Subiectul al II-lea, 1., toate variantele

Reguli generale:

1.a)

A(1) = ⎛ −1  1   0 ⎞
       ⎜  2  0   0 ⎟ ⇒ det(A(1)) = | −1  1   0 |
       ⎝  0  0  −2 ⎠               |  2  0   0 |

| 0 0 −2 | = - 2p = 0+0+0−0−0−(−4) = 4 - 3p

Reguli generale:

b) A(a)·A(b) =

⎛ 1−2a−2b+4ab+2ab    b−2ab+a−ab           0       ⎞
⎜ 2a−4ab+2b−2ab      2ab+1−a−b+ab        0       ⎟ = - 3p
⎝         0                   0         1−3a−3b+9ab ⎠
= ⎛ 1−2(a+b−3ab)      a+b−3ab           0        ⎞
  ⎜  2(a+b−3ab)     1−(a+b−3ab)        0        ⎟ = A(a+b−3ab), pentru orice numere reale a și b - 2p
  ⎝       0                0       1−3(a+b−3ab) ⎠

Reguli generale:

c) A(1)·A(a) = A(1−2a), 2A(4)−A(5) = A(3) - 2p A(1−2a) = A(3), de unde obținem 1−2a = 3, deci a = −1 - 3p

A(1) = ⎛1  1  1⎞
       ⎜1  3  1⎟
       ⎝0  2  1⎠
⇒ det(A(1)) = det⎛1  1  1⎞
                  ⎜1  3  1⎟
                  ⎝0  2  1⎠ = - 2p

= 3 + 2 + 0 − 0 − 2 − 1 = 2 - 3p

det(A(a)) = det⎛1  a  a⎞
               ⎜a  3  a⎟
               ⎝0  2  1⎠

= a² − 2a + 3, pentru orice număr real a - 3p det(A(a)) = (a − 1)² + 2 ≠ 0, pentru orice număr real a, deci pentru orice număr real a sistemul de ecuații are soluție unică - 2p

2a = n(3 − 2a), unde a și n sunt numere naturale, a nenul - 3p 3 − 2a > 0 și, cum a este număr natural nenul, obținem a = 1, care convine - 2p

II.1.a)

M(0) = ⎛0  0  −3⎞
       ⎜0  0   1⎟
       ⎝0  0   1⎠

⇒ det(M(0)) =

│0  0  −3│
│0  0   1│ =
│0  0   1│ - 2p

= 0+0+0−0−0−0 = 0 - 3p

II.1.b) M(x)·M(y) − xyI₃ =

⎛xy   0    −3x−3y−3 ⎞   ⎛xy   0   0⎞
⎜ 0  xy      x+y+1  ⎟ − ⎜ 0  xy   0⎟ =
⎝ 0   0   xy+x+y+1  ⎠   ⎝ 0   0  xy⎠ - 3p
= ⎛0  0  −3(x+y+1)⎞
  ⎜0  0     x+y+1 ⎟
  ⎝0  0     x+y+1 ⎠

= (x+y+1)M(0), pentru orice numere reale x și y - 2p

II.1.c) M(1)·M(x) − M(2)·M(x/2) = xI₃ + (x+2)M(0) − xI₃ − (x/2+3)M(0) = (x/2−1)M(0), pentru orice număr real x - 3p (x/2−1)M(0) = 2M(0), de unde obținem x = 6 - 2p

A(1) = ⎛ −1   0   1 ⎞
       ⎜  0   2   0 ⎟
       ⎝ −9   0   5 ⎠
⇒ det(A(1)) = │ −1   0   1 │
              │  0   2   0 │
              │ −9   0   5 │ = - 2p

=−10+0+0+18−0−0=8 - 3p

A(x)·A(y) = ⎛ 4−6x−6y   0    2x+2y   ⎞
            ⎜     0      4      0     ⎟
            ⎝ −18x−18y   0   4+6x+6y  ⎠ = - 3p
= 2 ⎛ 2−3(x+y)   0      x+y     ⎞
    ⎜     0      2       0      ⎟
    ⎝  −9(x+y)   0   2+3(x+y)   ⎠ = 2A(x+y), pentru orice numere reale x și y - 2p

A(x)+A(3x)=2A(2x), (A(x)+A(3x))·A(2x)=4A(4x), pentru orice număr real x - 3p 4A(4x)=4A(x²), de unde obținem 4x=x², deci x=0 sau x=4 - 2p

