Matematică mate-info, simulare 2023

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Se consideră numerele complexe z₁ = 1 + 2i și z₂ = 1 − i. Arătați că z₁² + 4z₂ = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. z₁² + 4z₂ = (1 + 2i)² + 4(1 − i) = 1 + 4i + 4i² + 4 − 4i = - 3p = 5 + 4·(−1) = 5 − 4 = 1 - 2p

2. 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x + 1 și g : ℝ → ℝ, g(x) = x² + x + m, unde m este număr real. Determinați…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   2. f(x) = g(x) ⇒ x² − 2x + m − 1 = 0 - 2p Δ = 0 și, cum Δ = 8 − 4m, obținem 8 − 4m = 0, deci m = 2 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația lg(x² + 9) = 2lg(x√10).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   3. lg(x² + 9) = lg(10x²) ⇒ x² + 9 = 10x², de unde obținem x² − 1 = 0 - 3p x = −1, care nu convine; x = 1, care convine - 2p

4. 4. Se consideră mulțimea A, a numerelor naturale de cel mult două cifre. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3/25

   4. Mulțimea A are 100 de elemente, deci sunt 100 de cazuri posibile - 2p Numerele din mulțimea A, divizibile cu 9, sunt 9 · 0, 9 · 1, 9 · 2, ... 9 · 11, deci sunt 12 cazuri favorabile, de unde obținem p = 12/100 = 3/25 - 3p

5. 5. În triunghiul ABC, punctul M este mijlocul laturii AC, iar punctele D și E aparțin segmentului AB, astfel încât AD =…

   −+din 5
   Arată baremul

   5. MD⃗ = MA⃗ + AD⃗ și ME⃗ = MC⃗ + CB⃗ + BE⃗ - 2p MD⃗ + ME⃗ = MA⃗ + MC⃗ + AD⃗ + BE⃗ + CB⃗ = 0⃗ + 0⃗ + CB⃗ = CB⃗ - 3p

6. 6. Determinați x ∈ [0,π] pentru care sin 2x = 1 + cos 2x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x ∈ {π/4, π/2}

   6. 2sin x cos x = 2cos² x ⇔ 2cos x(sin x − cos x) = 0 - 2p Cum x ∈ [0,π], obținem x = π/2 sau x = π/4 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(0)) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) det(A(0)) = │ 0  1   2 │
                    │ 1  0  −1 │
                    │ 2  2   1 │

   = 0·0·1 + 1·(−1)·2 + 1·2·2 − 2·0·2 − 1·1·1 − (−1)·2·0 = - 3p = 0 − 2 + 4 − 0 − 1 − 0 = 1 - 2p

2. 1. b) Determinați mulțimea numerelor reale a pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: ℝ ∖ {1}

   b) det(A(a)) = (a − 1)², pentru orice număr real a - 3p det(A(a)) = 0 ⇔ a = 1, deci sistemul are soluție unică pentru a ∈ ℝ ∖ {1} - 2p

3. 1. c) Pentru a = 1, determinați soluțiile (x₀, y₀, z₀) ale sistemului pentru care x₀, y₀ și z₀ sunt numere întregi și x₀ >…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (2, 0, −2) și (3, −1, −2)

   c) Pentru a = 1, soluțiile sistemului de ecuații sunt (α, 2 − α, −2), unde α ∈ ℂ - 2p Cum α este număr întreg și α > 2 − α > −2, obținem α = 2 sau α = 3, deci soluțiile sunt (2, 0, −2) și (3, −1, −2) - 3p

4. 2. a) Arătați că 1 ∗ (1/2) = 1/2.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) 1 ∗ (1/2) = (1 · (1/2)) / (1 + √((1 − 1²)(1 − (1/2)²))) = - 3p = (1/2) / (1 + √0) = 1/2 - 2p

5. 2. b) Arătați că x ∗ (−x) ≥ −x², pentru orice x ∈ M.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. b) x ∗ (−x) = −x² / (1 + |1 − x²|) = −x² / (2 − x²), pentru orice x ∈ M - 3p (x ∗ (−x)) + x² = x²(1 − x²) / (2 − x²) ≥ 0, deci x ∗ (−x) ≥ −x², pentru orice x ∈ M - 2p

6. 2. c) Determinați perechile (a,b) de numere din mulțimea M pentru care a ∗ b = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (a,b) ∈ {(−1,−1), (1,1)}

   2. c) a ∗ b = 1 ⇒ √((1 − a²)(1 − b²)) = ab − 1, deci ab ≥ 1 - 3p Cum a,b ∈ M, obținem ab = 1, deci perechile sunt (−1,−1) și (1,1), care convin - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = x(x − 2)/(eˣ + x²), x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) f′(x) = 1 − [1/(eˣ + x²)]·(eˣ + 2x) = - 3p = (x² − 2x)/(eˣ + x²) = x(x − 2)/(eˣ + x²), x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Determinați numerele reale a pentru care tangenta la graficul funcției f în punctul de coordonate (a, f(a)) este…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = 0 sau a = 2

   b) Tangenta la graficul funcției f în punctul de coordonate (a, f(a)) este paralelă cu axa Ox ⇔ f′(a) = 0 - 3p a(a − 2)/(eᵃ + a²) = 0 ⇔ a = 0 sau a = 2 - 2p

3. 1. c) Determinați imaginea funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (−∞, −1]

   c) Pentru orice x ∈ (−∞, 0], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe (−∞, 0]; pentru orice x ∈ [0, 2], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [0, 2]; pentru orice x ∈ [2, +∞), f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [2, +∞) - 2p Cum f este continuă, lim(x → −∞) f(x) = −∞, f(0) = −1 și lim(x → +∞) f(x) = −1, imaginea funcției f este (−∞, −1] - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₀³ f(x)√(x + 3) dx = 12.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. a) ∫₀³ f(x)√(x + 3) dx = ∫₀³ (x² + 1) dx = [x³/3 + x]₀³ = - 3p = 9 + 3 = 12 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₋₂¹ (f(x)/(x² + 1)) dx = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. b) ∫₋₂¹ (f(x)/(x² + 1)) dx = ∫₋₂¹ ((x + 3)′/√(x + 3)) dx = [2√(x + 3)]₋₂¹ = - 3p = 4 − 2 = 2 - 2p

6. 2. c) Demonstrați că ∫₀¹ (1/f(x)) dx ≤ π/2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. c) 1/f(x) = √(x + 3)/(x² + 1) ≤ 2/(x² + 1), pentru orice x ∈ [0,1], de unde obținem ∫₀¹ (1/f(x)) dx ≤ 2∫₀¹ (1/(x² + 1)) dx = - 3p = [2 arctg x]₀¹ = π/2 - 2p