Matematică mate-info, simulare 2026

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Se consideră numărul complex z = 2 + i. Arătați că z + z̄ + z · z̄ = 9, unde z̄ este conjugatul numărului complex z.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. z + z̄ + z · z̄ = 2 + i + 2 − i + (2 + i)(2 − i) = - 2p = 4 + 4 − i² = 8 + 1 = 9 - 3p

2. 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 1 și g : ℝ → ℝ, g(x) = x² − 4x + m, unde m este număr real. Determinați…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 8

   2. f(x) = g(x), deci x² − 6x + m + 1 = 0 - 2p Ecuația are soluție unică, deci Δ = 0 și, cum Δ = 32 − 4m, obținem m = 8 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația (1 + logₓ 2) log₂ x = 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 16

   3. log₂ x + logₓ 2 · log₂ x = 5, de unde obținem log₂ x = 4 - 3p x = 16, care convine - 2p

4. 4. Se consideră A, mulțimea numerelor naturale de două cifre, formate cu cifre nenule. Determinați probabilitatea ca,…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 17/81

   4. Mulțimea A are 81 de elemente, deci sunt 81 de cazuri posibile - 2p În mulțimea A sunt 17 numere care au produsul cifrelor divizibil cu 5, deci sunt 17 cazuri favorabile, de unde obținem p = 17/81 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,5) și B(4,2). Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = −2x+5

   m_OB = 1/2 și, cum m_OB·m_d = −1, obținem m_d = −2 - 3p Ecuația dreptei d este y−5 = −2x, adică y = −2x+5 - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 9 și AC = 12. Punctul M este mijlocul segmentului BC. Arătați…

   −+din 5
   Arată baremul

   AM = CM, de unde obținem d(C,AM) = d(A,CM) = AD, unde AD este înălțime a triunghiului ABC - 3p BC = 15 și, cum (15·AD)/2 = (9·12)/2, obținem d(C,AM) = 7,2 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(1)) = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a)

   A(1) = ⎛ 1   1   1 ⎞
          ⎜ 1  −1   1 ⎟
          ⎝ 3   2   1 ⎠

   ⇒ det(A(1)) = | 1 1 1 | | 1 −1 1 | | 3 2 1 | = - 2p = −1 + 2 + 3 + 3 − 2 − 1 = 4 - 3p

2. 1. b) Determinați mulțimea numerelor reale a pentru care matricea A(a) este inversabilă.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: ℝ ∖ {−1, 2}

   b) det(A(a)) = | a 1 1 | | 1 −1 a | | 3 2 1 | = −2a² + 2a + 4, pentru orice număr real a - 3p det(A(a)) = 0 ⇔ a = −1 sau a = 2, de unde obținem că mulțimea numerelor reale a pentru care matricea A(a) este inversabilă este ℝ ∖ {−1, 2} - 2p

3. 1. c) Considerăm (x₁, y₁, z₁) soluția sistemului de ecuații liniare pentru a = 1. Pentru a = 2, determinați soluțiile (x₀,…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (x₀, y₀, z₀) ∈ {(1, 3, −1), (3, 1, −3)}

   c) Pentru a = 2, soluțiile sistemului de ecuații liniare sunt (α, 4 − α, −α), cu α ∈ ℂ - 2p Pentru a = 1, y₁ = 3, deci α(4 − α) = 3, de unde obținem α = 1 sau α = 3, deci soluțiile pentru care x₀y₀ = y₁ sunt (1, 3, −1) și (3, 1, −3) - 3p

4. 2. a) Pentru m = 3, arătați că 0∗1 = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   0∗1 = √((0²+2)(1²+2)+3) = - 3p = √9 = 3 - 2p

5. 2. b) Pentru m = 7, determinați numerele reale x pentru care x∗(2x) = 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = −1 sau x = 1

   Pentru m = 7, x∗(2x) = √((x²+2)(4x²+2)+7), pentru orice număr real x - 2p √((x²+2)(4x²+2)+7) = 5, deci 2x⁴+5x²−7 = 0 și, cum x este număr real, obținem x = −1 sau x = 1 - 3p

