Matematică pedagogic, simulare 2026

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 0,25 · 6 + (3 − 0,5) : 5 = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   0,25 · 6 + (3 − 0,5) : 5 = 1,5 + 2,5 : 5 = - 3p = 1,5 + 0,5 = 2 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x² − 2x − 3 și numărul real m, ordonata punctului de intersecție a graficului…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 12

   m = f(0) = −3 - 2p f(m) = f(−3) = (−3)² − 2 · (−3) − 3 = 12 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x = 2√(2x).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 0 sau x = 8

   x² = 8x, de unde obținem x² − 8x = 0 - 3p x = 0 sau x = 8, care convin - 2p

4. 4. După o scumpire cu 20%, un obiect costă 600 de lei. Obiectul este scumpit din nou, cu 5%. Calculați diferența dintre…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 130 de lei

   x + (20/100)·x = 600, de unde obținem x = 500, unde x este prețul obiectului înainte de scumpiri - 2p 600 + (5/100)·600 = 630 de lei este prețul obiectului după cele două scumpiri, deci diferența dintre prețul obiectului după scumpiri și prețul înainte de scumpiri este 630 − 500 = 130 de lei - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3,3), B(4,6) și C, astfel încât A este mijlocul segmentului BC.…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   3 = (4 + x_C)/2, 3 = (6 + y_C)/2, deci C(2,0) - 3p OC = 2 - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul DEF, dreptunghic în D, cu DE = 3 și sin F = 1/3. Arătați că DF = 6√2.

   −+din 5
   Arată baremul

   sin F = DE/EF, deci 1/3 = 3/EF, de unde obținem EF = 9 - 3p DF² = 81 − 9 = 72, de unde obținem DF = 6√2 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. Arătați că 1 ∗ 3 = 15.

   −+din 5
   Arată baremul

   1 ∗ 3 = (1 − 4·3)(3 − 4·1) + 4 = - 3p = (−11)·(−1) + 4 = 15 - 2p

2. 2. Arătați că legea de compoziție „∗” este comutativă.

   −+din 5
   Arată baremul

   y ∗ x = (y − 4x)(x − 4y) + 4 = (x − 4y)(y − 4x) + 4 = - 3p = x ∗ y, pentru orice numere reale x și y, deci legea de compoziție „∗” este comutativă - 2p

3. 3. Determinați numerele reale x pentru care x ∗ 0 = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = −1 sau x = 1

   x ∗ 0 = −4x² + 4, pentru orice număr real x - 3p −4x² + 4 = 0, de unde obținem x = −1 sau x = 1 - 2p

4. 4. Arătați că x ∗ (x + 1) = 9x(x + 1), pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∗ (x + 1) = (−3x − 4)(1 − 3x) + 4 = - 3p = −3x + 9x² − 4 + 12x + 4 = 9x² + 9x = 9x(x + 1), pentru orice număr real x - 2p

5. 5. Determinați numărul real x pentru care (x − 1) ∗ x = (x + 1) ∗ (x + 2).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = −1/2

   (x − 1) ∗ x = 9x(x − 1), (x + 1) ∗ (x + 2) = 9(x + 1)(x + 2), pentru orice număr real x - 3p 9x(x − 1) = 9(x + 1)(x + 2), de unde obținem x = −1/2 - 2p

6. 6. Determinați numerele reale m pentru care x ∗ (mx) = 4, pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: m = 1/4 sau m = 4

   x ∗ (mx) = x²(1 − 4m)(m − 4) + 4, pentru orice numere reale x și m - 2p x²(1 − 4m)(m − 4) + 4 = 4, pentru orice număr real x, deci (1 − 4m)(m − 4) = 0, de unde obținem m = 1/4 sau m = 4 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. Arătați că det(A(4)) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(4) = ⎛ 4  −2 ⎞
          ⎝ 3  −1 ⎠
   ⇒ det(A(4)) = │ 4  −2 │
                  │ 3  −1 │ = 4·(−1) − (−2)·3 = - 3p

   = −4 + 6 = 2 - 2p

2. 2. Determinați numărul real x pentru care A(3) + 3A(x) = 4A(6).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 7

   A(3) = ⎛3  −1⎞
          ⎝2   0⎠,
   A(6) = ⎛6  −4⎞
          ⎝5  −3⎠,

   3A(x) = 4A(6) − A(3) - 2p

   4A(6) − A(3) = ⎛21  −15⎞
                   ⎝18  −12⎠ = 3A(7),

   deci 3A(x) = 3A(7), de unde obținem x = 7 - 3p

3. 3. Arătați că A(5) · (3I₂ − A(5)) = 2I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(5) = ⎛ 5  −3 ⎞
          ⎝ 4  −2 ⎠,
   3I₂ − A(5) = ⎛ −2  3 ⎞
                ⎝ −4  5 ⎠,
   A(5) · (3I₂ − A(5)) = ⎛ −10 + 12  15 − 15 ⎞
                          ⎝ −8 + 8    12 − 10 ⎠ = - 3p
   = ⎛ 2  0 ⎞
     ⎝ 0  2 ⎠ = 2I₂ - 2p

4. 4. Arătați că det(A(0) · A(1) − A(x)) = 0, pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(0) · A(1) = ⎛ 0   4 ⎞
                 ⎝ −1  5 ⎠,
   A(0) · A(1) − A(x) = ⎛ −x  x + 2 ⎞
                        ⎝ −x  x + 2 ⎠, pentru orice număr real x - 3p

   det(A(0) · A(1) − A(x)) = −x(x + 2) + x(x + 2) = 0, pentru orice număr real x - 2p

5. 5. Arătați că numărul N = det(A(n) + nI₂) este natural par, pentru orice număr natural n.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(n) + nI₂ = ⎛  2n   2 − n⎞
                ⎝n − 1    3  ⎠,

   N = det(A(n) + nI₂) = n² + 3n + 2 = - 2p = (n + 1)(n + 2) și, cum pentru orice număr natural n, numerele n + 1 și n + 2 sunt naturale consecutive, obținem că N este număr natural par, pentru orice număr natural n - 3p

6. 6. Determinați matricea X ∈ M₂(ℝ) pentru care A(5) · X = A(0) + 3X.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: X = ⎛ −3/2 −1/2 ⎞ ⎝ −1 −1 ⎠

   (A(5) − 3I₂) · X = A(0) și, cum (A(5) − 3I₂)⁻¹ = −(1/2)A(5), obținem X = −(1/2)A(5) · A(0) - 3p

   X = ⎛ −3/2  −1/2 ⎞
       ⎝ −1    −1   ⎠ - 2p