedagogic, sesiunea specială 2024

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că √3·(2−√3)−2√3+4 = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   √3·(2−√3)−2√3+4 = 2√3−√3·√3−2√3+4 = - 2p = −3+4 = 1 - 3p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 5x − 4. Determinați numărul real a pentru care f(a) = a.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   SUBIECTUL I, 2. f(a) = 5a − 4, pentru orice număr real a - 2p 5a − 4 = a, de unde obținem a = 1 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(x²+4x+5) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -2

   x²+4x+5 = 1, de unde obținem x²+4x+4 = 0 - 3p x = −2, care convine - 2p

4. 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, numărul n² să aparțină…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2/5

   SUBIECTUL I, 4. Mulțimea A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile - 2p Numerele n, din mulțimea A, pentru care numărul n² aparține mulțimii A sunt 0, 1, 2 și 3, deci sunt 4 cazuri favorabile, de unde obținem p = 4/10 = 2/5 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3,4) și B(7,−4). Arătați că OA = OM, unde punctul M este mijlocul…

   −+din 5
   Arată baremul

   Punctul M(5,0) este mijlocul segmentului AB, de unde obținem OM = 5 - 3p OA = √(3² + 4²) = 5, deci OA = OM - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 8, AC = 3 și punctul M mijlocul segmentului AB. Arătați că…

   −+din 5
   Arată baremul

   AM = 4 - 2p MC = √(AM² + AC²) = 5, deci P_△AMC = AM + AC + MC = 12 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. Arătați că 2 ∘ 2 = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL al II-lea, 1. 2 ∘ 2 = 2·2·2 − 5(2 + 2) + 15 = - 3p = 8 − 20 + 15 = 3 - 2p

2. 2. Arătați că e = 3 este elementul neutru al legii de compoziție „∘”.

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL al II-lea, 2. x ∘ 3 = 2·x·3 − 5(x + 3) + 15 = 6x − 5x − 15 + 15 = x, pentru orice număr real x - 2p 3 ∘ x = 2·3·x − 5(3 + x) + 15 = 6x − 15 − 5x + 15 = x, pentru orice număr real x, deci e = 3 este elementul neutru al legii de compoziție „∘” - 3p

3. 3. Determinați mulțimea numerelor reale x pentru care x ∘ 4 ≤ 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (−∞,2]

   x ∘ 4 = 3x−5, pentru orice număr real x - 2p 3x−5 ≤ 1, de unde obținem x ≤ 2, deci x ∈ (−∞,2] - 3p

4. 4. Arătați că x ∘ y = 2(x − 5/2)(y − 5/2) + 5/2, pentru orice numere reale x și y.

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL al II-lea, 4. x ∘ y = 2xy − 5x − 5y + 25/2 + 5/2 = 2x(y − 5/2) − 5(y − 5/2) + 5/2 = - 3p = 2(x − 5/2)(y − 5/2) + 5/2, pentru orice numere reale x și y - 2p

5. 5. Determinați numerele reale x pentru care x ∘ x = x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x ∈ {5/2, 3}

   SUBIECTUL al II-lea, 5. x ∘ x = 2(x − 5/2)² + 5/2, pentru orice număr real x - 2p 2(x − 5/2)² + 5/2 = x, de unde obținem 2(x − 5/2)² − (x − 5/2) = 0, deci x = 5/2 sau x = 3 - 3p

6. 6. Determinați numărul natural nenul n pentru care n ∘ (1/n) este număr natural.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   n ∘ (1/n) = 17−5n−5/n, pentru orice număr natural nenul n - 2p Cum n ∘ (1/n) și n sunt numere naturale, obținem n = 1, care convine și n = 5, care nu convine - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. Arătați că det(A(2)) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al III-lea, 1.

   A(2) = ⎡1  1⎤
          ⎣0  2⎦

   ⇒ det(A(2)) = |1 1; 0 2| = 1·2 − 0·1 = - 3p = 2 − 0 = 2 - 2p

2. 2. Arătați că 2A(3) − A(5) = I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea, 2.

   2A(3) − A(5) = ⎛2  4⎞ − ⎛1  4⎞ = - 3p
                  ⎝0  6⎠   ⎝0  5⎠
   = ⎛1  0⎞ = I₂ - 2p
     ⎝0  1⎠

3. 3. Determinați numerele reale a pentru care det(A(a+1)) = 2a².

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a ∈ {−1/2, 1}

   det(A(a+1)) = a+1, pentru orice număr real a - 3p a+1 = 2a², de unde obținem a = −1/2 sau a = 1 - 2p

4. 4. Arătați că A(a)·A(b) = A(ab), pentru orice numere reale a și b.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(a)·A(b) = [1 a−1; 0 a]·[1 b−1; 0 b] = [1 b−1+(a−1)b; 0 ab] = - 3p = [1 ab−1; 0 ab] = A(ab), pentru orice numere reale a și b - 2p

5. 5. Determinați inversa matricei B = A(2)·A(3).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: B⁻¹ = ⎡1 −5/6⎤ ⎣0 1/6⎦

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al III-lea, 5. B = A(2)·A(3) = A(6) - 2p A(6)·A(1/6) = A(1/6)·A(6) = A(1) = I₂, de unde obținem că inversa matricei B este matricea

   A(1/6) = ⎡1  −5/6⎤
            ⎣0   1/6⎦ - 3p

6. 6. Determinați perechile (a,b) de numere naturale pentru care det(bA(a)) = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (a,b) ∈ {(1,2), (4,1)}

   SUBIECTUL al III-lea, 6. det(bA(a)) = ab², pentru orice numere naturale a și b - 2p ab² = 4 și, cum a și b sunt numere naturale, obținem perechile (1,2) și (4,1) - 3p