Matematică mate-info, model de subiect 2022

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că numerele 6 − 3√3, √3 și 2 + √3 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

   −+din 5
   Arată baremul

   (6 − 3√3)(2 + √3) = 3(2 − √3)(2 + √3) = 3 = - 3p = (√3)², deci numerele 6 − 2√3, √3 și 2 + √3 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x² + mx + 1, unde m este număr real. Determinați numerele reale m pentru care…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: m = −2 sau m = 2

   2. Axa Ox este tangentă graficului funcției f ⇔ Δ = 0 ⇔ m² − 4 = 0 - 3p m = −2 sau m = 2 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5^(x+2) = 5ˣ + 24.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 0

   3. 25·5ˣ − 5ˣ = 24, deci 5ˣ = 1 - 3p x = 0 - 2p

4. 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre distincte, acesta să aibă…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/3

   Mulțimea numerelor naturale de două cifre distincte are 81 de elemente, deci sunt 81 de cazuri posibile - 2p În mulțimea numerelor naturale de două cifre distincte sunt 3·9 = 27 de numere care au cifra zecilor multiplu de 3, deci sunt 27 de cazuri favorabile - 2p p = (nr. cazuri favorabile)/(nr. cazuri posibile) = 1/3 - 1p

5. 5. Se consideră triunghiul ABC, punctul D mijlocul laturii AC și punctul M astfel încât MA⃗ + 2MB⃗ + 3MC⃗ = 0⃗. Arătați…

   −+din 5
   Arată baremul

   5. MA⃗ + 2MA⃗ + 2AB⃗ + 3MC⃗ = 0⃗, deci 3(MA⃗ + MC⃗) + 2AB⃗ = 0⃗ și, cum MA⃗ + MC⃗ = 2MD⃗, obținem MD⃗ = −(1/3)AB⃗ - 3p Vectorii MD⃗ și AB⃗ sunt coliniari, deci dreptele MD și AB sunt paralele - 2p

6. 6. Calculați lungimea laturii AB a triunghiului ABC, în care AC = 3 și măsurile unghiurilor A și B sunt de 30°,…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2√3

   Unghiul C are măsura egală cu 90°, deci triunghiul ABC este dreptunghic în C - 2p sin B = √3/2 și, cum AC = 3, obținem AB = 2√3 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det B = i.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a) det B = |1 0 1; 0 i 0; −2 0 −1| = 1·i·(−1) + 0 + 0 − (−2)·i·1 − 0 − 0 = - 3p = −i + 2i = i - 2p

2. 1. b) Demonstrați că A(z₁)·A(z₂) = A(z₁z₂), pentru orice numere complexe z₁ și z₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. b) Cum B·B = −I₃, A(z₁)·A(z₂) = (aI₃ + bB)(cI₃ + dB) = acI₃ + adB + bcB + bdB·B = - 3p = (ac − bd)I₃ + (ad + bc)B = A(z₁z₂), pentru orice z₁ = a + ib și z₂ = c + id, cu a, b, c și d numere reale - 2p

3. 1. c) Determinați numărul natural n pentru care A(1+i)·A(2+i)·A(3+i)·A(1−i)·A(2−i)·A(3−i) = nI₃.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 100

   1. c) A(1+i)·A(2+i)·A(3+i)·A(1−i)·A(2−i)·A(3−i) = A((1+i)(2+i)(3+i)(1−i)(2−i)(3−i)) = - 2p = A((1+i)(1−i)(2+i)(2−i)(3+i)(3−i)) = A(2·5·10) = 100I₃, deci n = 100 - 3p

4. 2. a) Arătați că x ∗ y = log₂((2ˣ − 2)(2ʸ − 2) + 2), pentru orice x, y ∈ M.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∗ y = log₂(2ˣ(2ʸ − 2) − 2^(y+1) + 4 + 2) = - 3p = log₂(2ˣ(2ʸ − 2) − 2(2ʸ − 2) + 2) = log₂((2ˣ − 2)(2ʸ − 2) + 2), pentru orice x, y ∈ M - 2p

