Matematică mate-info, model de subiect 2021

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că numărul N = log₂6 − 2log₂3 + log₂24 este natural.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL I, 1. N = log₂6 − log₂9 + log₂24 = log₂((6·24)/9) = - 3p = log₂16 = 4, care este număr natural - 2p

2. 2. Se consideră funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = x² − x + 2. Arătați că dreapta de ecuație y = 2 intersectează graficul funcției…

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL I, 2. f(x) = 2 ⇔ x² − x + 2 = 2 ⇔ x² − x = 0 - 2p Cum ecuația x² − x = 0 are două soluții reale și distincte, obținem că dreapta y = 2 intersectează graficul funcției f în două puncte distincte - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(x² − 5) = √(3x − 1).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   Reguli generale:

   SUBIECTUL I, 3. x² − 5 = 3x − 1 ⇒ x² − 3x − 4 = 0 - 2p x = −1, care nu convine, x = 4, care convine - 3p

4. 4. Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi A, știind că mulțimea A are exact 15 submulțimi cu două elemente.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 6

   Reguli generale:

   SUBIECTUL I, 4. Mulțimea A are Cₙ² submulțimi cu 2 elemente, unde n ∈ ℕ, n ≥ 2, este numărul de elemente ale lui A - 2p Cₙ² = 15, deci n(n − 1)/2 = 15, de unde obținem că mulțimea A are 6 elemente - 3p

5. 5. Se consideră triunghiul ABC și punctele M, N și P mijloacele segmentelor BC, BM, respectiv CM. Arătați că AM⃗ + AN⃗ +…

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL I, 5. M mijlocul lui BC ⇒ AM⃗ = 1/2(AB⃗ + AC⃗) - 2p M mijlocul lui NP ⇒ AM⃗ = 1/2(AN⃗ + AP⃗), deci AM⃗ + AN⃗ + AP⃗ = 3AM⃗ = 3/2(AB⃗ + AC⃗) - 3p

6. 6. Determinați x ∈ (0, π), știind că sin 2x + 2sin² x = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 3π/4

   Reguli generale:

   SUBIECTUL I, 6. 2sin x cos x + 2sin² x = 0 ⇔ 2sin x(cos x + sin x) = 0 - 2p Cum x ∈ (0, π), obținem x = 3π/4 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(0,1,2)) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al II-lea, 1. a) A(0,1,2) =

   ⎛ 1  1  1 ⎞
   ⎜ 0  1  2 ⎟
   ⎝ 2  0  0 ⎠

   ⇒ det(A(0,1,2)) =

   │ 1  1  1 │
   │ 0  1  2 │
   │ 2  0  0 │ = - 2p

   = 0 + 0 + 4 − 2 − 0 − 0 = 2 - 3p

2. 1. b) Demonstrați că det(A(a,b,c)) = (b − a)(c − a)(c − b), pentru orice numere reale a, b și c.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al II-lea, 1. b) det(A(a,b,c)) =

   │ 1   1   1 │
   │ a   b   c │
   │ bc  ac  ab │ =
   │ 1   0        0       │
   │ a   b − a    c − a   │
   │ bc  ac − bc  ab − bc │ = - 2p

   =

   │ 1   0           0         │
   │ a   b − a       c − a     │
   │ bc  −c(b − a)   −b(c − a) │

   = (b − a)(c − a)(c − b), pentru orice numere reale a, b și c - 3p

3. 1. c) Demonstrați că, dacă m, n și p sunt numere naturale, cu m < n < p, astfel încât determinantul matricei A(m,n,p) este…

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al II-lea, 1. c) det(A(m,n,p)) = (n − m)(p − m)(p − n) și, cum m, n și p sunt numere naturale, cu m < n < p, obținem p − m > p − n > 0 și p − m > n − m > 0 - 3p Cum det(A(m,n,p)) este număr prim, obținem p − n = n − m = 1, deci numerele m, n și p sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice - 2p

4. 2. a) Pentru a = 1̂ și b = 2̂, arătați că f(0̂) + f(2̂) = 2̂.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) f = X⁴ + X³ + 2̂X + 2̂, deci f(0̂) = 2̂ și f(2̂) = 0̂ - 3p f(0̂) + f(2̂) = 2̂ + 0̂ = 2̂ - 2p

5. 2. b) Determinați perechile (a, b), cu a, b ∈ ℤ₃, pentru care polinomul f este divizibil cu X + 2̂.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (a, b) ∈ {(0̂, 0̂), (1̂, 2̂), (2̂, 1̂)}

   b) f este divizibil cu X + 2̂ ⇔ f(1̂) = 0̂, deci a + b = 0̂ - 3p Cum a, b ∈ ℤ₃, perechile sunt (0̂, 0̂), (1̂, 2̂) și (2̂, 1̂) - 2p

6. 2. c) Arătați că, pentru orice a, b ∈ ℤ₃, există x, y ∈ ℤ₃, cu x ≠ y, astfel încât f(x) = f(y).

