Matematică mate-info, model de subiect 2023

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Determinați numerele reale a și b pentru care (a+bi)(1+i) = 4, unde i² = −1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = 2 și b = −2

   1. a−b+(a+b)i = 4, de unde obținem a−b = 4 și a+b = 0 - 3p a = 2 și b = −2 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = mx²−2x+m, unde m este număr real nenul. Determinați numerele reale m pentru…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: m = −1 sau m = 1

   2. m(m−x)²−2(m−x)+m = m(m+x)²−2(m+x)+m ⇒ x(m²−1) = 0 și, cum egalitatea are loc pentru orice număr real x, obținem m²−1 = 0 - 3p m = −1 sau m = 1, care convin - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2log₂(2x) − 1 = log₂(x² + x + 2).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   Reguli generale:

   3. log₂(2x²) = log₂(x² + x + 2), de unde obținem x² − x − 2 = 0 - 3p. x = −1, care nu convine; x = 2, care convine - 2p.

4. 4. Se consideră mulțimile A = {1,2,3,4} și F = {f | f : A → A}. Determinați probabilitatea ca, alegând un element f din…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3/32

   Reguli generale:

   4. Mulțimea F are 4⁴ = 256 de elemente, deci sunt 256 de cazuri posibile - 2p. Pentru fiecare n ∈ A, f(n) se poate alege în n moduri, deci sunt 1 · 2 · 3 · 4 = 24 de cazuri favorabile, de unde obținem p = 24/256 = 3/32 - 3p.

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(5,3) și B(−1,5). Determinați coordonatele punctului C, știind că CA⃗…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: C(1,2)

   Reguli generale:

   5. CM⃗ = ½(CA⃗ + CB⃗), unde M este mijlocul segmentului AB, de unde obținem CM⃗ = OC⃗, deci punctul C este mijlocul segmentului OM - 3p. Cum xₘ = 2 și yₘ = 4, obținem x꜀ = 1 și y꜀ = 2 - 2p.

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, cu AB = 8, măsura unghiului C de 30° și punctul O, centrul cercului circumscris…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4√3

   Reguli generale:

   6. AB/sin C = 2R ⇒ R = AB/(2sin C) = 8/(2 · ½) = 8, unde R este raza cercului circumscris triunghiului ABC - 2p. Triunghiul OAB este echilateral cu latura egală cu 8, deci distanța de la punctul O la latura AB este OM = 4√3, unde M este mijlocul segmentului AB - 3p.

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(0)) = 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) A(0) = [3, 0, −2; 1, 1, −1; 2, −2, 1] ⇒ det(A(0)) = det([3, 0, −2; 1, 1, −1; 2, −2, 1]) = - 2p = 3 + 4 + 0 + 4 − 6 − 0 = 5 - 3p

2. 1. b) Determinați numerele reale a pentru care matricea A(a) este inversabilă.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a ∈ ℝ ∖ {−1, 1}

   b) det(A(a)) = det([3, a, −2; 2a+1, 1−a, −1; a+2, −2, 1]) = 5(1+a)(1−a), pentru orice număr real a - 2p det(A(a)) = 0 ⇔ a = −1 sau a = 1, deci matricea A(a) este inversabilă dacă și numai dacă a ∈ ℝ ∖ {−1, 1} - 3p

3. 1. c) Determinați numerele reale b și c pentru care sistemul de ecuații este compatibil, oricare ar fi numărul real a.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: b = 2 și c = 1

   c) Pentru a ∈ ℝ ∖ {−1, 1}, sistemul de ecuații este compatibil, oricare ar fi numerele reale b și c; pentru a ∈ {−1, 1}, det([a, −2; 1−a, −1]) ≠ 0, deci sistemul este compatibil dacă și numai dacă det([−1, −2, b; 2, −1, c; −2, 1, −1]) = 0 și det([1, −2, b; 0, −1, c; −2, 1, −1]) = 0 - 3p b = 2 și c = 1 - 2p

4. 2. a) Arătați că f(−1) = −15, pentru orice număr real a.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2.a) f(−1) = (−1)⁴ + a · (−1)³ + a · (−1)² + 8 · (−1) − 8 = - 3p. = 1 − a + a − 8 − 8 = −15, pentru orice număr real a - 2p.