A(2) = ⎛ 2  1   4 ⎞
       ⎜ 2  1   0 ⎟
       ⎝ 1  1  −2 ⎠

⇒ det(A(2)) =

│ 2  1   4 │
│ 2  1   0 │
│ 1  1  −2 │ = - 2p

= −4 + 8 + 0 − 4 − 0 + 4 = 4 - 3p

a = 1 ⇒

⎧ x + y + 2z = 2
⎨ x + y = 0
⎩ x + y − z = −1

și

│ 1  1   2 │
│ 1  1   0 │
│ 1  1  −1 │ = 0 - 2p

│ 1   0 │
│ 1  −1 │ ≠ 0

și

│ 1   2   2 │
│ 1   0   0 │
│ 1  −1  −1 │ = 0,

deci sistemul de ecuații are o infinitate de soluții - 3p

det(A(a)) =

│ a  1   2a │
│ a  1    0 │
│ 1  1   −a │ = 2a² − 2a,

pentru orice număr real a și, cum sistemul de ecuații are soluție unică, obținem a ∈ ℝ ∖ {0,1} - 2p Obținem x₀ = −1/2, deci a = −1/2, care convine - 3p

1.a)

A(2) = ⎛ 1  2  2 ⎞
       ⎜ 0  0  1 ⎟
       ⎝ 2  1  1 ⎠

⇒ det(A(2)) =

│ 1  2  2 │
│ 0  0  1 │
│ 2  1  1 │ = - 2p

= 0 + 0 + 4 − 0 − 1 − 0 = 3 - 3p

b)

A(1) = ⎛ 1  1  1 ⎞
       ⎜ 0  0  0 ⎟
       ⎝ 1  1  1 ⎠,
A(x)·A(1) = ⎛ 1+x  1+x  1+x ⎞
            ⎜ x−1  x−1  x−1 ⎟
            ⎝ x+1  x+1  x+1 ⎠,

pentru orice număr real x - 3p

⎛ 1+x  1+x  1+x ⎞   ⎛ 2   2x  2x   ⎞
⎜ x−1  x−1  x−1 ⎟ = ⎜ 0   0   2x−2 ⎟
⎝ x+1  x+1  x+1 ⎠   ⎝ 2x  2   2    ⎠,

de unde obținem x = 1 - 2p

c) det(A(x)) = (x−1)²(x+1) și det(A(x)) ≠ 0, deci x ∈ ℝ ∖ {−1, 1} - 3p Cum −x ∈ ℝ ∖ {−1, 1}, obținem det(A(−x)) ≠ 0, deci A(−x) este inversabilă - 2p

M(1) = ⎛ 1  0  0 ⎞
       ⎜ 0  3  1 ⎟
       ⎝ 0  2  3 ⎠

⇒ det(M(1)) = | 1 0 0 | | 0 3 1 | | 0 2 3 | = - 2p = 9 + 0 + 0 − 0 − 0 − 2 = 7 - 3p

M(2) = ⎛ 2  0  0 ⎞
       ⎜ 0  4  2 ⎟
       ⎝ 0  4  4 ⎠,
M(x)·M(2) = ⎛ 2x     0       0   ⎞
            ⎜  0   8x + 8  6x + 4 ⎟
            ⎝  0  12x + 8  8x + 8 ⎠,

pentru orice număr real x - 3p

⎛ 2x     0       0   ⎞   ⎛ x − 1    0       0   ⎞
⎜  0   8x + 8  6x + 4 ⎟ = ⎜   0    x + 1   x − 1 ⎟
⎝  0  12x + 8  8x + 8 ⎠   ⎝   0   2x − 2   x + 1 ⎠,

de unde obținem x = −1 - 2p

det(M(n)) = n(−n² + 4n + 4), det(M(2n)) = 2n(−4n² + 8n + 4), pentru orice număr natural n - 2p 2n(−n² + 4n + 4) ≤ 2n(−4n² + 8n + 4), de unde obținem n²(3n − 4) ≤ 0 și, cum n este număr natural, obținem n = 0 și n = 1 - 3p

1. a)

B(1) = ⎛2  0  0⎞
       ⎜0  1  1⎟
       ⎝0  1  1⎠

⇒ det(B(1)) = |2 0 0| |0 1 1| = |0 1 1| - 2p = 2 + 0 + 0 − 0 − 2 − 0 = 0 - 3p

1. b) B(x) · B(y) − B(x + y) =

⎛2^(x+y)    0       0  ⎞   ⎛2^(x+y)  0    0  ⎞
⎜   0     1+xy     y+x ⎟ − ⎜   0     1   x+y ⎟ =
⎝   0      x+y    xy+1 ⎠   ⎝   0    x+y   1  ⎠

