Subiectul al III-lea, 2., toate variantele

Reguli generale:

SUBIECTUL al III-lea, 2. a) ∫₁³ (f(x) − (ln² x)/x) dx = ∫₁³ (6 + 1/x) dx = (6x + ln x)|₁³ = - 3p = 18 + ln 3 − 6 − ln 1 = 12 + ln 3 - 2p

Reguli generale:

SUBIECTUL al III-lea, 2. b) ∫₁ᵉ (f(x) − 6 − 1/x) dx = ∫₁ᵉ ((ln² x)/x) dx = ∫₁ᵉ (ln x)′ · ln² x dx = ((ln³ x)/3)|₁ᵉ = - 3p = (ln³ e)/3 − (ln³ 1)/3 = 1/3 - 2p

Reguli generale:

SUBIECTUL al III-lea, 2. c) g(x) = 1/x² + (ln² x)/x², x ∈ (0,+∞) ⇒ A = ∫₁ᵉ |g(x)| dx = (−1/x)|₁ᵉ − ∫₁ᵉ (1/x)′ ln² x dx = - 2p = −1/e + 1 − ((ln² x)/x)|₁ᵉ − ((2/x)(1 + ln x))|₁ᵉ = 3 − 6/e, deci m(1 − 2/e) = 3 − 6/e, de unde obținem m = 3 - 3p

∫₂³ f(x)x ln x dx = ∫₂³ (x² − 4) dx = [x³/3 − 4x]₂³ = - 3p = −3 + 16/3 = 7/3 - 2p

∫ₑᵉ² [f(x)/(x² − 4)] dx = ∫ₑᵉ² [1/(x ln x)] dx = ∫ₑᵉ² [1/ln x] · (ln x)′ dx = [ln(ln x)]ₑᵉ² = - 3p = ln 2 − ln 1 = ln 2 - 2p

lim_{x→2} [1/F²(x)] ∫₂ˣ (t − 2)F(t) dt = lim_{x→2} (∫₂ˣ (t − 2)F(t) dt)′/(F²(x))′ = lim_{x→2} [(x − 2)F(x)]/[2F(x)f(x)] = - 3p = lim_{x→2} (x − 2)/(2f(x)) = lim_{x→2} (x ln x)/(2(x + 2)) = (ln 2)/4 - 2p

2. a) ∫₀² f(x)eˣ dx = ∫₀² (x+4) dx = [x²/2+4x]₀² = - 3p = 2+8 = 10 - 2p

2. b) ∫₀¹ f(x) dx = ∫₀¹ (x+4)(−e⁻ˣ)′ dx = [(x+4)(−e⁻ˣ)]₀¹ − [e⁻ˣ]₀¹ = - 3p = −5/e+4−1/e+1 = 5−6/e - 2p

2. c) Iₙ = ∫₀¹ (xⁿeˣ/(x+4)) dx, de unde obținem Iₙ₊₁ + 4Iₙ = ∫₀¹ ((xⁿ⁺¹+4xⁿ)eˣ/(x+4)) dx = ∫₀¹ xⁿeˣ dx, pentru orice număr natural nenul n - 2p Cum eˣ ≤ e, pentru orice x ∈ [0,1], obținem Iₙ₊₁ + 4Iₙ ≤ e∫₀¹ xⁿ dx = e·[xⁿ⁺¹/(n+1)]₀¹ = e/(n+1), pentru orice număr natural nenul n - 3p

∫₀³ f(x)(x+1)³ dx = ∫₀³ x² dx = [x³/3]₀³ = - 3p = 9−0 = 9 - 2p

∫₀¹ √(f(x)(x+1)) dx = ∫₀¹ x/(x+1) dx = ∫₀¹ (1−1/(x+1)) dx = [x]₀¹−[ln(x+1)]₀¹ = - 3p = 1−0−ln 2+ln 1 = 1−ln 2 - 2p

g(x) = eˣ/(eˣ+1)³, x ∈ ℝ ⇒ A = ∫₋₁¹ |g(x)| dx = ∫₋₁¹ eˣ/(eˣ+1)³ dx = ∫₋₁¹ (eˣ+1)′/(eˣ+1)³ dx = [−1/(2(eˣ+1)²)]₋₁¹ = - 3p = (e²−1)/(2(e+1)²) = (e−1)/(2(e+1)) - 2p