6. 2. c) Determinați m ∈ [−4,+∞) pentru care legea de compoziție „∗” este asociativă.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -2

   (x∗y)∗z = x∗(y∗z), pentru orice numere reale x, y și z, de unde obținem ((x²+2)(y²+2)+m+2)(z²+2)+m = (x²+2)((y²+2)(z²+2)+m+2)+m - 3p (m+2)(z²+2) = (x²+2)(m+2), pentru orice numere reale x și z dacă și numai dacă m = −2, care convine - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = e^(x−2)(2x−3)/(2(x−1)√(x−1)), x ∈ (1,+∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = (e^(x−2)√(x−1) − e^(x−2)·1/(2√(x−1)))/(x−1) = - 3p = e^(x−2)(2(x−1)−1)/(2(x−1)√(x−1)) = e^(x−2)(2x−3)/(2(x−1)√(x−1)), x ∈ (1,+∞) - 2p

2. 1. b) Arătați că lim(x→2) (f(x))^(1/(x−2)) = √e.

   −+din 5
   Arată baremul

   lim(x→2) (f(x))^(1/(x−2)) = lim(x→2) (1+f(x)−1)^(1/(x−2)) = lim(x→2) ((1+f(x)−1)^(1/(f(x)−1)))^((f(x)−1)/(x−2)) = - 3p = e^(lim(x→2) ((f(x)−1)/(x−2))) = e^(f′(2)) = e^(1/2) = √e - 2p

3. 1. c) Determinați mulțimea numerelor reale m pentru care ecuația f(x) = mx are exact două soluții.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: m ∈ (1/2,+∞)

   Considerând g : (1,+∞) → ℝ, g(x) = f(x)/x, obținem g′(x) = (xf′(x)−f(x))/x², deci g′(x) = e^(x−2)(2x²−5x+2)/(2x²(x−1)√(x−1)), x ∈ (1,+∞); g′(x) = 0 ⇒ x = 2; pentru orice x ∈ (1,2), g′(x) < 0, deci g este strict descrescătoare pe (1,2) și, pentru orice x ∈ (2,+∞), g′(x) > 0, deci g este strict crescătoare pe (2,+∞) - 3p Cum lim(x→1) g(x) = +∞, g(2) = 1/2, lim(x→+∞) g(x) = +∞ și g este continuă, obținem că ecuația g(x) = m, deci ecuația f(x) = mx, are exact două soluții dacă și numai dacă m ∈ (1/2,+∞) - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₂³ f(x)/ln x dx = 11.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2.a) ∫₂³ f(x)/ln x dx = ∫₂³ (4x + 6/x²) dx = [2x²]₂³ − [6/x]₂³ = - 3p = 10 + 1 = 11 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₁ᵉ x(f(x) − 4x ln x) dx = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   b) ∫₁ᵉ x(f(x) − 4x ln x) dx = ∫₁ᵉ (6 ln x)/x dx = 6∫₁ᵉ ln x (ln x)′ dx = [3 ln² x]₁ᵉ = - 3p = 3 ln² e − 3 ln² 1 = 3 - 2p

6. 2. c) Determinați primitiva F : (0,+∞) → ℝ a funcției f, pentru care axa Ox este tangentă la graficul funcției F.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: F(x) = (2x² − 6/x) ln x − x² − 6/x + 7, x ∈ (0,+∞).

   Reguli generale:

   c) Axa Ox este tangentă în punctul A(a,F(a)) la graficul lui F ⇒ F(a) = 0 și F′(a) = 0, unde a ∈ (0,+∞) și, cum F′(x) = f(x), x ∈ (0,+∞), obținem F(a) = 0 și f(a) = 0, deci a = 1 - 2p F(x) = ∫₁ˣ f(t) dt = ∫₁ˣ (2t² − 6/t)′ ln t dt = [(2t² − 6/t) ln t]₁ˣ − [t² + 6/t]₁ˣ = (2x² − 6/x) ln x − x² − 6/x + 7, x ∈ (0,+∞) - 3p