Subiectul al III-lea, 2. c)

2.c) Iₙ = ∫₀¹ [xⁿ⁻¹ e^(xⁿ)/(xⁿ + 1)] dx = (1/n)∫₀¹ [(xⁿ)′ e^(xⁿ)/(xⁿ + 1)] dx = (1/n)∫₀¹ [eᵗ/(t + 1)] dt, pentru orice număr natural n, n ≥ 2 - 3p Iₙ ≥ (1/n)∫₀¹ [1/(t + 1)] dt = (1/n)[ln(t + 1)]₀¹ = ln 2/n, pentru orice număr natural nenul n, n ≥ 2 și Iₙ ≤ (1/n)∫₀¹ eᵗ dt = (e − 1)/n, pentru orice număr natural nenul n, n ≥ 2 - 2p