Matematică mate-info, simulare 2021

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Se consideră progresia geometrică (bₙ)ₙ≥₁ cu b₂ = 2 și b₄ = 4. Determinați b₆.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 8

   b₄² = b₂ · b₆ ⇒ 4² = 2b₆ - 3p b₆ = 8 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x² − 2x + m, unde m este număr real. Determinați numărul real m pentru care…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   2. xᵥ = 1, yᵥ = m − 1, unde V(xᵥ, yᵥ) este vârful parabolei asociate funcției f - 2p yᵥ = 3xᵥ ⇔ m − 1 = 3, deci m = 4 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4ˣ − 2ˣ⁺¹ − 3 = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = log₂ 3

   2²ˣ − 2 · 2ˣ − 3 = 0 ⇒ (2ˣ + 1)(2ˣ − 3) = 0 - 3p Cum 2ˣ > 0, obținem x = log₂ 3 - 2p

4. 4. Determinați numărul de numere naturale de trei cifre care au exact două cifre egale.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 243

   Numerele naturale de trei cifre care au exact două cifre egale sunt de forma a̅a̅b̅, a̅b̅a̅ sau b̅a̅a̅, unde a și b sunt cifre distincte - 2p Sunt 9 · 9 = 81 de numere de forma a̅a̅b̅, 9 · 9 = 81 de numere de forma a̅b̅a̅ și 9 · 9 = 81 de numere de forma b̅a̅a̅ cu a și b cifre distincte, deci numărul cerut este 81 · 3 = 243 - 3p

5. 5. Segmentele AB și A′B′ au același mijloc. Demonstrați că AB′⃗ + BA′⃗ = 0⃗.

   −+din 5
   Arată baremul

   AM⃗ = MB⃗ și A′M⃗ = MB′⃗, unde M este mijlocul segmentelor AB, respectiv A′B′ - 2p AB′⃗ + BA′⃗ = AM⃗ + MB′⃗ + BM⃗ + MA′⃗ = 0⃗ + 0⃗ = 0⃗ - 3p

6. 6. Demonstrați că, în orice triunghi ABC, are loc relația AB + AC + BC = 2R(sin A + sin B + sin C), unde R este raza…

   −+din 5
   Arată baremul

   6. 2R = BC/sin A = AC/sin B = AB/sin C - 2p BC = 2R sin A, AC = 2R sin B și AB = 2R sin C ⇒ AB + AC + BC = 2R(sin A + sin B + sin C) - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(X(0,1)) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   X(0,1) = ⎡ 0  1  2 ⎤
            ⎢ 1  2  3 ⎥
            ⎣ 0  1  1 ⎦
   ⇒ det(X(0,1)) = │ 0  1  2 │
                   │ 1  2  3 │
                   │ 0  1  1 │ = - 2p

   = 0 + 2 + 0 − 0 − 0 − 1 = 1 - 3p

2. 1. b) Demonstrați că, pentru orice numere reale distincte a și b, sistemul de ecuații are soluție unică.

   −+din 5
   Arată baremul

   det(X(a,b)) = │ a  a + 1  a + 2 │
                 │ b  b + 1  b + 2 │
                 │ 0    1      1   │ = b − a, pentru orice numere reale a și b - 3p

   Pentru a ≠ b, det(X(a,b)) ≠ 0, deci sistemul de ecuații are soluție unică - 2p

3. 1. c) Demonstrați că, dacă (x₀, y₀, z₀) este soluție a sistemului de ecuații, atunci y₀² − z₀² − 2ax₀ = 3, pentru orice…

   −+din 5
   Arată baremul

   Dacă a ≠ b, sistemul are soluția unică (0, 2, −1) și y₀² − z₀² − 2ax₀ = 2² − (−1)² − 2a·0 = 3, pentru orice număr real a - 2p Dacă a = b, sistemul are soluțiile (α, 2 + aα, −1 − aα), unde α ∈ ℝ, deci y₀² − z₀² − 2ax₀ = = (2 + aα)² − (−1 − aα)² − 2aα = 4 + 4aα + a²α² − 1 − 2aα − a²α² − 2aα = 3, pentru orice număr real a - 3p