2. a) ∫₀³ (f(x) − e²ˣ) dx = ∫₀³ (3x² − 1) dx = [x³ − x]₀³ = - 3p = 24 − 0 = 24 - 2p

b) ∫₀¹ 4x(f(x) − 3x² + 1) dx = ∫₀¹ 2x(e²ˣ)′ dx = [2xe²ˣ]₀¹ − [e²ˣ]₀¹ = - 3p = 2e² − e² + 1 = e² + 1 - 2p

c) lim(x → 0) (1/x²) ∫₀ˣ f(t)/(t + 1) dt = lim(x → 0) [(∫₀ˣ f(t)/(t + 1) dt)′/(x²)′] = lim(x → 0) f(x)/(2x(x + 1)) = - 3p = lim(x → 0) f′(x)/(4x + 2) = lim(x → 0) (6x + 2e²ˣ)/(4x + 2) = 1 - 2p

2.a) ∫₁³ (f(x) − x ln x) dx = ∫₁³ (x + 1) dx = (x²/2 + x)|₁³ = - 3p = 15/2 − 3/2 = 6 - 2p

b) ∫₁ᵉ (f(x) − x − 1) dx = ∫₁ᵉ (x²/2)′ ln x dx = ((x²/2) ln x)|₁ᵉ − (x²/4)|₁ᵉ = - 3p = e²/2 − e²/4 + 1/4 = (e² + 1)/4 - 2p

c) g(x) = 1/(x + 1)², x ∈ [1,3], deci V = π∫₁³ g²(x) dx = π∫₁³ 1/(x + 1)⁴ dx = π(−1/(3(x + 1)³))|₁³ = 7π/192 - 3p 7π/192 = 7π/(24a), de unde obținem a = 8 - 2p

2. a) ∫₃⁴ f(x)(3x² + 1) dx = ∫₃⁴ 4x dx = [2x²]₃⁴ = - 3p = 32 − 18 = 14 - 2p

2. b) ∫₀¹ f(x) dx = ∫₀¹ 4x/(3x² + 1) dx = (2/3)∫₀¹ (3x² + 1)′/(3x² + 1) dx = [(2/3) ln(3x² + 1)]₀¹ = - 3p = (2/3) ln 4 − (2/3) ln 1 = (4/3) ln 2 - 2p

2. c) g(x) = ((3x² + 1) ln x)/x, x ∈ (0,+∞), deci A = ∫₁ᵉ |g(x)| dx = ∫₁ᵉ (3x + 1/x) ln x dx = ∫₁ᵉ (3x²/2)′ ln x dx + [(ln x)²/2]₁ᵉ = - 3p = 3[(x² ln x)/2 − x²/4]₁ᵉ + 1/2 = 3e²/4 + 3/4 + 1/2 = (3e² + 5)/4 - 2p

2.a) ∫₋₁¹ (f(x) − 6x²) dx = ∫₋₁¹ (x⁴ + 1) dx = [x⁵/5 + x]₋₁¹ = - 3p = 1/5 + 1 + 1/5 + 1 = 12/5 - 2p

b) ∫₁⁶ x³/(f(x) − 1) dx = ∫₁⁶ x/(x² + 6) dx = (1/2)∫₁⁶ (x² + 6)′/(x² + 6) dx = [(1/2)ln(x² + 6)]₁⁶ = - 3p = (ln 42)/2 − (ln 7)/2 = (ln 6)/2 - 2p

c) lim_{x→0} ((1/x³)∫₀ˣ (f(2t) − f(t)) dt) = lim_{x→0} ([∫₀ˣ (f(2t) − f(t)) dt]′/(x³)′) = lim_{x→0} ((f(2x) − f(x))/(3x²)) = - 3p = lim_{x→0} ((15x⁴ + 18x²)/(3x²)) = lim_{x→0} (5x² + 6) = 6 - 2p