5. 2. b) Determinați numărul real a pentru care restul împărțirii polinomului f la polinomul g = X² − 1 este egal cu 15X.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 7

   Reguli generale:

   2.b) Restul împărțirii polinomului f la polinomul g este egal cu (a + 8)X + a − 7, pentru orice număr real a - 3p. (a + 8)X + a − 7 = 15X, de unde obținem a = 7 - 2p.

6. 2. c) Arătați că, pentru orice număr real a, polinomul f nu are toate rădăcinile numere întregi.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2.c) Presupunând că rădăcinile x₁, x₂, x₃, x₄ ale polinomului f sunt numere întregi, cum x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = −a, obținem că a ∈ ℤ - 2p. x₁x₂x₃x₄ = −8 ⇒ |x₁| · |x₂| · |x₃| · |x₄| = 8, de unde obținem că cel puțin o rădăcină a polinomului f are modulul egal cu 1 și, cum f(−1) ≠ 0 pentru orice număr real a, obținem f(1) = 0, deci a = −1/2, ceea ce este fals, deci polinomul f nu are toate rădăcinile numere întregi - 3p.

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = −x²(4x arctg x+1), x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) f′(x) = −1−4x³ arctg x−(x⁴−1)·1/(x²+1) = - 3p = −1−4x³ arctg x−x²+1 = −x²(4x arctg x+1), x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f care este paralelă cu axa Ox.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 1

   b) Tangenta la graficul funcției f în punctul A(x₀, f(x₀)) este paralelă cu axa Ox ⇔ f′(x₀) = 0 - 2p −x₀²(4x₀ arctg x₀+1) = 0 și, cum x₀ arctg x₀ ≥ 0 pentru orice x₀ ∈ ℝ, obținem x₀ = 0, deci ecuația tangentei la graficul funcției f care este paralelă cu axa Ox este y−f(0) = f′(0)(x−0), adică y = 1 - 3p

3. 1. c) Demonstrați că tg(f(x)) ≥ f(x) ≥ f(tg x), pentru orice x ∈ [0, 1].

   −+din 5
   Arată baremul

   c) f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ ℝ, deci funcția f este descrescătoare pe ℝ și, cum f(0) = 1 și f(1) = 0, obținem 0 ≤ f(x) ≤ 1, pentru orice x ∈ [0, 1] - 2p Pentru g : [0, 1] → ℝ, g(x) = tg x−x, g′(x) = 1/cos²x−1 ≥ 0, pentru orice x ∈ [0, 1], deci g este crescătoare, de unde obținem tg x ≥ x, pentru orice x ∈ [0, 1], deci tg(f(x)) ≥ f(x) ≥ f(tg x), pentru orice x ∈ [0, 1] - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₀³ (1 + e⁻ˣ)f(x) dx = 8 + e³.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₀³ (1 + e⁻ˣ)f(x) dx = ∫₀³ (x² + eˣ) dx = [x³/3 + eˣ]₀³ = - 3p = 27/3 + e³ − 0 − 1 = 8 + e³ - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₋ₘᵐ f(x)/(x² + eˣ) dx = m, pentru orice m ∈ (0, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₋ₘᵐ f(x)/(x² + eˣ) dx = ∫₋ₘᵐ 1/(1 + e⁻ˣ) dx = ∫₋ₘᵐ (eˣ + 1)′/(eˣ + 1) dx = - 3p = [ln(1 + eˣ)]₋ₘᵐ = ln(1 + eᵐ) − ln((1 + eᵐ)/eᵐ) = ln eᵐ = m, pentru orice m ∈ (0, +∞) - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real nenul a pentru care limₓ→₀ ((1/(eᵃˣ − 1)) ∫₀ˣ f(t) dt) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = 1/2

   limₓ→₀ ((1/(eᵃˣ − 1)) ∫₀ˣ f(t) dt) = limₓ→₀ ((∫₀ˣ f(t) dt)′/(eᵃˣ − 1)′) = - 2p = limₓ→₀ f(x)/(aeᵃˣ) = 1/(2a), de unde obținem 1/(2a) = 1, deci a = 1/2, care convine - 3p