4. 2. a) Arătați că 5 ∗ 10 = 17.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) 5 ∗ 10 = (5 − 1)^{log₃(10 − 1)} + 1 = 4^{log₃9} + 1 = - 3p = 4² + 1 = 17 - 2p

5. 2. b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   b) x ∗ e = x ⇔ (x − 1)^{log₃(e − 1)} + 1 = x ⇔ (x − 1)^{log₃(e − 1)} = x − 1, pentru orice x ∈ M, de unde obținem log₃(e − 1) = 1, deci e = 4 ∈ M - 3p Cum 4 ∗ x = 3^{log₃(x − 1)} + 1 = (x − 1) + 1 = x, pentru orice x ∈ M, obținem că e = 4 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 2p

6. 2. c) Determinați x ∈ M pentru care x ∗ x ∗ x = x ∗ x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   c) x ∗ x = (x − 1)^{log₃(x − 1)} + 1, x ∗ x ∗ x = (x − 1)^{[log₃(x − 1)]²} + 1, pentru orice x ∈ M - 2p Cum x ∈ M, (x − 1)^{log₃(x − 1)} = (x − 1)^{[log₃(x − 1)]²} ⇒ log₃(x − 1) = [log₃(x − 1)]², deci log₃(x − 1) = 0 sau log₃(x − 1) = 1 și, cum x > 2, obținem x = 4 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = (e²ˣ + 2x³)/√(e²ˣ + x⁴ + 2), x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = (2e²ˣ + 4x³)/(2√(e²ˣ + x⁴ + 2)) = - 3p = 2(e²ˣ + 2x³)/(2√(e²ˣ + x⁴ + 2)) = (e²ˣ + 2x³)/√(e²ˣ + x⁴ + 2), x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Demonstrați că tangenta la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f, este…

   −+din 5
   Arată baremul

   Panta tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f, este egală cu f′(0) = 1/√3 - 2p Cum dreapta de ecuație x − √3y = 0 are panta egală cu 1/√3, obținem că tangenta la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f este paralelă cu dreapta de ecuație x − √3y = 0 - 3p

3. 1. c) Demonstrați că funcția f are un unic punct de extrem.

   −+din 5
   Arată baremul

   g : ℝ → ℝ, g(x) = e²ˣ + 2x³ ⇒ g′(x) = 2e²ˣ + 6x² > 0, pentru orice x ∈ ℝ, deci funcția g este strict crescătoare pe ℝ și, cum limₓ→−∞ g(x) = −∞, limₓ→+∞ g(x) = +∞ și g este continuă, există un unic număr real c cu g(c) = 0 - 2p f este continuă pe ℝ și f′(x) < 0, pentru orice x ∈ (−∞, c) ⇒ f este strict descrescătoare pe (−∞, c] și f′(x) > 0, pentru orice x ∈ (c, +∞) ⇒ f este strict crescătoare pe [c, +∞), deci f are un unic punct de extrem - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₀¹(2f(x) + 1/(x² + 3)) dx = π/4.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₀¹(2f(x) + 1/(x² + 3)) dx = ∫₀¹ 1/(x² + 1) dx = arctg x|₀¹ = - 3p = arctg 1 − arctg 0 = π/4 - 2p

5. 2. b) Demonstrați că orice primitivă F a funcției f este strict crescătoare.

   −+din 5
   Arată baremul

   F : ℝ → ℝ este o primitivă a funcției f ⇒ F′(x) = f(x) = ½ · (x² + 3 − (x² + 1))/((x² + 1)(x² + 3)) = - 3p = 1/((x² + 1)(x² + 3)) > 0, pentru orice număr real x, deci funcția F este strict crescătoare - 2p

6. 2. c) Arătați că, pentru orice numere reale a și b, cu a < b, ∫ₐᵇ f(x)F²(x) dx > 0, pentru orice primitivă F a funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫ₐᵇ f(x)F²(x) dx = ∫ₐᵇ F²(x)F′(x) dx = ⅓F³(x)|ₐᵇ = ⅓(F³(b) − F³(a)) - 3p Cum F este strict crescătoare, obținem că F(a) < F(b), pentru orice numere reale a și b, cu a < b, deci ∫ₐᵇ f(x)F²(x) dx > 0 - 2p