Subiectul al III-lea, 2. c)

2. c) Iₙ = ∫₁^{e²} (x(ln x)ⁿ/(1 + ln²x)) dx, Iₙ₊₂ + Iₙ = ∫₁^{e²} ((x(ln x)^(n+2) + x(ln x)ⁿ)/(1 + ln²x)) dx = ∫₁^{e²} x(ln x)ⁿ dx, pentru orice număr natural nenul n 3p Pentru orice x ∈ [1, e²], ln x ≤ 2, de unde obținem Iₙ₊₂ + Iₙ ≤ 2ⁿ ∫₁^{e²} x dx = 2^(n−1)(e⁴ − 1) 2p