Matematică mate-info, sesiunea august 2021

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Calculați media aritmetică a numerelor reale a = 2021 − √2 și b = 2021 + √2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2021

   1. mₐ = (a + b)/2 = (2021 − √2 + 2021 + √2)/2 = - 3p = (2 · 2021)/2 = 2021 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x² − 3x + 1. Determinați numărul real m, știind că punctul A(1,m) aparține…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   2. f(1) = m ⇔ 1 − 3 + 1 = m - 3p m = −1 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₃(√x + 3) + log₃(√x − 3) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 18

   3. log₃((√x + 3)(√x − 3)) = 2, deci (√x)² − 9 = 3² - 3p x − 9 = 9, deci x = 18, care convine - 2p

4. 4. Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are exact 16 submulțimi.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   4. O mulțime cu n elemente are 2ⁿ submulțimi - 3p 2ⁿ = 16, deci n = 4 - 2p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele M(3,0), N(8,3) și P(6,3). Determinați coordonatele punctului Q, știind…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: Q(11,6)

   5. MNQP este paralelogram, deci segmentele MQ și PN au același mijloc - 3p Coordonatele punctului Q sunt x = 11 și y = 6 - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABC în care sin 2A · cos A = sin A. Arătați că A = π/4.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. În △ABC, 2sin A · cos A · cos A = sin A, deci cos² A = 1/2 - 3p Cum unghiul A este ascuțit, obținem cos A = 1/√2, deci A = π/4 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(1)) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a)

   A(1) = ⎛ 1  0  0 ⎞
          ⎜ 0  1  0 ⎟
          ⎝ 1  0  1 ⎠

   ⇒ det(A(1)) = | 1 0 0 | | 0 1 0 | | 1 0 1 | = - 2p = 1 + 0 + 0 − 0 − 0 − 0 = 1 - 3p

2. 1. b) Demonstrați că, pentru orice a ∈ (0,+∞), matricea A(a) este inversabilă.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) det(A(a)) = | 1 0 0 | | 0 a 0 | | 1 + log₂ a 0 1 | = a, pentru orice a ∈ (0,+∞) - 3p det(A(a)) ≠ 0, pentru orice a ∈ (0,+∞), deci matricea A(a) este inversabilă - 2p

3. 1. c) Demonstrați că, pentru orice a ∈ (0,+∞), det(A(a) + (A(a))⁻¹) ≥ 8, unde (A(a))⁻¹ este inversa matricei A(a).

   −+din 5
   Arată baremul

   c)

   (A(a))⁻¹ = ⎛ 1             0    0 ⎞
              ⎜ 0             1/a  0 ⎟
              ⎝ −1 − log₂ a   0    1 ⎠,

   pentru orice a ∈ (0,+∞) - 2p

   A(a) + (A(a))⁻¹ = ⎛ 2  0        0 ⎞
                     ⎜ 0  a + 1/a  0 ⎟
                     ⎝ 0  0        2 ⎠

   ⇒ det(A(a) + (A(a))⁻¹) = 4(a + 1/a) și, cum a + 1/a ≥ 2, obținem că det(A(a) + (A(a))⁻¹) ≥ 8, pentru orice a ∈ (0,+∞) - 3p

4. 2. a) Pentru m = 1, arătați că 2 ∘ 2 = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) Pentru m = 1, obținem x ∘ y = xy − (x + y) + 2, deci 2 ∘ 2 = 2 · 2 − (2 + 2) + 2 = - 3p = 4 − 4 + 2 = 2 - 2p

5. 2. b) Demonstrați că, dacă 2 ∘ 1 = 5, atunci 2 ∘ 5 = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. b) 2 ∘ 1 = 5 ⇔ 2 · 1 − m(2 + 1) + m(m + 1) = 5 ⇔ m² − 2m − 3 = 0 și, cum m ∈ (0,+∞) ⇒ m = 3 - 3p 2 ∘ 5 = 2 · 5 − 3(2 + 5) + 3 · 4 = 10 − 21 + 12 = 1 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real x, știind că (mx³) ∘ (−mx²) = m, pentru orice m ∈ (0,+∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   2. c) −m²x⁵ − m(mx³ − mx²) + m² + m = m ⇔ m²(x⁵ + x³ − x² − 1) = 0 - 2p Cum m ∈ (0,+∞), obținem x³(x² + 1) − x² − 1 = 0 ⇔ (x² + 1)(x³ − 1) = 0, deci x = 1 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 4(x² + 1)(x + 1)(x − 1)/x, x ∈ (0,+∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) f′(x) = 4x³ − 4/x = (4x⁴ − 4)/x = - 3p = 4(x⁴ − 1)/x = 4(x² + 1)(x + 1)(x − 1)/x, x ∈ (0,+∞) - 2p

2. 1. b) Determinați intervalele de monotonie a funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: f este descrescătoare pe (0,1] și crescătoare pe [1,+∞).

   b) f′(x) = 0 ⇔ x = 1 - 2p f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ (0,1], deci f este descrescătoare pe (0,1] și f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [1,+∞), deci f este crescătoare pe [1,+∞) - 3p

3. 1. c) Demonstrați că ecuația f(x) = 0 are exact două soluții distincte în intervalul (0,+∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   c) lim_{x→0} f(x) = +∞, lim_{x→+∞} f(x) = +∞ - 2p Cum f(1) = −1, f este continuă, f este strict descrescătoare pe (0,1) și f este strict crescătoare pe (1,+∞), obținem că ecuația f(x) = 0 are exact două soluții distincte în intervalul (0,+∞) - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₀¹ (x⁴ + 1)f(x) dx = 11/5.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) ∫₀¹ (x⁴ + 1)f(x) dx = ∫₀¹ (x⁴ + 1 + 2x) dx = [x⁵/5 + x + x²]₀¹ = - 3p = 1/5 + 1 + 1 = 11/5 - 2p

5. 2. b) Se consideră F : ℝ → ℝ o primitivă a funcției f. Știind că graficul funcției F are asimptotă oblică spre +∞,…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   b) lim(x→+∞) F(x)/x = lim(x→+∞) F′(x)/x′ = lim(x→+∞) f(x) = lim(x→+∞) (1 + 2x/(x⁴ + 1)) = 1 - 3p Asimptota oblică spre +∞ la graficul funcției F are panta egală cu 1 - 2p

6. 2. c) Se consideră funcția G : ℝ → ℝ, primitiva funcției f pentru care G(0) = 0. Arătați că ∫₀¹ xG(x) dx = 1/3 + π/8 −…

   −+din 5
   Arată baremul

   c) G(x) = ∫₀ˣ f(t) dt = ∫₀ˣ (1 + 2t/(t⁴ + 1)) dt = [t + arctg(t²)]₀ˣ = x + arctg(x²), x ∈ ℝ - 2p ∫₀¹ xG(x) dx = ∫₀¹ (x² + x arctg(x²)) dx = [x³/3]₀¹ + (1/2)∫₀¹ (x²)′ arctg(x²) dx = 1/3 + (1/2)[x² arctg(x²)]₀¹ − ∫₀¹ x³/(x⁴ + 1) dx = = 1/3 + (1/2)·(π/4) − (1/4)[ln(x⁴ + 1)]₀¹ = 1/3 + π/8 − (1/4)ln 2 - 3p