Matematică mate-info, sesiunea specială 2022

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 5(1 + 2i) − 2i(5 − i) = 3, unde i² = −1.

   −+din 5
   Arată baremul

   5(1 + 2i) − 2i(5 − i) = 5 + 10i − 10i + 2i² = - 3p = 5 + 2 · (−1) = 3 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x² − 2x − 3. Determinați numărul real a pentru care f(a) = 1 + a².

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -2

   2. f(a) = a² − 2a − 3, deci a² − 2a − 3 = 1 + a² - 3p −2a = 4, de unde obținem a = −2 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₃(2x² + 1) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = −2 sau x = 2

   2x² + 1 = 3² ⇒ x² − 4 = 0 - 3p x = −2 sau x = 2, care convin - 2p

4. 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2/9

   4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 20 de numere care au cifrele impare și distincte, deci sunt 20 de cazuri favorabile, de unde obținem p = 20/90 = 2/9 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,0), B(1,6) și C(4,2). Determinați coordonatele punctului D, știind…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: D(5,−4)

   A⃗B = D⃗C ⇒ ABCD este paralelogram, deci segmentele AC și BD au același mijloc - 2p Mijlocul segmentului AC are coordonatele (3,1), de unde obținem D(5,−4) - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, astfel încât BC = 10 și sin B = 2sin C. Arătați că lungimea laturii AB…

   −+din 5
   Arată baremul

   sin B = AC/BC, sin C = AB/BC, deci AC = 2AB - 2p Cum AB² + AC² = 100, obținem AB = 2√5 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(1)) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(1) = ⎛2  −1  0⎞
          ⎜1   0  0⎟
          ⎝0   0  1⎠

   ⇒ det(A(1)) =

   │2  −1  0│
   │1   0  0│
   │0   0  1│ = - 2p

   = 0 + 0 + 0 − 0 − 0 − (−1) = 1 - 3p

2. 1. b) Arătați că (A(x) − I₃)(A(x) − I₃) = O₃, pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(x) − I₃ = ⎛x  −x  0⎞
               ⎜x  −x  0⎟
               ⎝0   0  0⎠,

   pentru orice număr real x - 2p

   (A(x) − I₃)(A(x) − I₃) =

   ⎛x² − x²  −x² + x²  0⎞
   ⎜x² − x²  −x² + x²  0⎟
   ⎝0         0         0⎠
   = ⎛0  0  0⎞
     ⎜0  0  0⎟
     ⎝0  0  0⎠ = O₃,

   pentru orice număr real x - 3p

3. 1. c) Determinați numerele reale x pentru care A(x) · A(x) = xA(x) − (x − 1)I₃.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 0 sau x = 2

   A(x) · A(x) = 2A(x) − I₃, pentru orice număr real x - 2p 2A(x) − I₃ = xA(x) − (x − 1)I₃ ⇔ (x − 2)(A(x) − I₃) = O₃, de unde obținem x = 0 sau x = 2 - 3p

4. 2. a) Arătați că 0 ∗ 2 = 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) 0 ∗ 2 = (0 + 2)² − 2(0 − 2) − 3 = - 3p = 4 + 4 − 3 = 5 - 2p

5. 2. b) Determinați numerele reale x pentru care x ∗ (x + 1) = 8.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = −2 sau x = 1

   2. b) x ∗ (x + 1) = 4x² + 4x, pentru orice număr real x - 2p 4x² + 4x = 8 ⇔ x² + x − 2 = 0, de unde obținem x = −2 sau x = 1 - 3p

6. 2. c) Determinați perechile (m, n) de numere naturale pentru care m ∗ n = 2mn.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (m, n) ∈ {(0, 1), (2, 1), (3, 0)}

   2. c) (m + n)² − 2(m − n) − 3 = 2mn ⇔ m² + n² − 2m + 2n − 3 = 0 - 2p (m − 1)² + (n + 1)² = 5 și, cum m și n sunt numere naturale, obținem perechile (0, 1), (2, 1) și (3, 0) - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 5(x² − 3x + 2)/(2√x), x ∈ (0, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a) f′(x) = (2x − 5)√x + (x² − 5x + 10)·1/(2√x) = - 3p = (5x² − 15x + 10)/(2√x) = 5(x² − 3x + 2)/(2√x), x ∈ (0, +∞) - 2p

2. 1. b) Determinați intervalele de monotonie a funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: f este crescătoare pe (0, 1] și pe [2, +∞) și descrescătoare pe [1, 2].

   1. b) f′(x) = 0 ⇔ x = 1 sau x = 2 - 2p f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ (0, 1], deci f este crescătoare pe (0, 1], f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ [1, 2], deci f este descrescătoare pe [1, 2] și f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [2, +∞), deci f este crescătoare pe [2, +∞) - 3p

3. 1. c) Arătați că lim_{x→+∞} (f(x)/(x²√x))^(x/5) = 1/e.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. c) lim_{x→+∞} (f(x)/(x²√x))^(x/5) = lim_{x→+∞} ((x² − 5x + 10)/x²)^(x/5) = lim_{x→+∞} ((1 + (−5x + 10)/x²)^(x²/(−5x + 10)))^(((−5x + 10)/x²)·(x/5)) = - 3p = lim_{x→+∞} e^((−5x + 10)/(5x)) = e⁻¹ = 1/e - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₀² (f(x) − 1/(eˣ + 1)) dx = e² + 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. a) ∫₀² (f(x) − 1/(eˣ + 1)) dx = ∫₀² (x + eˣ) dx = [x²/2 + eˣ]₀² = - 3p = 2 + e² − 1 = e² + 1 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₋₁¹ eˣ(f(x) − x − eˣ) dx = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. b) ∫₋₁¹ eˣ(f(x) − x − eˣ) dx = ∫₋₁¹ eˣ/(eˣ + 1) dx = ∫₋₁¹ (eˣ + 1)′/(eˣ + 1) dx = [ln(eˣ + 1)]₋₁¹ = - 3p = ln(e + 1) − ln((1 + e)/e) = ln e = 1 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real m pentru care ∫₀¹ x(f(x) + f(−x)) dx = m/2 − 2/e.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 5

   Reguli generale:

   2. c) ∫₀¹ x(f(x) + f(−x)) dx = ∫₀¹ x(eˣ + e⁻ˣ + 1) dx = ∫₀¹ x(eˣ − e⁻ˣ + x)′ dx = [x(eˣ − e⁻ˣ + x)]₀¹ − − ∫₀¹ (eˣ − e⁻ˣ + x) dx = e − 1/e + 1 − [eˣ + e⁻ˣ + x²/2]₀¹ = 5/2 − 2/e - 3p 5/2 − 2/e = m/2 − 2/e, de unde obținem m = 5 - 2p