Matematică științele naturii, model de subiect 2023

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că numerele 5 − 2√6, 1 și 5 + √24 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. (5 − 2√6)(5 + √24) = (5 − √24)(5 + √24) = 5² − (√24)² = - 3p = 25 − 24 = 1², deci numerele 5 − 2√6, 1 și 5 + √24 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + 1, unde a este număr real nenul. Determinați numărul real nenul a pentru…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   Reguli generale:

   2. f(1) = a + 1, (f ∘ f)(1) = a(a + 1) + 1, pentru orice număr real nenul a - 3p a(a + 1) + 1 = 1, deci a(a + 1) = 0 și, cum a este număr real nenul, obținem a = −1 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2ˣ · (1/4)^(2−x) = 32.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   Reguli generale:

   3. 2ˣ · 2^(−4+2x) = 32 ⇒ 2^(3x−4) = 2⁵, de unde obținem 3x − 4 = 5 - 3p x = 3 - 2p

4. 4. Determinați numărul de submulțimi ordonate, cu câte două elemente, care se pot forma cu elementele mulțimii M =…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 20

   4. A₅² = 5!/3! = - 3p = 4 · 5 = 20 - 2p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−2,1) și B(2,5). Determinați ecuația dreptei d care trece prin…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = −x + 7

   5. m_AB = 1 și, cum d ⟂ AB, obținem m_d = −1 - 3p Ecuația dreptei d este y − 5 = −1(x − 2), adică y = −x + 7 - 2p

6. 6. Arătați că (tg x + 1)(ctg x − 1) = 2ctg 2x, pentru orice x ∈ (0, π/2).

   −+din 5
   Arată baremul

   6. (tg x + 1)(ctg x − 1) = (sin x/cos x + 1)(cos x/sin x − 1) = (cos²x − sin²x)/(cos x sin x) = - 2p = cos 2x/((1/2)sin 2x) = 2ctg 2x, pentru orice x ∈ (0, π/2). - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(1)) = −9.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   1. a)

   A(1) = ⎛ 1   1    2 ⎞
          ⎜ 1   1   −1 ⎟
          ⎝ 2  −1    4 ⎠

   ⇒ det(A(1)) = | 1 1 2 | | 1 1 −1 | | 2 −1 4 | = - 2p = 4 − 2 − 2 − 4 − 1 − 4 = −9 - 3p

2. 1. b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui a pentru care sistemul are soluție unică.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: ℝ \ {−2}

   Reguli generale:

   1. b) det(A(a)) = | a 1 a+1 | | 1 a −1 | | 2 −a 4 | = −3a − 6, pentru orice număr real a - 2p det(A(a)) = 0 ⇔ a = −2; sistemul de ecuații are soluție unică ⇔ a ∈ ℝ \ {−2} - 3p

3. 1. c) Arătați că, dacă sistemul are soluția unică (x₀, y₀, z₀), atunci x₀ + y₀ + z₀ = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   1. c) Adunând ultimele două ecuații ale sistemului, obținem x₀ + z₀ = 0 - 2p y₀ + z₀ = a, ay₀ − 2z₀ = 4, deci (a + 2)(y₀ − 2) = 0 și, cum a ∈ ℝ \ {−2}, obținem y₀ = 2, deci x₀ + y₀ + z₀ = 2 - 3p

4. 2. a) Pentru m = 6, arătați că f(−1) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. a) f = X³ − 3X² + 2X + 6 ⇒ f(−1) = (−1)³ − 3(−1)² + 2(−1) + 6 = - 3p = −1 − 3 − 2 + 6 = 0 - 2p

5. 2. b) Determinați numărul real m pentru care polinomul f este divizibil cu polinomul g = X² + 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -6

   Reguli generale:

   2. b) f = (X − 3)(X² + 2) + 6 + m, pentru orice număr real m - 3p f este divizibil cu polinomul g dacă 6 + m = 0, de unde obținem m = −6 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real m pentru care x₁³ + x₂³ + x₃³ = 0, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   Reguli generale:

   2. c) x₁ + x₂ + x₃ = 3 și x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ = 2, deci x₁² + x₂² + x₃² = 5 și x₁³ + x₂³ + x₃³ = 9 − 3m, pentru orice număr real m - 3p 9 − 3m = 0, deci m = 3 - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 1 − (2x + 1)/(2eˣ√(x + 1)), x ∈ (−1,+∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) f′(x) = 1 + ((1/(2√(x + 1))) · eˣ − √(x + 1) · eˣ)/e²ˣ = - 3p = 1 + (1 − 2x − 2)/(2eˣ√(x + 1)) = 1 − (2x + 1)/(2eˣ√(x + 1)), x ∈ (−1,+∞) - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = x

   1.b) lim(x → +∞) f(x)/x = lim(x → +∞) (1 + (1/eˣ)√(1/x + 1/x²)) = 1 - 2p lim(x → +∞) (f(x) − x) = lim(x → +∞) √(x + 1)/eˣ = lim(x → +∞) 1/(2eˣ√(x + 1)) = 0, deci dreapta de ecuație y = x este asimptota oblică spre +∞ la graficul funcției f - 3p

3. 1. c) Demonstrați că f(x) − x ≤ √(e/2), pentru orice x ∈ (−1,+∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1.c) g : (−1,+∞) → ℝ, g(x) = f(x) − x ⇒ g′(x) = −(2x + 1)/(2eˣ√(x + 1)); g′(x) = 0 ⇔ x = −1/2 - 2p g′(x) ≥ 0 pentru orice x ∈ (−1,−1/2] ⇒ g este crescătoare pe (−1,−1/2], g′(x) ≤ 0 pentru orice x ∈ [−1/2,+∞) ⇒ g este descrescătoare pe [−1/2,+∞), deci g(x) ≤ g(−1/2) pentru orice x ∈ (−1,+∞) și, cum g(−1/2) = √(e/2), obținem f(x) − x ≤ √(e/2), pentru orice x ∈ (−1,+∞) - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₁² 3(f(x) − x ln x) dx = 7.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) ∫₁² 3(f(x) − x ln x) dx = ∫₁² 3x² dx = [x³]₁² = - 3p = 8 − 1 = 7 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₁ᵉ (f(x)/x³) dx = 2(1 − 1/e).

   −+din 5
   Arată baremul

   b) ∫₁ᵉ (f(x)/x³) dx = ∫₁ᵉ (1/x) dx + ∫₁ᵉ (−1/x)′ ln x dx = [ln x]₁ᵉ − [(ln x)/x]₁ᵉ + ∫₁ᵉ (1/x²) dx = - 3p = 1 − 1/e − [1/x]₁ᵉ = 2 − 2/e = 2(1 − 1/e) - 2p

6. 2. c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției g : [1, +∞) → ℝ, g(x) = (x + 1)/f(x), axa Ox și dreptele…

   −+din 5
   Arată baremul

   c) g(x) = (x + 1)/(x² + x ln x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [1, e], deci 𝒜 = ∫₁ᵉ |g(x)| dx = ∫₁ᵉ (x + 1)/(x² + x ln x) dx = - 2p = ∫₁ᵉ (1 + 1/x) · 1/(x + ln x) dx = ∫₁ᵉ (x + ln x)′ · 1/(x + ln x) dx = [ln(x + ln x)]₁ᵉ = ln(e + 1) > ln e = 1 - 3p