Matematică mate-info, simulare 2024

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că (3 + lg(1/10)) · lg√10 = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   (3 + lg(1/10)) · lg√10 = 2 · lg√10 = - 3p = 2 · (1/2) = 1 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x² + ax − 1, unde a este număr real. Determinați numerele reale a pentru care…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = −1 sau a = 1

   f(1) = a, (f ∘ f)(1) = 2a² − 1 - 2p 2a² − 1 = 1, de unde obținem a = −1 sau a = 1 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2^(x+1) · 8^x = 32.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   2^(x+1) · 2^(3x) = 32, deci 2^(4x+1) = 2⁵, de unde obținem 4x + 1 = 5 - 3p x = 1 - 2p

4. 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de două cifre, numărul √(n + 100)…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2/45

   Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p Cum 110 ≤ n + 100 ≤ 199 și n + 100 este pătratul unui număr natural, obținem 4 numere: 21, 44, 69 și 96, deci p = 4/90 = 2/45 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,4), B(4,6) și C(4,2). Determinați coordonatele punctului D, știind…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: D(3,0)

   OD⃗ = ½(3i⃗ + 2j⃗ + 3i⃗ − 2j⃗) = 3i⃗ - 3p Coordonatele punctului D sunt x_D = 3 și y_D = 0 - 2p

6. 6. Arătați că E(π/3) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   tg(π/3) = √3, cos(π/6) = √3/2, cos(π/3) = 1/2 - 3p E(π/3) = √3 − 4 · (√3/2) · (1/2) = √3 − √3 = 0 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(0)) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(0) =

   ⎛ 1  −1   0⎞
   ⎜−1   0   0⎟
   ⎝ 0   0  −1⎠

   ⇒ det(A(0)) =

   │ 1  −1   0│
   │−1   0   0│
   │ 0   0  −1│

   = - 2p = 0 + 0 + 0 − 0 − 0 − (−1) = 1 - 3p

2. 1. b) Arătați că det(A(x) · A(x) − I₃) ≤ 0, pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(x) · A(x) =

   ⎛2 + x²  −1      0⎞
   ⎜    −1   1     −x⎟
   ⎝     0  −x  x² + 1⎠,

   A(x) · A(x) − I₃ =

   ⎛1 + x²  −1   0⎞
   ⎜    −1   0  −x⎟
   ⎝     0  −x  x²⎠ - 3p

   det(A(x) · A(x) − I₃) = −x²(1 + x²) − x² = −x²(2 + x²) ≤ 0, pentru orice număr real x - 2p

3. 1. c) Se consideră matricea B ∈ M₂,₃(ℝ), B = ⎛1 0 1⎞ ⎝0 1 0⎠. Determinați matricea X ∈ M₂,₃(ℝ) pentru care X · (A(0))⁻¹ = B…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: X = ⎛ 2 −1 1⎞ ⎝−1 1 0⎠

   X = B · A(0) · A(0) - 2p X =

   ⎛ 2  −1  1⎞
   ⎝−1   1  0⎠ - 3p

4. 2. a) Arătați că 1 ∗ 2 = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   1 ∗ 2 = (1² + 2² + 1 + 2)/(1 + 2 + 1) = - 3p = 8/4 = 2 - 2p

5. 2. b) Arătați că e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∗ 0 = (x² + 0² + x + 0)/(x + 0 + 1) = x(x + 1)/(x + 1) = x, pentru orice x ∈ M - 2p 0 ∗ x = (0² + x² + 0 + x)/(0 + x + 1) = x(x + 1)/(x + 1) = x, pentru orice x ∈ M, deci e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

6. 2. c) Determinați perechile (m,n) de numere naturale pentru care m ∗ n = 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (m,n) ∈ {(0,5), (4,5), (5,0), (5,4)}

   (m² + n² + m + n)/(m + n + 1) = 5, de unde obținem (m − 2)² + (n − 2)² = 13 - 3p Cum m și n sunt numere naturale, obținem perechile (0,5), (4,5), (5,0) și (5,4) - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 2(x² + 3x + 2)/√(x² + 4), x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = √(x² + 4) + (x + 6) · 2x/(2√(x² + 4)) = - 3p = (2x² + 6x + 4)/√(x² + 4) = 2(x² + 3x + 2)/√(x² + 4), x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Determinați intervalele de monotonie a funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: f este crescătoare pe (−∞,−2] și pe [−1,+∞), iar descrescătoare pe [−2,−1].

   f′(x) = 0 ⇔ x = −2 sau x = −1 - 2p f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ (−∞,−2] ⇒ f este crescătoare pe (−∞,−2], f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ [−2,−1] ⇒ f este descrescătoare pe [−2,−1] și f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [−1,+∞) ⇒ f este crescătoare pe [−1,+∞) - 3p

3. 1. c) Demonstrați că ecuația f(x) = m are soluție unică, pentru orice număr întreg m.

   −+din 5
   Arată baremul

   lim_{x→−∞} f(x) = −∞, f(−2) = √128, f(−1) = √125, lim_{x→+∞} f(x) = +∞, f este continuă și 11 < √125 < √128 < 12 - 3p Cum f este strict crescătoare pe (−∞,−2), f este descrescătoare pe [−2,−1] și f este strict crescătoare pe (−1,+∞), obținem că ecuația f(x) = m are soluție unică, pentru orice număr întreg m - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₀⁴ eˣ f(x) dx = 12.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) ∫₀⁴ eˣ f(x) dx = ∫₀⁴ (x + 1) dx = [x²/2 + x]₀⁴ = - 3p = 8 + 4 = 12 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀¹ f(x) dx = (2e − 3)/e.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.b) ∫₀¹ f(x) dx = ∫₀¹ (x + 1)(−e⁻ˣ)′ dx = [(x + 1)(−e⁻ˣ)]₀¹ − [e⁻ˣ]₀¹ = - 3p = −2/e + 1 − 1/e + 1 = (2e − 3)/e - 2p

6. 2. c) Pentru fiecare număr natural n, n ≥ 2, se consideră numărul Iₙ = ∫₀¹ xⁿ⁻¹/f(xⁿ) dx. Demonstrați că ln 2/n ≤ Iₙ ≤ (e −…

   −+din 5
   Arată baremul

   2.c) Iₙ = ∫₀¹ [xⁿ⁻¹ e^(xⁿ)/(xⁿ + 1)] dx = (1/n)∫₀¹ [(xⁿ)′ e^(xⁿ)/(xⁿ + 1)] dx = (1/n)∫₀¹ [eᵗ/(t + 1)] dt, pentru orice număr natural n, n ≥ 2 - 3p Iₙ ≥ (1/n)∫₀¹ [1/(t + 1)] dt = (1/n)[ln(t + 1)]₀¹ = ln 2/n, pentru orice număr natural nenul n, n ≥ 2 și Iₙ ≤ (1/n)∫₀¹ eᵗ dt = (e − 1)/n, pentru orice număr natural nenul n, n ≥ 2 - 2p