∫₀² (x³ + 8) f(x) dx = ∫₀² 4x dx = 2x²|₀² = - 3p = 8 − 0 = 8 - 2p

∫₁⁴ x f(x) dx = ∫₁⁴ 4x²/(x³ + 8) dx = (4/3)∫₁⁴ (x³ + 8)′/(x³ + 8) dx = (4/3) · ln(x³ + 8)|₁⁴ = - 3p = (4/3) ln 8 = 4 ln 2 - 2p

lim_{x→0} ((1/x³)∫₀ˣ t · f(t) dt) = lim_{x→0} ((∫₀ˣ t · f(t) dt)′/(x³)′) = lim_{x→0} (x · f(x)/(3x²)) = - 3p = lim_{x→0} (4/(3(x³ + 8))) = 1/6 - 2p

Reguli generale:

2. a) ∫₀³ f(x)eˣ dx = ∫₀³ (x² + 2x) dx = [x³/3 + x²]₀³ = - 3p = 27/3 + 9 = 18 - 2p

Reguli generale:

2. b) ∫₀¹ (f(x)/(x + 2)) dx = ∫₀¹ x(−e⁻ˣ)′ dx = [x(−e⁻ˣ)]₀¹ − [e⁻ˣ]₀¹ = - 3p = −1/e − 1/e + 1 = (e − 2)/e - 2p

Reguli generale:

2. c) lim(x→0) ((1/x²) ∫₀ˣ f(t) dt) = lim(x→0) ((∫₀ˣ f(t) dt)′/(x²)′) = - 2p = lim(x→0) (f(x)/(2x)) = lim(x→0) (((x + 2)e⁻ˣ)/2) = 1 - 3p

∫₁² (f(x) − ln(x + 1)) dx = ∫₁² 6x dx = [3x²]₁² = - 3p = 12 − 3 = 9 - 2p

∫₀^(e−1) ((f(x) − 6x)/(x + 1)) dx = ∫₀^(e−1) ln(x + 1)(ln(x + 1))′ dx = [ln²(x + 1)/2]₀^(e−1) = - 3p = (ln² e)/2 − (ln² 1)/2 = 1/2 - 2p

g(x) = 6x² + ln(x² + 1) ⇒ A = ∫₀¹ |g(x)| dx = [2x³]₀¹ + ∫₀¹ x′ln(x² + 1) dx = 2 + ln 2 − ∫₀¹ (2x²/(x² + 1)) dx = - 3p = 2 + ln 2 − [2x]₀¹ + [2arctg x]₀¹ = π/2 + ln 2, deci π/2 + ln 2 = aπ + ln 2, de unde obținem a = 1/2 - 2p

Reguli generale:

2. a) ∫₀² (f(x) − 1/(eˣ + 1)) dx = ∫₀² (x + eˣ) dx = [x²/2 + eˣ]₀² = - 3p = 2 + e² − 1 = e² + 1 - 2p

Reguli generale:

2. b) ∫₋₁¹ eˣ(f(x) − x − eˣ) dx = ∫₋₁¹ eˣ/(eˣ + 1) dx = ∫₋₁¹ (eˣ + 1)′/(eˣ + 1) dx = [ln(eˣ + 1)]₋₁¹ = - 3p = ln(e + 1) − ln((1 + e)/e) = ln e = 1 - 2p

Reguli generale:

2. c) ∫₀¹ x(f(x) + f(−x)) dx = ∫₀¹ x(eˣ + e⁻ˣ + 1) dx = ∫₀¹ x(eˣ − e⁻ˣ + x)′ dx = [x(eˣ − e⁻ˣ + x)]₀¹ − − ∫₀¹ (eˣ − e⁻ˣ + x) dx = e − 1/e + 1 − [eˣ + e⁻ˣ + x²/2]₀¹ = 5/2 − 2/e - 3p 5/2 − 2/e = m/2 − 2/e, de unde obținem m = 5 - 2p

2. a) ∫₁⁵ (f(x) − √(x² + 9)) dx = ∫₁⁵ (3 − x) dx = (3x − x²/2)|₁⁵ = - 3p = 15 − 25/2 − 3 + 1/2 = 0 - 2p

2. b) ∫₀⁴ x/(f(x) + x − 3) dx = ∫₀⁴ x/√(x² + 9) dx = ∫₀⁴ (x² + 9)′/(2√(x² + 9)) dx = √(x² + 9)|₀⁴ = - 3p = 5 − 3 = 2 - 2p

