Matematică științele naturii, subiect de rezervă 2021, sesiunea iunie-iulie

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Determinați termenul b₄ al progresiei geometrice (bₙ)ₙ≥1, știind că b₅ = 6 și b₆ = 18.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   b₅² = b₄b₆ ⇒ 36 = 18b₄ - 3p b₄ = 2 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = x² + x − 4. Determinați numerele reale m, știind că f(m) = m.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: m = −2 sau m = 2

   2. m² + m − 4 = m ⇔ m² − 4 = 0 - 3p m = −2 sau m = 2 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 100·10^(2x) = 10^(3x).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   3. 10^(2x+2) = 10^(3x) ⇔ 2x + 2 = 3x - 3p x = 2 - 2p

4. 4. Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, se pot forma cu cifre din mulțimea {0,1,2,3,4}.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 12

   4. Cifra unităților, fiind pară, se poate alege în 3 moduri - 2p Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor, fiind nenulă, se poate alege în câte 4 moduri, deci se pot forma 3·4 = 12 numere - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−4, 0), B(4, 0) și C(0, 4). Determinați coordonatele centrului…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (0, 0)

   OA = 4, OB = 4, OC = 4 - 3p Centrul cercului circumscris ΔABC are coordonatele x = 0, y = 0 - 2p

6. 6. Arătați că sin 2x = 1, știind că tg x = 1 și x ∈ (0, π/2).

   −+din 5
   Arată baremul

   6. Cum tg x = 1 și x ∈ (0, π/2), obținem x = π/4 - 2p sin 2x = sin(2π/4) = sin(π/2) = 1 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(0)) = −1.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a)

   A(0) = ⎛  2    3 ⎞
          ⎝ −1   −2 ⎠

   ⇒ det(A(0)) = | 2 3 | | −1 −2 | = 2·(−2) − (−1)·3 = - 3p = −4 + 3 = −1 - 2p

2. 1. b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui x pentru care matricea A(x) este inversabilă.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: ℝ ∖ {−1,1}

   b) det(A(x)) = | x + 2 3 | | −1 x − 2 | = x² − 1, pentru orice număr real x - 2p Matricea A(x) este inversabilă ⇔ det(A(x)) ≠ 0, deci x ∈ ℝ ∖ {−1,1} - 3p

3. 1. c) Se consideră numerele reale a, b și c, astfel încât A(a)·A(b) = A(c). Demonstrați că a² + b² + 2c = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   c) A(a)·A(b) = A(c) ⇔

   ⎛ ab + 2a + 2b + 1       3a + 3b          ⎞   ⎛ c + 2     3     ⎞
   ⎝      −a − b          ab − 2a − 2b + 1   ⎠ = ⎝  −1      c − 2  ⎠

   ⇔ a + b = 1 și c = ab + 1 - 3p a² + b² + 2c = a² + b² + 2ab + 2 = (a + b)² + 2 = 1 + 2 = 3 - 2p

4. 2. a) Arătați că 0 ∘ 1 = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) 0 ∘ 1 = 0·√(1 − 1) + 1·√(1 − 0) = - 3p = 0 + 1 = 1 - 2p

5. 2. b) Determinați x ∈ M pentru care x ∘ x = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x ∈ {−1,0,1}

   b) x ∘ x = 2x√(1 − x²), pentru orice x ∈ M - 2p 2x√(1 − x²) = 0, deci x = −1, x = 0 sau x = 1, care convin - 3p

6. 2. c) Demonstrați că x ∘ √(1 − x²) = 1, pentru orice x ∈ [0,1].

   −+din 5
   Arată baremul

   c) x ∘ √(1 − x²) = x√(1 − (1 − x²)) + √(1 − x²)·√(1 − x²) = x√(x²) + 1 − x² = x|x| + 1 − x², pentru orice x ∈ M - 3p Cum |x| = x pentru orice x ∈ [0,1], obținem x ∘ √(1 − x²) = x² + 1 − x² = 1, pentru orice x ∈ [0,1] - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = eˣ + ln x + 1, x ∈ (0, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) f′(x) = (eˣ)′ + x′·ln x + x·(ln x)′ − 1′ = - 2p = eˣ + 1·ln x + x·(1/x) = eˣ + ln x + 1, x ∈ (0, +∞) - 3p

2. 1. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1, situat pe graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = (e + 1)x − 2

   b) f(1) = e − 1, f′(1) = e + 1 - 2p Ecuația tangentei este y − f(1) = f′(1)(x − 1), adică y = (e + 1)x − 2 - 3p

3. 1. c) Demonstrați că eˣ + x ln x ≥ √e + (1/2)ln(1/2), pentru orice x ∈ [1/2, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   c) x ∈ [1/2, +∞) ⇒ ln x ≥ ln(1/2), deci f′(x) = eˣ + ln x + 1 ≥ eˣ + ln(e/2) > eˣ > 0, de unde obținem că f este crescătoare pe [1/2, +∞) - 3p Pentru orice x ∈ [1/2, +∞), f(x) ≥ f(1/2), deci eˣ + x ln x − 1 ≥ √e + (1/2)ln(1/2) − 1, de unde obținem eˣ + x ln x ≥ √e + (1/2)ln(1/2), pentru orice x ∈ [1/2, +∞) - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₀¹ f(x)√(x² + 2) dx = 17/6.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) ∫₀¹ f(x)√(x² + 2) dx = ∫₀¹ (x² + 2 + x) dx = [x³/3 + 2x + x²/2]₀¹ = - 3p = 1/3 + 2 + 1/2 = 17/6 - 2p

5. 2. b) Demonstrați că orice primitivă a funcției f este crescătoare pe ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) F′(x) = f(x) = (x² + x + 2)/√(x² + 2), unde F: ℝ → ℝ este o primitivă a funcției f - 3p x² + x + 2 > 0, pentru orice număr real x, deci F′(x) > 0, pentru orice număr real x, de unde obținem că F este crescătoare pe ℝ - 2p

6. 2. c) Se consideră funcția g : ℝ → ℝ, g(x) = f(x) − x/√(x² + 2). Determinați a ∈ (0, +∞) pentru care ∫₀¹ g(x) dx = √3/2 +…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = 1

   ∫₀¹ g(x) dx = ∫₀¹ x′√(x² + 2) dx = [x√(x² + 2)]₀¹ − ∫₀¹ x · x/√(x² + 2) dx = √3 − ∫₀¹ (√(x² + 2) − 2/√(x² + 2)) dx, deci ∫₀¹ g(x) dx = [(1/2)(√3 + 2ln(x + √(x² + 2)))]₀¹ = √3/2 + ln((1 + √3)/√2) - 3p √3/2 + ln((1 + √3)/√2) = √3/2 + ln((a + √3)/√2), de unde obținem a = 1, care convine - 2p