5. 2. b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: log₂3

   x ∗ e = x pentru orice x ∈ M, unde e este elementul neutru al legii de compoziție, deci (2ˣ − 2)(2ᵉ − 3) = 0 pentru orice x ∈ M, de unde obținem e = log₂3 ∈ M - 3p Cum (log₂3) ∗ x = x pentru orice x ∈ M, obținem că e = log₂3 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 2p

6. 2. c) Arătați că x ∗ x ∗ x < 3x, pentru orice x ∈ M.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∗ x ∗ x = log₂((2ˣ − 2)³ + 2), pentru orice x ∈ M - 3p (x ∗ x ∗ x) − 3x = log₂(((2ˣ − 2)³ + 2)/2^(3x)) = log₂(1 − 6(2ˣ − 1)²/2^(3x)) < 0, pentru orice x ∈ M, de unde obținem că x ∗ x ∗ x < 3x, pentru orice x ∈ M - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = (2 − x)(x² − x + 1)e^(−x), x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = (x³ + 3x + 1)′e^(−x) + (x³ + 3x + 1)(e^(−x))′ = (3x² + 3)e^(−x) − (x³ + 3x + 1)e^(−x) = - 3p = (−x³ + 3x² − 3x + 2)e^(−x) = (2 − x)(x² − x + 1)e^(−x), x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Arătați că lim_(x→+∞) ((f(x) − e^(−x))/(f(x) + e^(−x)))^(f(x)eˣ) = e^(−2).

   −+din 5
   Arată baremul

   lim_(x→+∞) ((f(x) − e^(−x))/(f(x) + e^(−x)))^(f(x)eˣ) = lim_(x→+∞) ((x³ + 3x)/(x³ + 3x + 2))^(x³ + 3x + 1) = lim_(x→+∞) ((1 + (−2)/(x³ + 3x + 2))^((x³ + 3x + 2)/(−2)))^((−2(x³ + 3x + 1))/(x³ + 3x + 2)) = - 3p = lim_(x→+∞) e^((−2(x³ + 3x + 1))/(x³ + 3x + 2)) = e^(−2) - 2p

3. 1. c) Demonstrați că funcția g : ℝ → ℝ, g(x) = |f(x)/e^(−x) − 1| are un singur punct de extrem.

   −+din 5
   Arată baremul

   g(x) = |x³ + 3x| = { −x³ − 3x, x ∈ (−∞, 0) { x³ + 3x, x ∈ [0, +∞) - 2p g este continuă și, cum pentru orice x ∈ (−∞, 0), g′(x) = −3x² − 3 < 0 ⇒ g este strict descrescătoare pe (−∞, 0) și pentru orice x ∈ (0, +∞), g′(x) = 3x² + 3 > 0 ⇒ g este strict crescătoare pe (0, +∞), obținem că funcția g are un singur punct de extrem - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₄⁶ [f(x)/ln(x−1)] dx = 10.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. a) ∫₄⁶ [f(x)/ln(x−1)] dx = ∫₄⁶ x dx = [x²/2]₄⁶ = - 3p = 18−8 = 10 - 2p

5. 2. b) Demonstrați că F(√7) < F(3), pentru orice primitivă F a funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. b) F este o primitivă a lui f, deci F′(x) = f(x) = x ln(x−1), de unde obținem că F′(x) > 0, pentru orice x ∈ (2,+∞), deci F este strict crescătoare pe (2,+∞) - 3p Cum 2 < √7 < 3, obținem că F(√7) < F(3) - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real m, știind că ∫₃⁵ f(x) dx = m(4ln2−1).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 5

   Reguli generale:

   2. c) ∫₃⁵ f(x) dx = ∫₃⁵ ((x²−1)/2)′ ln(x−1) dx = [(x²−1)/2 · ln(x−1)]₃⁵ − (1/2)∫₃⁵ [(x−1)(x+1)/(x−1)] dx = - 3p = 12ln4−4ln2 − (1/2)[x²/2+x]₃⁵ = 20ln2−5 = 5(4ln2−1), de unde obținem m = 5 - 2p