2. c) Iₙ = ∫₀¹ xⁿ/f(x) dx = ∫₀¹ xⁿ/(3 − x + √(x² + 9)) dx, pentru orice număr natural nenul n - 2p 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 3 − x + √(x² + 9) ≥ 3 − x ≥ 2 ⇒ 0 ≤ xⁿ/(3 − x + √(x² + 9)) ≤ xⁿ/2, deci 0 ≤ Iₙ ≤ 1/(2(n + 1)), pentru orice număr natural nenul n și, cum limₙ→₊∞ 1/(2(n + 1)) = 0, obținem limₙ→₊∞ Iₙ = 0 - 3p

∫₀² f(x)/√(x² + 4) dx = ∫₀² x dx = [x²/2]₀² = - 3p = 4/2 − 0 = 2 - 2p

∫₀^√5 f(x) dx = (1/2)∫₀^√5 (x² + 4)′√(x² + 4) dx = (1/3)[(x² + 4)√(x² + 4)]₀^√5 = - 3p = (1/3)(27 − 8) = 19/3 - 2p

Iₙ = ∫₁² xⁿ/[x²(x² + 4)] dx = ∫₁² xⁿ⁻²/(x² + 4) dx, pentru orice număr natural n, n ≥ 2 - 2p Iₙ₊₂ + 4Iₙ = ∫₁² [xⁿ⁻²(x² + 4)]/(x² + 4) dx = [xⁿ⁻¹/(n − 1)]₁² = (2ⁿ⁻¹ − 1)/(n − 1), deci (2ⁿ⁻¹ − 1)/(n − 1) = 3/(n − 1), de unde obținem 2ⁿ⁻¹ = 4, deci n = 3, care convine - 3p

2.a) ∫₁² [f(x)/arctg x] dx = ∫₁² 2x dx = [x²]₁² = - 3p = 4 − 1 = 3 - 2p

b) ∫₀^√3 f(x) dx = ∫₀^√3 (x² + 1)′ arctg x dx = [(x² + 1) arctg x]₀^√3 − ∫₀^√3 (x² + 1) · [1/(x² + 1)] dx = 4 · π/3 − [x]₀^√3 = - 3p = 4π/3 − √3, de unde obținem a = 3/4 - 2p

c) ∫₋₁¹ x f(x) dx = 2∫₋₁¹ x² arctg x dx = 2∫₁⁻¹ (−x)² arctg(−x)(−1) dx = −2∫₋₁¹ x² arctg x dx = −∫₋₁¹ x f(x) dx - 3p 2∫₋₁¹ x f(x) dx = 0, deci ∫₋₁¹ x f(x) dx = 0 - 2p

2. a) ∫₀² (x² + x + 3)f(x) dx = ∫₀² (x² + x + 3) · x/(x² + x + 3) dx = ∫₀² x dx = [x²/2]₀² = - 3p = 4/2 = 2 - 2p

2. b) ∫₁² g(x) dx = ∫₁² (2x + 1)/(x² + x + 3) dx = ∫₁² (x² + x + 3)′/(x² + x + 3) dx = - 3p = [ln(x² + x + 3)]₁² = ln 9 − ln 5 = ln(9/5) - 2p

2. c) 0 ≤ x/(x² + x + 3) ≤ 1/2, pentru orice x ∈ [0, +∞), deci 0 ≤ fⁿ(x) ≤ (1/2)ⁿ, pentru orice x ∈ [0, +∞) și orice număr natural nenul n - 2p 0 ≤ Iₙ = ∫ₐᵇ fⁿ(x) dx ≤ (1/2)ⁿ(b − a), pentru orice număr natural nenul n și, cum limₙ→₊∞ (1/2)ⁿ = 0, obținem că limₙ→₊∞ Iₙ = 0 - 3p

2.a) ∫₀¹ (x⁴ + 1)f(x) dx = ∫₀¹ (x⁴ + 1 + 2x) dx = [x⁵/5 + x + x²]₀¹ = - 3p = 1/5 + 1 + 1 = 11/5 - 2p

b) lim(x→+∞) F(x)/x = lim(x→+∞) F′(x)/x′ = lim(x→+∞) f(x) = lim(x→+∞) (1 + 2x/(x⁴ + 1)) = 1 - 3p Asimptota oblică spre +∞ la graficul funcției F are panta egală cu 1 - 2p

c) G(x) = ∫₀ˣ f(t) dt = ∫₀ˣ (1 + 2t/(t⁴ + 1)) dt = [t + arctg(t²)]₀ˣ = x + arctg(x²), x ∈ ℝ - 2p ∫₀¹ xG(x) dx = ∫₀¹ (x² + x arctg(x²)) dx = [x³/3]₀¹ + (1/2)∫₀¹ (x²)′ arctg(x²) dx = 1/3 + (1/2)[x² arctg(x²)]₀¹ − ∫₀¹ x³/(x⁴ + 1) dx = = 1/3 + (1/2)·(π/4) − (1/4)[ln(x⁴ + 1)]₀¹ = 1/3 + π/8 − (1/4)ln 2 - 3p

∫₀³ (f(x) − √(x² + 4)) dx = ∫₀³ (x² − 2) dx = [x³/3 − 2x]₀³ = - 3p = 9 − 6 = 3 - 2p

∫₀^{√5} x/(f(x) − x² + 2) dx = ∫₀^{√5} x/√(x² + 4) dx = ∫₀^{√5} (x² + 4)′/(2√(x² + 4)) dx = [√(x² + 4)]₀^{√5} = - 3p = 3 − 2 = 1 - 2p

lim_{x→0} (1/x²) ∫₀ˣ F(t) dt = lim_{x→0} ((∫₀ˣ F(t) dt)′/(x²)′) = lim_{x→0} F(x)/(2x) = lim_{x→0} F′(x)/(2x)′ = - 3p = lim_{x→0} f(x)/2 = f(0)/2 = 0 - 2p

Reguli generale:

2.a) ∫₂³ f(x)/ln x dx = ∫₂³ (4x + 6/x²) dx = [2x²]₂³ − [6/x]₂³ = - 3p = 10 + 1 = 11 - 2p

Reguli generale:

b) ∫₁ᵉ x(f(x) − 4x ln x) dx = ∫₁ᵉ (6 ln x)/x dx = 6∫₁ᵉ ln x (ln x)′ dx = [3 ln² x]₁ᵉ = - 3p = 3 ln² e − 3 ln² 1 = 3 - 2p

Reguli generale:

c) Axa Ox este tangentă în punctul A(a,F(a)) la graficul lui F ⇒ F(a) = 0 și F′(a) = 0, unde a ∈ (0,+∞) și, cum F′(x) = f(x), x ∈ (0,+∞), obținem F(a) = 0 și f(a) = 0, deci a = 1 - 2p F(x) = ∫₁ˣ f(t) dt = ∫₁ˣ (2t² − 6/t)′ ln t dt = [(2t² − 6/t) ln t]₁ˣ − [t² + 6/t]₁ˣ = (2x² − 6/x) ln x − x² − 6/x + 7, x ∈ (0,+∞) - 3p

Reguli generale:

2. a) ∫₁² (f(x) − 1/(x + 2)) dx = ∫₁² 4x³ dx = [x⁴]₁² = - 3p = 16 − 1 = 15 - 2p

Reguli generale:

2. b) ∫₁ᵉ (4 ln x)/(f(x) − 4x³) dx = ∫₁ᵉ (4x + 8) ln x dx = ∫₁ᵉ (2x² + 8x)′ ln x dx = [(2x² + 8x) ln x]₁ᵉ − [x² + 8x]₁ᵉ = - 3p = 2e² + 8e − e² − 8e + 9 = e² + 9 - 2p

Reguli generale:

2. c) g(x) = 1/(eˣ + 2), x ∈ (−2, +∞) ⇒ 𝒜 = ∫₀¹ |g(x)| dx = (1/2) ∫₀¹ (1 − eˣ/(eˣ + 2)) dx = (1/2)[x − ln(eˣ + 2)]₀¹ = - 3p = (1/2)(1 − ln((e + 2)/3)) = (1/2) ln(3e/(e + 2)) - 2p

Reguli generale:

2. a) ∫₁⁴ (f(x) − eˣ) dx = ∫₁⁴ (x² − 1) dx = (x³/3 − x)|₁⁴ = - 3p = 64/3 − 4 − (1/3 − 1) = 18 - 2p

Reguli generale:

2. b) ∫₁² eˣ/(f(x) − x²) dx = ∫₁² eˣ/(eˣ − 1) dx = ∫₁² (eˣ − 1)′/(eˣ − 1) dx = ln(eˣ − 1)|₁² = - 3p = ln(e² − 1) − ln(e − 1) = ln(e + 1) - 2p

Reguli generale:

2. c) ∫₀¹ x/(f(x) + 1) dx = ∫₀¹ x/(eˣ + x²) dx și, cum eˣ + x² ≥ eˣ, pentru orice x ∈ [0, 1], obținem relația ∫₀¹ x/(f(x) + 1) dx ≤ ∫₀¹ xe⁻ˣ dx - 3p ∫₀¹ xe⁻ˣ dx = ∫₀¹ x(−e⁻ˣ)′ dx = −e⁻ˣ(x + 1)|₀¹ = 1 − 2/e, deci ∫₀¹ x/(f(x) + 1) dx ≤ 1 − 2/e - 2p

Reguli generale:

2. a) ∫₋₁² (2x² + 1)f(x) dx = ∫₋₁² x² dx = [x³/3]₋₁² = - 3p = 8/3 − (−1/3) = 3 - 2p

Reguli generale:

2. b) ∫₀² √(f(x)) dx = ∫₀² x/√(2x² + 1) dx = (1/2)∫₀² (2x² + 1)′/(2√(2x² + 1)) dx = (1/2)[√(2x² + 1)]₀² = - 3p = 3/2 − 1/2 = 1 - 2p

Reguli generale:

2. c) Iₙ = ∫₀¹ xⁿ(2 + e⁻ˣ) dx, (n + 1)Iₙ − Iₙ₊₁ = ∫₀¹ ((n + 1)xⁿ − xⁿ⁺¹)(2 + e⁻ˣ) dx = - 2p = [2xⁿ⁺¹]₀¹ − [2xⁿ⁺²/(n + 2)]₀¹ + ∫₀¹ (xⁿ⁺¹e⁻ˣ)′ dx = 2 − 2/(n + 2) + [xⁿ⁺¹e⁻ˣ]₀¹ = 2(n + 1)/(n + 2) + 1/e, pentru orice număr natural nenul n - 3p

2. a) ∫₁² (f(x) − ln²x) dx = ∫₁² (8x³ + 1) dx = [2x⁴ + x]₁² = 3p = 34 − 3 = 31 2p

2. b) ∫₁ᵉ ((f(x) − 8x³ − 1)/x) dx = ∫₁ᵉ ln²x · (ln x)′ dx = [ln³x/3]₁ᵉ = 3p = ln³e/3 − ln³1/3 = 1/3 2p

2. c) Iₙ = ∫₁^{e²} (x(ln x)ⁿ/(1 + ln²x)) dx, Iₙ₊₂ + Iₙ = ∫₁^{e²} ((x(ln x)^(n+2) + x(ln x)ⁿ)/(1 + ln²x)) dx = ∫₁^{e²} x(ln x)ⁿ dx, pentru orice număr natural nenul n 3p Pentru orice x ∈ [1, e²], ln x ≤ 2, de unde obținem Iₙ₊₂ + Iₙ ≤ 2ⁿ ∫₁^{e²} x dx = 2^(n−1)(e⁴ − 1) 2p

Reguli generale:

SUBIECTUL al III-lea, 2. a) ∫₁³ f(x)(x² + 1)² dx = ∫₁³ x dx = [x²/2]₁³ = - 3p = 9/2 − 1/2 = 4 - 2p

Reguli generale:

SUBIECTUL al III-lea, 2. b) ∫₀¹ f(x) dx = ∫₀¹ x/(x² + 1)² dx = (1/2)∫₀¹ (x² + 1)′/(x² + 1)² dx = −(1/2)·[1/(x² + 1)]₀¹ = - 3p = −1/4 + 1/2 = 1/4 - 2p

Reguli generale:

