Subiectul al II-lea, 1. c)

Bacalaureat 2021, Matematică mate-info, sesiunea august.

1. Se consideră matricea

A(a) = ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎜ 0 a 0 ⎟ ⎝ 1 + log₂ a 0 1 ⎠,

unde a ∈ (0,+∞).

Cerința

5 puncte

Demonstrați că, pentru orice a ∈ (0,+∞), det(A(a) + (A(a))⁻¹) ≥ 8, unde (A(a))⁻¹ este inversa matricei A(a).

Arată baremul

(A(a))⁻¹ = ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎜ 0 1/a 0 ⎟ ⎝ -1 - log₂ a 0 1 ⎠,

pentru orice a ∈ (0,+∞) - 2p

A(a) + (A(a))⁻¹ = ⎛ 2 0 0 ⎞ ⎜ 0 a + 1/a 0 ⎟ ⎝ 0 0 2 ⎠

⇒ det(A(a) + (A(a))⁻¹) = 4(a + 1/a) și, cum a + 1/a ≥ 2, obținem că det(A(a) + (A(a))⁻¹) ≥ 8, pentru orice a ∈ (0,+∞) - 3p

2026	model simulare rezervă iunie-iulie
2025	model

Aplicația pentru Evaluarea Națională și Bac. În curând pe: