Matematică mate-info, simulare 2022

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Se consideră numerele complexe z₁ = 1 − 2i și z₂ = 2 + i. Arătați că (z₁ + i)(z₂ − 1) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. (z₁ + i)(z₂ − 1) = (1 − 2i + i)(2 + i − 1) = (1 − i)(1 + i) = - 2p = 1 − i² = 2 - 3p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x² + 4x + m, unde m este număr real. Determinați valorile reale ale lui m…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: m ∈ (4, +∞)

   Reguli generale:

   I.2. Δ < 0 și, cum Δ = 16 − 4m, obținem 16 − 4m < 0 - 3p m ∈ (4, +∞) - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 1 + 2log₂√(x − 2) = log₂x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   Reguli generale:

   I.3. 1 + log₂(x − 2) = log₂x, deci log₂(x/(x − 2)) = 1, de unde obținem x/(x − 2) = 2 - 3p x = 4, care convine - 2p

4. 4. Se consideră mulțimea A, a numerelor naturale de două cifre. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 8/45

   4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p Numărul n din mulțimea A are exact doi multipli în mulțimea A dacă 2n ≤ 99 < 3n, de unde obținem că numerele din mulțimea A care au exact doi multipli în mulțimea A sunt 34, 35, 36, ..., 49, deci sunt 16 cazuri favorabile și p = (nr. cazuri favorabile)/(nr. cazuri posibile) = 16/90 = 8/45 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−2, −2), B(3, 1) și M(2, 4). Determinați coordonatele punctului N,…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: N(−3, 1)

   5. P(0, 1), unde P este mijlocul segmentului AM - 2p Segmentele AM și BN au același mijloc, de unde obținem N(−3, 1) - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, în care sin(A + B) + cos C = 1. Arătați că triunghiul ABC este dreptunghic.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. A + B = π − C, deci sin C + cos C = 1 - 2p sin² C + 2sin C cos C + cos² C = 1 ⇒ sin 2C = 0 și, cum C ∈ (0, π), obținem C = π/2, deci triunghiul ABC este dreptunghic - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(1)) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a)

   det(A(1)) = │ 1  3   1 │
               │ 2  1  −1 │
               │ 1  3   1 │

   = 1⋅1⋅1 + 2⋅3⋅1 + 3⋅(−1)⋅1 − 1⋅1⋅1 − (−1)⋅3⋅1 − 2⋅3⋅1 = - 3p = 1 + 6 − 3 − 1 + 3 − 6 = 0 - 2p

2. 1. b) Arătați că B(a)⋅B(a)⋅B(a) = a³B(1), pentru orice număr real a, unde B(a) = A(a) − A(0).

   −+din 5
   Arată baremul

   b)

   B(a) = ⎛ 0  0  a ⎞
          ⎜ 0  0  0 ⎟
          ⎝ a  0  0 ⎠,
   B(a)⋅B(a) = ⎛ a²  0   0 ⎞
               ⎜  0  0   0 ⎟
               ⎝  0  0  a² ⎠,

   pentru orice număr real a - 2p

   B(a)⋅B(a)⋅B(a) = ⎛  0  0  a³ ⎞
                    ⎜  0  0   0 ⎟
                    ⎝ a³  0   0 ⎠
   = a³ ⎛ 0  0  1 ⎞
        ⎜ 0  0  0 ⎟
        ⎝ 1  0  0 ⎠

   = a³B(1), pentru orice număr real a - 3p

3. 1. c) Demonstrați că, dacă sistemul de ecuații are o infinitate de soluții, atunci x₀y₀ + y₀z₀ + z₀x₀ ≤ 0, pentru orice…

   −+din 5
   Arată baremul

   c) det(A(a)) = 0; cum det(A(a)) = −a² + 3a − 2, obținem a = 1, pentru care sistemul este incompatibil, deci nu convine, sau a = 2, pentru care sistemul are o infinitate de soluții - 2p Dacă a = 2, soluția sistemului este (x₀, y₀, z₀) = (α − 1, −α + 1, α) și, cum α este număr real, obținem x₀y₀ + y₀z₀ + z₀x₀ = (α − 1)(−α + 1) + α(−α + 1) + α(α − 1) = −(α − 1)² ≤ 0, pentru orice soluție (x₀, y₀, z₀) a sistemului de ecuații, cu x₀, y₀ și z₀ numere reale - 3p

4. 2. a) Arătați că (−1) ∗ 2 = 1/9.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   II.2.a) (−1) ∗ 2 = (−1 + 2)/(4·|−1·2| + 1) = - 3p = 1/(4·2 + 1) = 1/9 - 2p

5. 2. b) Arătați că e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   II.2.b) z ∗ 0 = (z + 0)/(4·|z·0| + 1) = z, pentru orice număr complex z - 2p 0 ∗ z = (0 + z)/(4·|0·z| + 1) = z, pentru orice număr complex z, deci e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

6. 2. c) Demonstrați că există cel puțin trei numere complexe distincte și nenule care verifică egalitatea |z ∗ z| = |z|.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   II.2.c) z ∗ z = 2z/(4·|z|² + 1), pentru orice număr complex z - 2p |2z/(4·|z|² + 1)| = |z| și z este număr complex nenul, deci 4·|z|² + 1 = 2, de unde obținem |z| = 1/2 și, de exemplu, numerele distincte nenule 1/2, −1/2 și i/2 verifică egalitatea dată - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = ((x² − 4)(x² + 4))/(x²√(x⁴ + 16)), x ∈ (0, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   III.1.a) f′(x) = ((4x³/(2√(x⁴ + 16)))·x − √(x⁴ + 16))/x² = (2x⁴ − x⁴ − 16)/(x²√(x⁴ + 16)) = - 3p = (x⁴ − 16)/(x²√(x⁴ + 16)) = ((x² − 4)(x² + 4))/(x²√(x⁴ + 16)), x ∈ (0, +∞) - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = x

   Reguli generale:

   III.1.b) lim_{x→+∞} f(x)/x = lim_{x→+∞} √(x⁴ + 16)/x² = lim_{x→+∞} √(1 + 16/x⁴) = 1 - 2p lim_{x→+∞}(f(x) − x) = lim_{x→+∞}(√(x⁴ + 16) − x²)/x = lim_{x→+∞} 16/(x(√(x⁴ + 16) + x²)) = 0, deci dreapta de ecuație y = x este asimptota oblică spre +∞ la graficul funcției f - 3p

3. 1. c) Determinați valorile reale ale lui m pentru care ecuația f(x) + f(4/x) = m are exact două soluții.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: m ∈ (4√2, +∞)

   Reguli generale:

   III.1.c) f′(x) = 0 ⇔ x = 2; f′(x) < 0, pentru orice x ∈ (0, 2) și f′(x) > 0, pentru orice x ∈ (2, +∞) - 2p g : (0, +∞) → ℝ, g(x) = f(x) + f(4/x) = 2f(x), deci g este strict descrescătoare pe (0, 2) și g este strict crescătoare pe (2, +∞) și, cum g este continuă, g(2) = 4√2, lim_{x→0} g(x) = +∞ și lim_{x→+∞} g(x) = +∞, obținem că ecuația g(x) = m are exact două soluții pentru m ∈ (4√2, +∞) - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₀³ eˣf(x) dx = 12.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. a) ∫₀³ eˣf(x) dx = ∫₀³ (x² + 1) dx = (x³/3 + x)|₀³ = - 3p = 27/3 + 3 = 12 - 2p

5. 2. b) Arătați că orice primitivă G a funcției g : ℝ → ℝ, g(x) = 1/f(x) este convexă.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. b) G este primitivă a funcției g ⇒ G′(x) = g(x), deci G″(x) = g′(x) = - 2p = eˣ(x − 1)²/(x² + 1)² ≥ 0, pentru orice x ∈ ℝ, deci funcția G este convexă - 3p

6. 2. c) Determinați numărul real a pentru care ∫₀¹ x³/√(eˣf(x)) dx = (a − √2)/3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   Reguli generale:

   2. c) ∫₀¹ x³/√(eˣf(x)) dx = ∫₀¹ x³/√(x² + 1) dx = ∫₀¹ (x³ + x − x)/√(x² + 1) dx = ½∫₀¹ (x² + 1)′·(√(x² + 1) − 1/√(x² + 1)) dx = = ½(2(x² + 1)√(x² + 1)/3 − 2√(x² + 1))|₀¹ = (2 − √2)/3 - 3p (2 − √2)/3 = (a − √2)/3, de unde obținem a = 2 - 2p