- 3p

= ⎛0   0   0⎞
  ⎜0  xy   0⎟ = xyA, pentru orice numere reale x și y
  ⎝0   0  xy⎠

- 2p

1. c) B(x) · B(x + 1) = B(2x + 1) + (x² + x)A, B(2x) · B(1) = B(2x + 1) + 2xA, de unde obținem B(x) · B(x + 1) − B(2x) · B(1) = (x² − x)A, pentru orice număr real x - 3p (x² − x)A = xA, de unde obținem x = 0 sau x = 2 - 2p

A(0) = ⎛ 0  −1  0 ⎞
       ⎜ 1  −2  0 ⎟
       ⎝ 1   1  1 ⎠

⇒ det(A(0)) = | 0 −1 0 | | 1 −2 0 | | 1 1 1 | = - 2p = 0 + 0 + 0 − 0 − 0 − (−1) = 1 - 3p

det(A(a)) = | a −1 2a | | 1 −2 a | | 1 1 1−a | = (a + 1)², pentru orice număr real a - 2p det(A(a)) = 0 ⇔ a = −1, deci sistemul de ecuații are soluție unică dacă și numai dacă a ∈ ℝ \ {−1} - 3p

Pentru a = −1, soluțiile sistemului de ecuații sunt de forma (−α, −α, α), cu α ∈ ℂ - 2p x₀² + y₀² + z₀² = 3α², deci 3α² = 3, de unde obținem α = −1 sau α = 1, deci soluțiile sunt (1, 1, −1) și (−1, −1, 1) - 3p

A(0) = ⎛ 2   1   2 ⎞
       ⎜ 1  −1   0 ⎟
       ⎝ 0   1  −2 ⎠

⇒ det(A(0)) = | 2 1 2 | | 1 −1 0 | | 0 1 −2 | = - 2p = 4 + 2 + 0 − 0 − 0 + 2 = 8 - 3p

det(A(a)) = | 2 1 2 | | 1 −1 a | | a a + 1 −2 | = −a² + 2a + 8, pentru orice număr real a - 2p det(A(a)) = 0 ⇔ a = −2 sau a = 4, deci matricea A(a) este inversabilă dacă și numai dacă a ∈ ℝ ∖ {−2, 4} - 3p

Pentru a = −2, soluțiile sistemului de ecuații sunt de forma (2, −2 − 2α, α), cu α ∈ ℂ - 3p x₀z₀ + y₀ = 2α − 2 − 2α = −2, pentru orice soluție (x₀, y₀, z₀) a sistemului de ecuații - 2p

A(1) = ⎛ 1   1   1 ⎞
       ⎜ 1   1   1 ⎟
       ⎝−1  −1  −1 ⎠

⇒ det(A(1)) =

│ 1   1   1 │
│ 1   1   1 │
│−1  −1  −1 │ = - 2p

= −1 − 1 − 1 + 1 + 1 + 1 = 0 - 3p

A(x)·A(y) − A(xy) =

⎛     0       0       0     ⎞
⎜  y + x − 2  0   y + x − 2 ⎟
⎝ −y − x + 2  0  −y − x + 2 ⎠ = - 3p
= (y + x − 2) ⎛ 0   0   0 ⎞
              ⎜ 1   0   1 ⎟
              ⎝−1   0  −1 ⎠

= (x + y − 2)A(0), pentru orice numere reale x și y - 2p

A(−1)·A(3)·A(x) = A(−3)·A(x) = A(−3x) + (x − 5)A(0), pentru orice număr real x - 2p A(−3x) + (x − 5)A(0) = A(y), de unde obținem x = 5 și y = −15 - 3p

A(1) = ⎛2  −1  0⎞
       ⎜1   0  0⎟
       ⎝0   0  1⎠

⇒ det(A(1)) =

│2  −1  0│
│1   0  0│
│0   0  1│ = - 2p

= 0 + 0 + 0 − 0 − 0 − (−1) = 1 - 3p

A(x) − I₃ = ⎛x  −x  0⎞
            ⎜x  −x  0⎟
            ⎝0   0  0⎠,

pentru orice număr real x - 2p

(A(x) − I₃)(A(x) − I₃) =

⎛x² − x²  −x² + x²  0⎞
⎜x² − x²  −x² + x²  0⎟
⎝0         0         0⎠
= ⎛0  0  0⎞
  ⎜0  0  0⎟
  ⎝0  0  0⎠ = O₃,

pentru orice număr real x - 3p

A(x) · A(x) = 2A(x) − I₃, pentru orice număr real x - 2p 2A(x) − I₃ = xA(x) − (x − 1)I₃ ⇔ (x − 2)(A(x) − I₃) = O₃, de unde obținem x = 0 sau x = 2 - 3p

A(1) = ⎛1  −1   1⎞
       ⎜0   1  −2⎟
       ⎝0   0   1⎠

⇒ det(A(1)) = |1 −1 1| |0 1 −2| |0 0 1| = - 2p = 1 + 0 + 0 − 0 − 0 − 0 = 1 - 3p

A(x)·A(y) = ⎛1  −y − x   y² + 2xy + x²⎞
            ⎜0     1        −2y − 2x   ⎟
            ⎝0     0             1     ⎠ = - 3p
= ⎛1  −(x + y)    (x + y)²⎞
  ⎜0      1      −2(x + y)⎟
  ⎝0      0          1    ⎠ = A(x + y), pentru orice numere reale x și y - 2p

A(n)·A(n + 1)·A(n + 2)·A(n + 3) = A(4n + 6), pentru orice număr natural n - 3p 4n + 6 = 2n² ⇔ n² − 2n − 3 = 0 și, cum n este număr natural, obținem n = 3 - 2p

A(0) = ⎛0  1  1⎞
       ⎜1  0  1⎟
       ⎝1  1  0⎠
⇒ det(A(0)) = │0  1  1│
              │1  0  1│
              │1  1  0│ = - 2p

= 0 + 1 + 1 − 0 − 0 − 0 = 2 - 3p

A(1) = ⎛1  0  1⎞
       ⎜0  1  1⎟
       ⎝1  1  0⎠
⇒ A(1) · A(x) = ⎛x + 1  2 − x  1⎞
                ⎜2 − x  x + 1  1⎟
                ⎝1      1      2⎠,

pentru orice număr real x - 3p

A(x − 1) = ⎛x − 1  2 − x  1⎞
           ⎜2 − x  x − 1  1⎟
           ⎝1      1      0⎠
⇒ A(1) · A(x) − A(x − 1) = ⎛2  0  0⎞
                          ⎜0  2  0⎟
                          ⎝0  0  2⎠ = 2I₃,

pentru orice număr real x - 2p

A(1) · A(1) · A(x) = A(1) · (A(1) · A(x)) = A(1) · (A(x − 1) + 2I₃) = A(x − 2) + 2I₃ + 2A(1), pentru orice număr real x - 3p A(x − 2) + 2I₃ + 2A(1) = 3A(1) + 2I₃ ⇒ A(x − 2) = A(1), de unde obținem x − 2 = 1, deci x = 3 - 2p

A(4) = ⎛ 4  1  −2 ⎞
       ⎜ 2  1   3 ⎟
       ⎝ 7  2   1 ⎠
⇒ det(A(4)) = │ 4  1  −2 │
              │ 2  1   3 │
              │ 7  2   1 │ = - 2p

= 4 + 21 + (−8) − (−14) − 2 − 24 = 5 - 3p

det(A(a)) = 5a − 15, pentru orice număr real a - 2p Matricea A(a) nu este inversabilă ⇔ det(A(a)) = 0, deci a = 3 - 3p

Pentru a = 3 soluțiile sistemului de ecuații sunt de forma (1 + 5α, −1 − 13α, α), unde α ∈ ℝ - 3p z₀² = x₀ + y₀ ⇔ α² + 8α = 0 ⇔ α = −8 sau α = 0, deci (x₀, y₀, z₀) = (−39, 103, −8) sau (x₀, y₀, z₀) = (1, −1, 0) - 2p

A(0) = ⎛2  0  0⎞
       ⎜0  2  0⎟
       ⎝0  0  2⎠

⇒ det(A(0)) = |2 0 0| |0 2 0| |0 0 2| = - 2p = 8 + 0 + 0 − 0 − 0 − 0 = 8 - 3p

A(a) − 2I₃ =

⎛a + 2  0  −a    ⎞   ⎛2  0  0⎞   ⎛a   0  −a ⎞
⎜0      2   0    ⎟ − ⎜0  2  0⎟ = ⎜0   0   0 ⎟,
⎝3a     0   2 − 3a⎠   ⎝0  0  2⎠   ⎝3a  0  −3a⎠

pentru orice număr real a - 3p

aB = a ⎛1  0  −1⎞
       ⎜0  0   0⎟
       ⎝3  0  −3⎠,

pentru orice număr real a, deci

B = ⎛1  0  −1⎞
    ⎜0  0   0⎟
    ⎝3  0  −3⎠ - 2p

A(n)·A(−n) = ⎛4 + 2n²  0  −2n²   ⎞
             ⎜0        4   0     ⎟
             ⎝6n²      0   4 − 6n²⎠