SUBIECTUL al III-lea, 2. c) Iₙ = ∫₀¹ xⁿ√(xf(x)) dx = ∫₀¹ xⁿ⁺¹/(x² + 1) dx, pentru orice număr natural nenul n - 2p Iₙ − Iₙ₊₄ = ∫₀¹ xⁿ⁺¹(1 − x⁴)/(x² + 1) dx = ∫₀¹ xⁿ⁺¹(1 − x²) dx = [xⁿ⁺²/(n + 2)]₀¹ − [xⁿ⁺⁴/(n + 4)]₀¹ = 1/(n + 2) − 1/(n + 4) = = 2/((n + 2)(n + 4)), pentru orice număr natural nenul n - 3p

2.a) ∫₀⁴ eˣ f(x) dx = ∫₀⁴ (x + 1) dx = [x²/2 + x]₀⁴ = - 3p = 8 + 4 = 12 - 2p

2.b) ∫₀¹ f(x) dx = ∫₀¹ (x + 1)(−e⁻ˣ)′ dx = [(x + 1)(−e⁻ˣ)]₀¹ − [e⁻ˣ]₀¹ = - 3p = −2/e + 1 − 1/e + 1 = (2e − 3)/e - 2p

2.c) Iₙ = ∫₀¹ [xⁿ⁻¹ e^(xⁿ)/(xⁿ + 1)] dx = (1/n)∫₀¹ [(xⁿ)′ e^(xⁿ)/(xⁿ + 1)] dx = (1/n)∫₀¹ [eᵗ/(t + 1)] dt, pentru orice număr natural n, n ≥ 2 - 3p Iₙ ≥ (1/n)∫₀¹ [1/(t + 1)] dt = (1/n)[ln(t + 1)]₀¹ = ln 2/n, pentru orice număr natural nenul n, n ≥ 2 și Iₙ ≤ (1/n)∫₀¹ eᵗ dt = (e − 1)/n, pentru orice număr natural nenul n, n ≥ 2 - 2p

∫₀³ (1 + e⁻ˣ)f(x) dx = ∫₀³ (x² + eˣ) dx = [x³/3 + eˣ]₀³ = - 3p = 27/3 + e³ − 0 − 1 = 8 + e³ - 2p

∫₋ₘᵐ f(x)/(x² + eˣ) dx = ∫₋ₘᵐ 1/(1 + e⁻ˣ) dx = ∫₋ₘᵐ (eˣ + 1)′/(eˣ + 1) dx = - 3p = [ln(1 + eˣ)]₋ₘᵐ = ln(1 + eᵐ) − ln((1 + eᵐ)/eᵐ) = ln eᵐ = m, pentru orice m ∈ (0, +∞) - 2p

limₓ→₀ ((1/(eᵃˣ − 1)) ∫₀ˣ f(t) dt) = limₓ→₀ ((∫₀ˣ f(t) dt)′/(eᵃˣ − 1)′) = - 2p = limₓ→₀ f(x)/(aeᵃˣ) = 1/(2a), de unde obținem 1/(2a) = 1, deci a = 1/2, care convine - 3p

Reguli generale:

2. a) ∫₀³ f(x)√(x + 3) dx = ∫₀³ (x² + 1) dx = [x³/3 + x]₀³ = - 3p = 9 + 3 = 12 - 2p

Reguli generale:

2. b) ∫₋₂¹ (f(x)/(x² + 1)) dx = ∫₋₂¹ ((x + 3)′/√(x + 3)) dx = [2√(x + 3)]₋₂¹ = - 3p = 4 − 2 = 2 - 2p

Reguli generale:

2. c) 1/f(x) = √(x + 3)/(x² + 1) ≤ 2/(x² + 1), pentru orice x ∈ [0,1], de unde obținem ∫₀¹ (1/f(x)) dx ≤ 2∫₀¹ (1/(x² + 1)) dx = - 3p = [2 arctg x]₀¹ = π/2 - 2p

Reguli generale:

2. a) ∫₄⁶ [f(x)/ln(x−1)] dx = ∫₄⁶ x dx = [x²/2]₄⁶ = - 3p = 18−8 = 10 - 2p

Reguli generale:

