Matematică științele naturii, model de subiect 2022

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că numărul N = log₂24 − log₂12 + 3 este pătratul unui număr natural.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. N = log₂(24/12) + 3 = log₂2 + 3 = - 3p = 1 + 3 = 4 = 2² - 2p

2. 2. Determinați numărul real a pentru care punctul A(a, a²) aparține graficului funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   2. f(a) = a² ⇔ a² − 2a + 1 = 0 - 3p a = 1 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(x² − 2x − 2) = x − 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   x² − 2x − 2 = (x − 2)² ⇒ x² − 2x − 2 = x² − 4x + 4 - 3p x = 3, care convine - 2p

4. 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A = {1!, 2!, 3!, …, 10!}, acesta să fie divizibil cu 9.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/2

   4. Mulțimea A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile - 2p Numerele divizibile cu 9 din mulțimea A sunt 6!, 7!, 8!, 9! și 10!, deci sunt 5 cazuri favorabile - 2p p = (nr. cazuri favorabile)/(nr. cazuri posibile) = 1/2 - 1p

5. 5. Se consideră triunghiul ABC și punctul D mijlocul segmentului BC. Arătați că, pentru orice puncte E și F astfel încât…

   −+din 5
   Arată baremul

   5. EB⃗ + FC⃗ = EA⃗ + AB⃗ + FD⃗ + DC⃗ = AB⃗ + DC⃗ - 2p 2(EB⃗ + FC⃗) = 2AB⃗ + 2DC⃗ = AB⃗ + AB⃗ + BC⃗ = AB⃗ + AC⃗ - 3p

6. 6. Arătați că (sin x + cos x)² − (sin x − cos x)² = 2cos(π/2 − 2x), pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   (sin x + cos x)² − (sin x − cos x)² = 4sin x cos x = - 2p = 2sin 2x = 2cos(π/2 − 2x), pentru orice număr real x - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(−1)) = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a)

   A(−1) = ⎛  1  1 ⎞
           ⎝ −2  1 ⎠
   ⇒ det(A(−1)) = │  1  1 │
                  │ −2  1 │ = - 2p

   = 1·1 − 1·(−2) = 3 - 3p

2. 1. b) Demonstrați că matricea A(x) este inversabilă, pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. b)

   det(A(x)) = │ x²     1 │
               │ x − 1  1 │ = x² − x + 1, pentru orice număr real x - 3p

   Cum det(A(x)) ≠ 0 pentru orice număr real x, obținem că matricea A(x) este inversabilă pentru orice număr real x - 2p

3. 1. c) Determinați matricea X ∈ M₂(ℝ) pentru care A(1)·X·A(1) = A(2).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: X = ⎛ 3 −3 ⎞ ⎝ 1 0 ⎠

   1. c)

   A(1) = ⎛ 1  1 ⎞
          ⎝ 0  1 ⎠
   ⇒ (A(1))⁻¹ = ⎛ 1  −1 ⎞
                ⎝ 0   1 ⎠ - 2p
   Cum A(2) = ⎛ 4  1 ⎞
              ⎝ 1  1 ⎠

   și X = (A(1))⁻¹·A(2)·(A(1))⁻¹, obținem

   X = ⎛ 3  −3 ⎞
       ⎝ 1   0 ⎠ - 3p

4. 2. a) Arătați că √2 ∘ 0 = √2.

   −+din 5
   Arată baremul

   √2 ∘ 0 = √2 · 0 − √2(√2 + 0 − 1) + 2 = - 3p = −2 + √2 + 2 = √2 - 2p

5. 2. b) Determinați numerele reale x pentru care (x − √2) ∘ (x + √2) = x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = √2 − 1 sau x = √2 + 2

   x² − 2 − √2(x − √2 + x + √2 − 1) + 2 = x ⇔ x² − (2√2 + 1)x + √2 = 0 - 3p x = √2 − 1 sau x = √2 + 2 - 2p

6. 2. c) Determinați numerele raționale al căror simetric în raport cu legea de compoziție „∘” este număr rațional.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: −1 sau 1

   e = √2 + 1 este elementul neutru al legii de compoziție „∘”, deci a este simetrizabil în raport cu „∘” dacă și numai dacă există a′, astfel încât a ∘ a′ = a′ ∘ a = √2 + 1 - 2p aa′ − √2(a + a′ − 1) + 2 = √2 + 1 ⇔ aa′ + 1 − √2(a + a′) = 0 deci, dacă a și a′ sunt numere raționale, obținem a + a′ = 0 și aa′ = −1, deci a = −1 sau a = 1, care convin - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = (x − 1)²/(x² + 1), x ∈ (0, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = (x − ln(x² + 1))′ = 1 − (1/(x² + 1)) · 2x = - 3p = (x² − 2x + 1)/(x² + 1) = (x − 1)²/(x² + 1), x ∈ (0, +∞) - 2p

2. 1. b) Determinați numărul natural nenul n, știind că tangenta la graficul funcției f în punctul A(n, f(n)) este paralelă cu…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   Tangenta la graficul funcției f în punctul A este paralelă cu dreapta de ecuație y = (1/5)x + 1, deci f′(n) = 1/5 - 3p 5(n − 1)² = n² + 1 ⇔ 2n² − 5n + 2 = 0 și, cum n este număr natural nenul, obținem n = 2 - 2p

3. 1. c) Demonstrați că funcția f este bijectivă.

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) > 0, pentru orice x ∈ (0, 1) ⇒ f strict crescătoare pe (0, 1), f′(x) > 0, pentru orice x ∈ (1, +∞) ⇒ f strict crescătoare pe (1, +∞) și, cum f este continuă în x = 1, obținem că f este strict crescătoare pe (0, +∞), deci injectivă - 2p Cum lim_{x→0} f(x) = 0, lim_{x→+∞} f(x) = +∞ și f este continuă și strict crescătoare pe (0, +∞), obținem că f este surjectivă, deci bijectivă - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₁ᵉ x²(f(x) + (2ln x)/x³) dx = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) ∫₁ᵉ x²(f(x) + (2ln x)/x³) dx = ∫₁ᵉ (1/x) dx = [ln x]₁ᵉ = - 3p = ln e − ln 1 = 1 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₁^{√5} x·f(x² + 3) dx = −(5ln 2)/128.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. b) ∫₁^{√5} x·f(x² + 3) dx = (1/2)∫₁^{√5} (x² + 3)′·f(x² + 3) dx = (1/2)[F(x² + 3)]₁^{√5} = - 3p = (1/2)((ln 8)/64 − (ln 4)/16) = −(5ln 2)/128 - 2p

6. 2. c) Determinați numerele reale a pentru care ∫ₑ^{e²} x·F(x) dx = (a² − 1)/2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = −2 sau a = 2

   2. c) ∫ₑ^{e²} x·F(x) dx = ∫ₑ^{e²} (ln x)/x dx = [(ln² x)/2]ₑ^{e²} = (ln²(e²) − ln² e)/2 = 3/2 - 3p (a² − 1)/2 = 3/2, de unde obținem a = −2 sau a = 2 - 2p