⇒ det(A(n)·A(−n)) = 64(1 − n²), unde n este număr natural - 3p 64(1 − n²) > 0 și, cum n este număr natural, obținem n = 0 - 2p

1.a)

A(1) = ⎛ 1  0  0 ⎞
       ⎜ 0  1  0 ⎟
       ⎝ 1  0  1 ⎠

⇒ det(A(1)) = | 1 0 0 | | 0 1 0 | | 1 0 1 | = - 2p = 1 + 0 + 0 − 0 − 0 − 0 = 1 - 3p

b) det(A(a)) = | 1 0 0 | | 0 a 0 | | 1 + log₂ a 0 1 | = a, pentru orice a ∈ (0,+∞) - 3p det(A(a)) ≠ 0, pentru orice a ∈ (0,+∞), deci matricea A(a) este inversabilă - 2p

c)

(A(a))⁻¹ = ⎛ 1             0    0 ⎞
           ⎜ 0             1/a  0 ⎟
           ⎝ −1 − log₂ a   0    1 ⎠,

pentru orice a ∈ (0,+∞) - 2p

A(a) + (A(a))⁻¹ = ⎛ 2  0        0 ⎞
                  ⎜ 0  a + 1/a  0 ⎟
                  ⎝ 0  0        2 ⎠

⇒ det(A(a) + (A(a))⁻¹) = 4(a + 1/a) și, cum a + 1/a ≥ 2, obținem că det(A(a) + (A(a))⁻¹) ≥ 8, pentru orice a ∈ (0,+∞) - 3p

A(0) = ⎛ 0  0  −2 ⎞
       ⎜ 1  1   1 ⎟
       ⎝ 2  1  −2 ⎠
⇒ det(A(0)) = │0  0  −2│
              │1  1   1│
              │2  1  −2│ = - 2p

= 0 − 2 + 0 + 4 − 0 − 0 = 2 - 3p

det(A(a)) = │a  0  −2 │
            │1  1  1−a│
            │2  1  −2 │ = a² − 3a + 2, pentru orice număr real a - 2p

det(A(a)) = 0 ⇔ a = 1 sau a = 2, deci matricea A(a) este inversabilă dacă și numai dacă a ∈ ℝ ∖ {1, 2} - 3p

Pentru a = 2, soluțiile (x₀, y₀, z₀) cu x₀, y₀, z₀ ∈ ℝ sunt (α, 1, α − 2), cu α ∈ ℝ - 3p x₀z₀ + y₀ = (α − 1)² ≥ 0, pentru orice soluție (x₀, y₀, z₀) cu x₀, y₀, z₀ ∈ ℝ - 2p

1.a)

A(1) = ⎛ 1   1   1 ⎞
       ⎜ 1  −1   1 ⎟
       ⎝ 3   2   1 ⎠

⇒ det(A(1)) = | 1 1 1 | | 1 −1 1 | | 3 2 1 | = - 2p = −1 + 2 + 3 + 3 − 2 − 1 = 4 - 3p

b) det(A(a)) = | a 1 1 | | 1 −1 a | | 3 2 1 | = −2a² + 2a + 4, pentru orice număr real a - 3p det(A(a)) = 0 ⇔ a = −1 sau a = 2, de unde obținem că mulțimea numerelor reale a pentru care matricea A(a) este inversabilă este ℝ ∖ {−1, 2} - 2p

c) Pentru a = 2, soluțiile sistemului de ecuații liniare sunt (α, 4 − α, −α), cu α ∈ ℂ - 2p Pentru a = 1, y₁ = 3, deci α(4 − α) = 3, de unde obținem α = 1 sau α = 3, deci soluțiile pentru care x₀y₀ = y₁ sunt (1, 3, −1) și (3, 1, −3) - 3p

A(3) = ⎛5   2   1⎞
       ⎜0  −1  −3⎟
       ⎝0   2   6⎠

⇒ det(A(3)) =

│5   2   1│
│0  −1  −3│
│0   2   6│ = - 2p

= −30+0+0−0+30−0 = 0 - 3p

A(a)·A(a) =

⎛(2a−1)²   4a−2      2a−1   ⎞
⎜   0      1−2a      a−2a²  ⎟
⎝   0     −2+4a    −2a+4a²  ⎠ = - 3p

= ⎛(2a−1)²   2(2a−1)      2a−1    ⎞
  ⎜   0      −(2a−1)    −a(2a−1)  ⎟
  ⎝   0      2(2a−1)    2a(2a−1)  ⎠

= (2a−1)A(a), pentru orice număr real a - 2p

A(n)·B(n) = (3n−1)A(n), pentru orice număr natural n - 3p (3n−1)A(n) = 2n²A(n) și, cum n este număr natural, obținem n = 1 - 2p

1. a) det A =

│ 0   0  1│
│−1   0  0│
│ 0  −1  0│

= 0·0·0 + (−1)·(−1)·1 + 0·0·0 − 1·0·0 − 0·(−1)·0 − 0·0·(−1) = - 3p = 0 + 1 + 0 − 0 − 0 − 0 = 1 - 2p

1. b)

B(x)·A = ⎛−x   0   1⎞
         ⎜−1  −x   0⎟
         ⎝ 0  −1  −x⎠,
A − B(x)·A = ⎛x  0  0⎞
             ⎜0  x  0⎟
             ⎝0  0  x⎠ = - 3p
= x ⎛1  0  0⎞
    ⎜0  1  0⎟
    ⎝0  0  1⎠

= xI₃, pentru orice număr real x - 2p

1. c)

A⁻¹ = ⎛0  −1   0⎞
      ⎜0   0  −1⎟
      ⎝1   0   0⎠,
C(x) = A⁻¹·B(x) = ⎛0  −1  −x⎞
                   ⎜x   0  −1⎟
                   ⎝1   x   0⎠,

pentru orice număr real x - 3p

C(x) − C(y) = ⎛  0     0   −x+y⎞
              ⎜x−y     0      0⎟
              ⎝  0   x−y      0⎠

= (y − x)A, pentru orice numere reale x și y - 2p

1. a)

A(0) = ⎛ 0   1   0 ⎞
       ⎜ 3   1  −2 ⎟
       ⎝ 1  −3   0 ⎠
⇒ det(A(0)) = │ 0   1   0 │
              │ 3   1  −2 │
              │ 1  −3   0 │ = - 2p

= 0 − 2 + 0 − 0 − 0 − 0 = −2 - 3p

1. b)

det(A(a)) = │ a   1  −a │
            │ 3   1  −2 │
            │ 1  −3   a │ = a² + a − 2, pentru orice număr real a - 2p

det(A(a)) = 0 ⇔ a = −2 sau a = 1, deci sistemul de ecuații are soluție unică dacă și numai dacă a ∈ ℝ \ {−2, 1} - 3p

1. c) Pentru a = 1, soluțiile sistemului de ecuații sunt (α, α + 1, 2α), cu α ∈ ℂ - 2p α₁ + 1 = α₂ și 2α₁ = α₂ + 1, de unde obținem α₁ = 2 și α₂ = 3, deci soluțiile sunt (2, 3, 4) și (3, 4, 6) - 3p

A(1) = ⎛ 1  1  −2 ⎞
       ⎜ 0  1   1 ⎟
       ⎝ 2  4   1 ⎠

⇒ det(A(1)) = | 1 1 −2 | | 0 1 1 | | 2 4 1 | = - 2p = 1 + 0 + 2 + 4 − 4 − 0 = 3 - 3p

det(A(a)) = | a 1 −2 | | 0 a 1 | | 2 4 1 | = a² + 2, pentru orice număr real a - 3p a² + 2 ≠ 0, pentru orice număr real a, deci sistemul de ecuații are soluție unică, pentru orice număr real a - 2p

y₀ = (12 − 3a)/(a² + 2), pentru orice număr real a - 3p (12 − 3a)/(a² + 2) ≥ 1, de unde obținem a ∈ [−5, 2] - 2p

A(1) = ⎛0   0  1⎞
       ⎜1  −1  1⎟
       ⎝1   0  0⎠

⇒ det(A(1)) = |0 0 1| |1 −1 1| |1 0 0| = - 2p = 0 + 0 + 0 − (−1) − 0 − 0 = 1 - 3p