   −+din 5
   Arată baremul

   c) f(0̂) + f(1̂) + f(2̂) = 2̂, pentru orice a, b ∈ ℤ₃ - 3p Dacă f(0̂), f(1̂) și f(2̂) ar fi distincte două câte două, atunci f(0̂) + f(1̂) + f(2̂) = 0̂ + 1̂ + 2̂ = 0̂, ceea ce este fals, deci pentru orice a, b ∈ ℤ₃, există x, y ∈ ℤ₃, cu x ≠ y, astfel încât f(x) = f(y) - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = eˣ(eˣ + 2x + 2)/(eˣ + 2)², x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) f′(x) = ((eˣ + xeˣ)(eˣ + 2) − xe²ˣ)/(eˣ + 2)² = - 3p = (e²ˣ + 2eˣ + 2xeˣ)/(eˣ + 2)² = eˣ(eˣ + 2x + 2)/(eˣ + 2)², x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Arătați că dreapta de ecuație y = x este asimptotă oblică spre +∞ la graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) lim(x→+∞) f(x)/x = lim(x→+∞) eˣ/(eˣ + 2) = 1 - 2p lim(x→+∞)(f(x) − x) = lim(x→+∞)(xeˣ − x(eˣ + 2))/(eˣ + 2) = lim(x→+∞)(−2x)/(eˣ + 2) = 0, deci dreapta de ecuație y = x este asimptotă oblică spre +∞ la graficul funcției f - 3p

3. 1. c) Demonstrați că funcția f are un unic punct de extrem.

   −+din 5
   Arată baremul

   c) g : ℝ → ℝ, g(x) = eˣ + 2x + 2 este strict crescătoare și, cum g este continuă, lim(x→−∞) g(x) = −∞ și lim(x→+∞) g(x) = +∞, există un unic număr real c, astfel încât g(c) = 0 - 3p f′(x) < 0, pentru orice x ∈ (−∞, c) ⇒ f este strict descrescătoare pe (−∞, c) și f′(x) > 0, pentru orice x ∈ (c, +∞) ⇒ f este strict crescătoare pe (c, +∞) și, cum f este continuă, obținem că f are un unic punct de extrem - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₀¹ f(x)√(x² + 4x + 5) dx = 7.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al III-lea, 2. a) ∫₀¹ f(x)√(x² + 4x + 5) dx = ∫₀¹ 2(x + 3) dx = [x² + 6x]₀¹ = - 3p = 1 + 6 − 0 − 0 = 7 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀¹ (f²(x) − 4) dx = 4ln 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al III-lea, 2. b) ∫₀¹ (f²(x) − 4) dx = ∫₀¹ [4(x + 3)² − 4(x² + 4x + 5)]/(x² + 4x + 5) dx = 4∫₀¹ (2x + 4)/(x² + 4x + 5) dx = - 2p = 4∫₀¹ (x² + 4x + 5)′/(x² + 4x + 5) dx = [4ln(x² + 4x + 5)]₀¹ = 4ln 2 - 3p

6. 2. c) Se consideră numerele reale a și b, cu 0 ≤ a < b. Pentru fiecare număr natural nenul n, se consideră numărul Iₙ = ∫ₐᵇ…

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al III-lea, 2. c) Cum f²(x) − 4 = 4(2x + 4)/(x² + 4x + 5) ≥ 0 și f(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [0, +∞), obținem f(x) ≥ 2, deci fⁿ(x) ≥ 2ⁿ, pentru orice x ∈ [0, +∞) și orice număr natural nenul n - 2p Cum 0 ≤ a < b, Iₙ = ∫ₐᵇ fⁿ(x) dx ≥ 2ⁿ(b − a), pentru orice număr natural nenul n și, cum limₙ→₊∞ 2ⁿ = +∞, obținem că limₙ→₊∞ Iₙ = +∞ - 3p