2. b) F este o primitivă a lui f, deci F′(x) = f(x) = x ln(x−1), de unde obținem că F′(x) > 0, pentru orice x ∈ (2,+∞), deci F este strict crescătoare pe (2,+∞) - 3p Cum 2 < √7 < 3, obținem că F(√7) < F(3) - 2p

Reguli generale:

2. c) ∫₃⁵ f(x) dx = ∫₃⁵ ((x²−1)/2)′ ln(x−1) dx = [(x²−1)/2 · ln(x−1)]₃⁵ − (1/2)∫₃⁵ [(x−1)(x+1)/(x−1)] dx = - 3p = 12ln4−4ln2 − (1/2)[x²/2+x]₃⁵ = 20ln2−5 = 5(4ln2−1), de unde obținem m = 5 - 2p

Reguli generale:

2. a) ∫₀³ eˣf(x) dx = ∫₀³ (x² + 1) dx = (x³/3 + x)|₀³ = - 3p = 27/3 + 3 = 12 - 2p

Reguli generale:

2. b) G este primitivă a funcției g ⇒ G′(x) = g(x), deci G″(x) = g′(x) = - 2p = eˣ(x − 1)²/(x² + 1)² ≥ 0, pentru orice x ∈ ℝ, deci funcția G este convexă - 3p

Reguli generale:

2. c) ∫₀¹ x³/√(eˣf(x)) dx = ∫₀¹ x³/√(x² + 1) dx = ∫₀¹ (x³ + x − x)/√(x² + 1) dx = ½∫₀¹ (x² + 1)′·(√(x² + 1) − 1/√(x² + 1)) dx = = ½(2(x² + 1)√(x² + 1)/3 − 2√(x² + 1))|₀¹ = (2 − √2)/3 - 3p (2 − √2)/3 = (a − √2)/3, de unde obținem a = 2 - 2p

Reguli generale:

SUBIECTUL al III-lea, 2. a) ∫₀¹ f(x)√(x² + 4x + 5) dx = ∫₀¹ 2(x + 3) dx = [x² + 6x]₀¹ = - 3p = 1 + 6 − 0 − 0 = 7 - 2p

Reguli generale:

SUBIECTUL al III-lea, 2. b) ∫₀¹ (f²(x) − 4) dx = ∫₀¹ [4(x + 3)² − 4(x² + 4x + 5)]/(x² + 4x + 5) dx = 4∫₀¹ (2x + 4)/(x² + 4x + 5) dx = - 2p = 4∫₀¹ (x² + 4x + 5)′/(x² + 4x + 5) dx = [4ln(x² + 4x + 5)]₀¹ = 4ln 2 - 3p

Reguli generale:

SUBIECTUL al III-lea, 2. c) Cum f²(x) − 4 = 4(2x + 4)/(x² + 4x + 5) ≥ 0 și f(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [0, +∞), obținem f(x) ≥ 2, deci fⁿ(x) ≥ 2ⁿ, pentru orice x ∈ [0, +∞) și orice număr natural nenul n - 2p Cum 0 ≤ a < b, Iₙ = ∫ₐᵇ fⁿ(x) dx ≥ 2ⁿ(b − a), pentru orice număr natural nenul n și, cum limₙ→₊∞ 2ⁿ = +∞, obținem că limₙ→₊∞ Iₙ = +∞ - 3p

∫₀¹(2f(x) + 1/(x² + 3)) dx = ∫₀¹ 1/(x² + 1) dx = arctg x|₀¹ = - 3p = arctg 1 − arctg 0 = π/4 - 2p

F : ℝ → ℝ este o primitivă a funcției f ⇒ F′(x) = f(x) = ½ · (x² + 3 − (x² + 1))/((x² + 1)(x² + 3)) = - 3p = 1/((x² + 1)(x² + 3)) > 0, pentru orice număr real x, deci funcția F este strict crescătoare - 2p

∫ₐᵇ f(x)F²(x) dx = ∫ₐᵇ F²(x)F′(x) dx = ⅓F³(x)|ₐᵇ = ⅓(F³(b) − F³(a)) - 3p Cum F este strict crescătoare, obținem că F(a) < F(b), pentru orice numere reale a și b, cu a < b, deci ∫ₐᵇ f(x)F²(x) dx > 0 - 2p