A(a) · A(b) = ⎛   1     0    0  ⎞
              ⎜−b + a   1  a − b⎟
              ⎝   0     0    1  ⎠ = - 3p
= ⎛  0    0    0  ⎞   ⎛1  0  0⎞
  ⎜a − b  0  a − b⎟ + ⎜0  1  0⎟
  ⎝  0    0    0  ⎠   ⎝0  0  1⎠

= A(a) − A(b) + I₃, pentru orice numere reale a și b - 2p

(A(1))⁻¹ = A(1), (A(0))⁻¹ = A(0) - 2p X = (A(1))⁻¹ · (A(0))⁻¹, de unde obținem

X = ⎛1  0  0⎞
    ⎜1  1  1⎟
    ⎝0  0  1⎠ - 3p

A(0) =

⎛ 1  −1   0⎞
⎜−1   0   0⎟
⎝ 0   0  −1⎠

⇒ det(A(0)) =

│ 1  −1   0│
│−1   0   0│
│ 0   0  −1│

= - 2p = 0 + 0 + 0 − 0 − 0 − (−1) = 1 - 3p

A(x) · A(x) =

⎛2 + x²  −1      0⎞
⎜    −1   1     −x⎟
⎝     0  −x  x² + 1⎠,

A(x) · A(x) − I₃ =

⎛1 + x²  −1   0⎞
⎜    −1   0  −x⎟
⎝     0  −x  x²⎠ - 3p

det(A(x) · A(x) − I₃) = −x²(1 + x²) − x² = −x²(2 + x²) ≤ 0, pentru orice număr real x - 2p

X = B · A(0) · A(0) - 2p X =

⎛ 2  −1  1⎞
⎝−1   1  0⎠ - 3p

1.a) A(0) = [3, 0, −2; 1, 1, −1; 2, −2, 1] ⇒ det(A(0)) = det([3, 0, −2; 1, 1, −1; 2, −2, 1]) = - 2p = 3 + 4 + 0 + 4 − 6 − 0 = 5 - 3p

b) det(A(a)) = det([3, a, −2; 2a+1, 1−a, −1; a+2, −2, 1]) = 5(1+a)(1−a), pentru orice număr real a - 2p det(A(a)) = 0 ⇔ a = −1 sau a = 1, deci matricea A(a) este inversabilă dacă și numai dacă a ∈ ℝ ∖ {−1, 1} - 3p

c) Pentru a ∈ ℝ ∖ {−1, 1}, sistemul de ecuații este compatibil, oricare ar fi numerele reale b și c; pentru a ∈ {−1, 1}, det([a, −2; 1−a, −1]) ≠ 0, deci sistemul este compatibil dacă și numai dacă det([−1, −2, b; 2, −1, c; −2, 1, −1]) = 0 și det([1, −2, b; 0, −1, c; −2, 1, −1]) = 0 - 3p b = 2 și c = 1 - 2p

1.a) det(A(0)) = │ 0  1   2 │
                 │ 1  0  −1 │
                 │ 2  2   1 │

= 0·0·1 + 1·(−1)·2 + 1·2·2 − 2·0·2 − 1·1·1 − (−1)·2·0 = - 3p = 0 − 2 + 4 − 0 − 1 − 0 = 1 - 2p

b) det(A(a)) = (a − 1)², pentru orice număr real a - 3p det(A(a)) = 0 ⇔ a = 1, deci sistemul are soluție unică pentru a ∈ ℝ ∖ {1} - 2p

c) Pentru a = 1, soluțiile sistemului de ecuații sunt (α, 2 − α, −2), unde α ∈ ℂ - 2p Cum α este număr întreg și α > 2 − α > −2, obținem α = 2 sau α = 3, deci soluțiile sunt (2, 0, −2) și (3, −1, −2) - 3p

1. a) det B = |1 0 1; 0 i 0; −2 0 −1| = 1·i·(−1) + 0 + 0 − (−2)·i·1 − 0 − 0 = - 3p = −i + 2i = i - 2p

1. b) Cum B·B = −I₃, A(z₁)·A(z₂) = (aI₃ + bB)(cI₃ + dB) = acI₃ + adB + bcB + bdB·B = - 3p = (ac − bd)I₃ + (ad + bc)B = A(z₁z₂), pentru orice z₁ = a + ib și z₂ = c + id, cu a, b, c și d numere reale - 2p

1. c) A(1+i)·A(2+i)·A(3+i)·A(1−i)·A(2−i)·A(3−i) = A((1+i)(2+i)(3+i)(1−i)(2−i)(3−i)) = - 2p = A((1+i)(1−i)(2+i)(2−i)(3+i)(3−i)) = A(2·5·10) = 100I₃, deci n = 100 - 3p

