Matematică mate-info, simulare 2025

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Determinați termenul b₁ al progresiei geometrice (bₙ)ₙ≥₁, în care b₃ = 40 și b₄ = 80.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 10

   1. q = b₄/b₃ = 2, unde q este rația progresiei geometrice - 2p b₁ = b₃/q², deci b₁ = 40/4 = 10 - 3p

2. 2. Determinați mulțimea numerelor reale m pentru care graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = x² − 2x + m intersectează axa…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: m ∈ (−∞, 1)

   2. f(x) = 0 are două soluții reale distincte, deci 4 − 4m > 0 - 3p m ∈ (−∞, 1) - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3ˣ + 2 · 3⁽ˣ⁺¹⁾ = 63.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   3. 3ˣ + 6 · 3ˣ = 63, deci 3ˣ = 9 - 3p x = 2 - 2p

4. 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de două cifre, n² să fie număr…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 11/45

   4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p Cum 10² ≤ n² ≤ 31², obținem 22 de cazuri favorabile, deci p = 22/90 = 11/45 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 2), B(7, 4) și C, astfel încât A⃗B = 2A⃗C. Determinați…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: D(3, 1)

   5. C⃗B = (1/2)A⃗B și A⃗B = 6i⃗ + 2j⃗ - 3p O⃗D = 3i⃗ + j⃗, deci punctul D are coordonatele (3, 1) - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABC, cu AB = 10, înălțimea AD = 8 și distanța de la punctul D la dreapta AC…

   −+din 5
   Arată baremul

   6. DC = 8, BD = 6 - 3p BC = 14 și A△ABC = (BC · AD)/2 = (14 · 8)/2 = 56 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(0)) = −2.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a)

   A(0) = ⎛ 0   1   0 ⎞
          ⎜ 3   1  −2 ⎟
          ⎝ 1  −3   0 ⎠
   ⇒ det(A(0)) = │ 0   1   0 │
                 │ 3   1  −2 │
                 │ 1  −3   0 │ = - 2p

   = 0 − 2 + 0 − 0 − 0 − 0 = −2 - 3p

2. 1. b) Determinați mulțimea numerelor reale a pentru care sistemul are soluție unică.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a ∈ ℝ \ {−2, 1}

   1. b)

   det(A(a)) = │ a   1  −a │
               │ 3   1  −2 │
               │ 1  −3   a │ = a² + a − 2, pentru orice număr real a - 2p

   det(A(a)) = 0 ⇔ a = −2 sau a = 1, deci sistemul de ecuații are soluție unică dacă și numai dacă a ∈ ℝ \ {−2, 1} - 3p

3. 1. c) Pentru a = 1, determinați soluțiile (x₁, y₁, z₁) și (x₂, y₂, z₂) ale sistemului de ecuații pentru care y₁ = x₂ și z₁…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (x₁, y₁, z₁) = (2, 3, 4) și (x₂, y₂, z₂) = (3, 4, 6)

   1. c) Pentru a = 1, soluțiile sistemului de ecuații sunt (α, α + 1, 2α), cu α ∈ ℂ - 2p α₁ + 1 = α₂ și 2α₁ = α₂ + 1, de unde obținem α₁ = 2 și α₂ = 3, deci soluțiile sunt (2, 3, 4) și (3, 4, 6) - 3p

4. 2. a) Arătați că 1 ∗ 4 = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) 1 ∗ 4 = √(1 · 4) + 1/√(1 · 4) + (1 + 4)/2 − 2 = - 3p = 2 + 1/2 + 5/2 − 2 = 3 - 2p

5. 2. b) Determinați x ∈ M pentru care x ∗ x = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 1/2 sau x = 1

   2. b) x ∗ x = (2x² − 2x + 1)/x, pentru orice x ∈ M - 2p (2x² − 2x + 1)/x = 1, deci 2x² − 3x + 1 = 0, de unde obținem x = 1/2 sau x = 1, care convin - 3p

6. 2. c) Demonstrați că mulțimea [1, +∞) este parte stabilă a mulțimii M în raport cu legea de compoziție „∗”.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. c) x ∗ y = (√(xy) − 1)²/√(xy) + (x + y)/2 ≥ (x + y)/2, pentru orice x, y ∈ M - 3p Pentru x, y ∈ [1, +∞), rezultă (x + y)/2 ≥ 1, deci x ∗ y ∈ [1, +∞), de unde obținem că [1, +∞) este parte stabilă a mulțimii M în raport cu legea de compoziție „∗” - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 4(x − 1)/(x(x + 2)²), x ∈ (0, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a) f′(x) = (2(x + 2) − (2x − 2))/(x + 2)² + (x/(x + 2)) · (x − (x + 2))/x² = - 3p = 6/(x + 2)² − 2/(x(x + 2)) = 4(x − 1)/(x(x + 2)²), x ∈ (0, +∞) - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 2

   1. b) lim_{x→+∞} f(x) = lim_{x→+∞} ((2x − 2)/(x + 2) + ln((x + 2)/x)) = 2 + 0 = 2 - 3p Dreapta de ecuație y = 2 este asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcției f - 2p

3. 1. c) Determinați numerele naturale n pentru care ecuația f(x) = n nu are soluții.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: n = 0 sau n = 1

   1. c) f′(x) = 0 ⇔ x = 1; pentru orice x ∈ (0, 1], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe (0, 1] și, pentru orice x ∈ [1, +∞), f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [1, +∞) - 2p lim_{x→0} f(x) = +∞, f(1) = ln 3, f este continuă și, cum 1 < ln 3 < 2, obținem n = 0 sau n = 1 - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₋₁² (2x² + 1)f(x) dx = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. a) ∫₋₁² (2x² + 1)f(x) dx = ∫₋₁² x² dx = [x³/3]₋₁² = - 3p = 8/3 − (−1/3) = 3 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀² √(f(x)) dx = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. b) ∫₀² √(f(x)) dx = ∫₀² x/√(2x² + 1) dx = (1/2)∫₀² (2x² + 1)′/(2√(2x² + 1)) dx = (1/2)[√(2x² + 1)]₀² = - 3p = 3/2 − 1/2 = 1 - 2p

6. 2. c) Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul Iₙ = ∫₀¹ xⁿ/f(√(eˣ)) dx. Arătați că (n + 1)Iₙ − Iₙ₊₁ = 2(n…

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. c) Iₙ = ∫₀¹ xⁿ(2 + e⁻ˣ) dx, (n + 1)Iₙ − Iₙ₊₁ = ∫₀¹ ((n + 1)xⁿ − xⁿ⁺¹)(2 + e⁻ˣ) dx = - 2p = [2xⁿ⁺¹]₀¹ − [2xⁿ⁺²/(n + 2)]₀¹ + ∫₀¹ (xⁿ⁺¹e⁻ˣ)′ dx = 2 − 2/(n + 2) + [xⁿ⁺¹e⁻ˣ]₀¹ = 2(n + 1)/(n + 2) + 1/e, pentru orice număr natural nenul n - 3p