Matematică mate-info, subiect de rezervă 2025, sesiunea iunie-iulie

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 2(log₅10 − log₅2) + log₅25 = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   2(log₅10 − log₅2) + log₅25 = 2log₅5 + log₅5² = - 3p = 2 · 1 + 2 = 4 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x − 4. Determinați numărul real m pentru care f(2 + m) = 2 − m.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   f(2 + m) = m − 2, pentru orice număr real m - 2p m − 2 = 2 − m, de unde obținem m = 2 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 8ˣ · 2^(1−x) = 2⁷.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   2^(2x+1) = 2⁷, de unde obținem 2x + 1 = 7 - 3p x = 3 - 2p

4. 4. Se consideră mulțimea A = {1,2,3,4,5,6}. Determinați câte dintre numerele naturale de trei cifre distincte, care se…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 20

   Cifra unităților se poate alege într-un singur mod - 2p Cifra sutelor se poate alege în 5 moduri și, pentru fiecare alegere a cifrei sutelor, cifra zecilor se poate alege în câte 4 moduri, deci sunt 1 · 5 · 4 = 20 de numere - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,1), B(2,0) și C(4,6). Determinați ecuația dreptei d ce trece prin…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 3x + 1

   m_BC = 3, deci m_d = 3 - 3p Ecuația dreptei d este y − 1 = 3(x − 0), adică y = 3x + 1 - 2p

6. 6. Se consideră expresia E(x) = tg x · (cos(3x/4))² − cos(x/2), unde x ∈ (0,π/2). Arătați că E(π/3) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   tg(π/3) = √3, cos(π/4) = √2/2, cos(π/6) = √3/2 - 3p E(π/3) = √3 · (√2/2)² − √3/2 = √3 · ½ − √3/2 = 0 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(1)) = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(1) = ⎛ 1  1  −2 ⎞
          ⎜ 0  1   1 ⎟
          ⎝ 2  4   1 ⎠

   ⇒ det(A(1)) = | 1 1 −2 | | 0 1 1 | | 2 4 1 | = - 2p = 1 + 0 + 2 + 4 − 4 − 0 = 3 - 3p

2. 1. b) Arătați că sistemul de ecuații are soluție unică, pentru orice număr real a.

   −+din 5
   Arată baremul

   det(A(a)) = | a 1 −2 | | 0 a 1 | | 2 4 1 | = a² + 2, pentru orice număr real a - 3p a² + 2 ≠ 0, pentru orice număr real a, deci sistemul de ecuații are soluție unică, pentru orice număr real a - 2p

3. 1. c) Determinați mulțimea numerelor reale a pentru care soluția (x₀, y₀, z₀) a sistemului de ecuații verifică inegalitatea…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: [−5, 2]

   y₀ = (12 − 3a)/(a² + 2), pentru orice număr real a - 3p (12 − 3a)/(a² + 2) ≥ 1, de unde obținem a ∈ [−5, 2] - 2p

4. 2. a) Arătați că 6 ∗ 7 = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   6 ∗ 7 = 4 − ½(6 − 4)(7 − 4) = - 3p = 4 − 3 = 1 - 2p

5. 2. b) Determinați numărul real x pentru care x ∗ (x + 4) = 6.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   x ∗ (x + 4) = 4 − ½(x − 4)x, pentru orice număr real x - 2p 4 − ½(x − 4)x = 6, de unde obținem x = 2 - 3p

6. 2. c) Determinați tripletele (m,n,p) de numere naturale, cu m < n < p, pentru care m ∗ n ∗ p = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (2,5,6) și (3,5,8)

   m ∗ n ∗ p = 4 + ¼(m − 4)(n − 4)(p − 4), pentru orice numere naturale m, n și p - 3p 4 + ¼(m − 4)(n − 4)(p − 4) = 3 ⇔ (m − 4)(n − 4)(p − 4) = −4 și, cum m, n și p sunt numere naturale cu m < n < p, obținem tripletele (2,5,6) și (3,5,8) - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = (2x² − 5x + 2)/√(x² + 2), x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a) f′(x) = √(x² + 2) + (x − 5) · 2x/(2√(x² + 2)) = 3p = (x² + 2 + x² − 5x)/√(x² + 2) = (2x² − 5x + 2)/√(x² + 2), x ∈ ℝ 2p

2. 1. b) Determinați intervalele de monotonie a funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: f este crescătoare pe (−∞, 1/2] și pe [2, +∞) și descrescătoare pe [1/2, 2].

   1. b) f′(x) = 0 ⇔ x = 1/2 sau x = 2 2p Pentru orice x ∈ (−∞, 1/2], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe (−∞, 1/2], pentru orice x ∈ [1/2, 2], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [1/2, 2] și, pentru orice x ∈ [2, +∞), f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [2, +∞) 3p

3. 1. c) Arătați că limₓ→+∞ ((x² − 5x)/f(x))ˣ = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. c) limₓ→+∞ ((x² − 5x)/f(x))ˣ = limₓ→+∞ (1 − 2/(x² + 2))^(x/2) = limₓ→+∞ [(1 − 2/(x² + 2))^(−(x² + 2)/2)]^(−x/(x² + 2)) = 3p = e^(limₓ→+∞ (−x/(x² + 2))) = e⁰ = 1 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₁² (f(x) − ln²x) dx = 31.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) ∫₁² (f(x) − ln²x) dx = ∫₁² (8x³ + 1) dx = [2x⁴ + x]₁² = 3p = 34 − 3 = 31 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₁ᵉ ((f(x) − 8x³ − 1)/x) dx = 1/3.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. b) ∫₁ᵉ ((f(x) − 8x³ − 1)/x) dx = ∫₁ᵉ ln²x · (ln x)′ dx = [ln³x/3]₁ᵉ = 3p = ln³e/3 − ln³1/3 = 1/3 2p

6. 2. c) Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul Iₙ = ∫₁^{e²} (x(ln x)ⁿ/(f(x) − 8x³)) dx. Demonstrați că…

   −+din 5
   Arată baremul

   2. c) Iₙ = ∫₁^{e²} (x(ln x)ⁿ/(1 + ln²x)) dx, Iₙ₊₂ + Iₙ = ∫₁^{e²} ((x(ln x)^(n+2) + x(ln x)ⁿ)/(1 + ln²x)) dx = ∫₁^{e²} x(ln x)ⁿ dx, pentru orice număr natural nenul n 3p Pentru orice x ∈ [1, e²], ln x ≤ 2, de unde obținem Iₙ₊₂ + Iₙ ≤ 2ⁿ ∫₁^{e²} x dx = 2^(n−1)(e⁴ − 1) 2p