1. a)

det(A(1)) = │ 1  3   1 │
            │ 2  1  −1 │
            │ 1  3   1 │

= 1⋅1⋅1 + 2⋅3⋅1 + 3⋅(−1)⋅1 − 1⋅1⋅1 − (−1)⋅3⋅1 − 2⋅3⋅1 = - 3p = 1 + 6 − 3 − 1 + 3 − 6 = 0 - 2p

b)

B(a) = ⎛ 0  0  a ⎞
       ⎜ 0  0  0 ⎟
       ⎝ a  0  0 ⎠,
B(a)⋅B(a) = ⎛ a²  0   0 ⎞
            ⎜  0  0   0 ⎟
            ⎝  0  0  a² ⎠,

pentru orice număr real a - 2p

B(a)⋅B(a)⋅B(a) = ⎛  0  0  a³ ⎞
                 ⎜  0  0   0 ⎟
                 ⎝ a³  0   0 ⎠
= a³ ⎛ 0  0  1 ⎞
     ⎜ 0  0  0 ⎟
     ⎝ 1  0  0 ⎠

= a³B(1), pentru orice număr real a - 3p

c) det(A(a)) = 0; cum det(A(a)) = −a² + 3a − 2, obținem a = 1, pentru care sistemul este incompatibil, deci nu convine, sau a = 2, pentru care sistemul are o infinitate de soluții - 2p Dacă a = 2, soluția sistemului este (x₀, y₀, z₀) = (α − 1, −α + 1, α) și, cum α este număr real, obținem x₀y₀ + y₀z₀ + z₀x₀ = (α − 1)(−α + 1) + α(−α + 1) + α(α − 1) = −(α − 1)² ≤ 0, pentru orice soluție (x₀, y₀, z₀) a sistemului de ecuații, cu x₀, y₀ și z₀ numere reale - 3p

Reguli generale:

SUBIECTUL al II-lea, 1. a) A(0,1,2) =

⎛ 1  1  1 ⎞
⎜ 0  1  2 ⎟
⎝ 2  0  0 ⎠

⇒ det(A(0,1,2)) =

│ 1  1  1 │
│ 0  1  2 │
│ 2  0  0 │ = - 2p

= 0 + 0 + 4 − 2 − 0 − 0 = 2 - 3p

Reguli generale:

SUBIECTUL al II-lea, 1. b) det(A(a,b,c)) =

│ 1   1   1 │
│ a   b   c │
│ bc  ac  ab │ =
│ 1   0        0       │
│ a   b − a    c − a   │
│ bc  ac − bc  ab − bc │ = - 2p

=

│ 1   0           0         │
│ a   b − a       c − a     │
│ bc  −c(b − a)   −b(c − a) │

= (b − a)(c − a)(c − b), pentru orice numere reale a, b și c - 3p

Reguli generale:

SUBIECTUL al II-lea, 1. c) det(A(m,n,p)) = (n − m)(p − m)(p − n) și, cum m, n și p sunt numere naturale, cu m < n < p, obținem p − m > p − n > 0 și p − m > n − m > 0 - 3p Cum det(A(m,n,p)) este număr prim, obținem p − n = n − m = 1, deci numerele m, n și p sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice - 2p

X(0,1) = ⎡ 0  1  2 ⎤
         ⎢ 1  2  3 ⎥
         ⎣ 0  1  1 ⎦
⇒ det(X(0,1)) = │ 0  1  2 │
                │ 1  2  3 │
                │ 0  1  1 │ = - 2p

= 0 + 2 + 0 − 0 − 0 − 1 = 1 - 3p

det(X(a,b)) = │ a  a + 1  a + 2 │
              │ b  b + 1  b + 2 │
              │ 0    1      1   │ = b − a, pentru orice numere reale a și b - 3p

Pentru a ≠ b, det(X(a,b)) ≠ 0, deci sistemul de ecuații are soluție unică - 2p

Dacă a ≠ b, sistemul are soluția unică (0, 2, −1) și y₀² − z₀² − 2ax₀ = 2² − (−1)² − 2a·0 = 3, pentru orice număr real a - 2p Dacă a = b, sistemul are soluțiile (α, 2 + aα, −1 − aα), unde α ∈ ℝ, deci y₀² − z₀² − 2ax₀ = = (2 + aα)² − (−1 − aα)² − 2aα = 4 + 4aα + a²α² − 1 − 2aα − a²α² − 2aα = 3, pentru orice număr real a - 3p