Matematică științele naturii, sesiunea iunie-iulie 2021

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Determinați al treilea termen al progresiei geometrice (bₙ)ₙ≥₁, știind că b₁ = 2 și b₂ = 6.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 18

   q = 3, unde q este rația progresiei geometrice - 3p b₃ = 2 · 3² = 18 - 2p

2. 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = x + 7 și g : ℝ → ℝ, g(x) = x − 7. Calculați (f ∘ g)(7).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 7

   2. g(7) = 0 - 2p (f ∘ g)(7) = f(g(7)) = f(0) = 7 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(2x − 1) = x − 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 5

   3. 2x − 1 = (x − 2)² ⇔ x² − 6x + 5 = 0 - 3p x = 1, care nu convine, x = 5, care convine - 2p

4. 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/2

   Mulțimea numerelor naturale de o cifră are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile - 2p Mulțimea numerelor naturale de o cifră care verifică n(n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4) > 0 are 5 elemente, deci sunt 5 cazuri favorabile - 2p p = (nr. cazuri favorabile)/(nr. cazuri posibile) = 5/10 = 1/2 - 1p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,1), B(−1,0), C(3,5) și D(5,6). Demonstrați că punctele B, D și…

   −+din 5
   Arată baremul

   Mijlocul segmentului AC este punctul M(2,3) și m_BM = 1 - 3p. m_BD = 1, deci m_BD = m_BM, de unde obținem că punctele B, D și M sunt coliniare - 2p.

6. 6. Determinați x ∈ (0,π), știind că (sin x − cos x)² = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3π/4

   sin²x − 2 sin x cos x + cos²x = 2 ⇔ 1 − sin 2x = 2 ⇔ sin 2x = −1 - 3p. Cum x ∈ (0,π), obținem 2x = 3π/2, deci x = 3π/4 - 2p.

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(0)) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(0) = [2, 1; −1, 0] ⇒ det(A(0)) = |2, 1; −1, 0| = 2 · 0 − 1 · (−1) = - 3p = 0 + 1 = 1 - 2p

2. 1. b) Arătați că A(1) + A(2) − A(1) · A(2) = I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(1) = [3, 2; −2, −1], A(2) = [5, 4; −4, −3], A(1) · A(2) = [7, 6; −6, −5] - 3p A(1) + A(2) − A(1) · A(2) = [3, 2; −2, −1] + [5, 4; −4, −3] − [7, 6; −6, −5] = [1, 0; 0, 1] = I₂ - 2p

3. 1. c) Se consideră numerele naturale m și n, astfel încât A(m) · A(n) = A(m + n). Arătați că m = n = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(m) · A(n) = [1 + 2ᵐ + 2ⁿ, 2ᵐ + 2ⁿ; −2ᵐ − 2ⁿ, 1 − 2ᵐ − 2ⁿ], A(m + n) = [1 + 2ᵐ⁺ⁿ, 2ᵐ⁺ⁿ; −2ᵐ⁺ⁿ, 1 − 2ᵐ⁺ⁿ], unde m și n sunt numere naturale - 2p A(m) · A(n) = A(m + n) ⇔ 2ᵐ⁺ⁿ = 2ᵐ + 2ⁿ ⇔ (2ᵐ − 1)(2ⁿ − 1) = 1 și, cum m și n sunt numere naturale, obținem m = n = 1 - 3p

4. 2. a) Arătați că (−1) ∗ (−1) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   (−1) ∗ (−1) = (−1)² + (−1)² + (−1) + (−1) = - 3p. = 1 + 1 − 1 − 1 = 0 - 2p.

5. 2. b) Demonstrați că x ∗ y = (x + 1/2)² + (y + 1/2)² − 1/2, pentru orice numere reale x și y.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∗ y = x² + x + 1/4 + y² + y + 1/4 − 1/2 = - 3p. = (x² + 2x · 1/2 + (1/2)²) + (y² + 2y · 1/2 + (1/2)²) − 1/2 = (x + 1/2)² + (y + 1/2)² − 1/2, pentru orice numere reale x și y - 2p.

6. 2. c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui x pentru care x² ∗ x² ≤ 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: [−1,1]

   x² ∗ x² ≤ 4 ⇔ 2(x² + 1/2)² − 1/2 ≤ 4 ⇔ (x² + 1/2)² ≤ 9/4, de unde obținem x² + 1/2 ≤ 3/2 - 3p. x ∈ [−1,1] - 2p.

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = ((2x + 3)(2x + 5))/(2(x + 2)), x ∈ (−2, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = 2x + 4 − (1/2) · (1/(x + 2)) = 2(x + 2) − 1/(2(x + 2)) = (4(x + 2)² − 1)/(2(x + 2)) = - 3p = ((2(x + 2) − 1)(2(x + 2) + 1))/(2(x + 2)) = ((2x + 3)(2x + 5))/(2(x + 2)), x ∈ (−2, +∞) - 2p

2. 1. b) Calculați limₓ→₊∞ (x² + 4x − f(x))/x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 0

   limₓ→₊∞ (x² + 4x − f(x))/x = limₓ→₊∞ ((1/2)ln(x + 2))/x = limₓ→₊∞ ln(x + 2)/(2x) = - 2p = limₓ→₊∞ (1/(x + 2))/2 = 0 - 3p

3. 1. c) Demonstrați că x² + 4x + 15/4 ≥ (1/2)ln(2x + 4), pentru orice x ∈ (−2, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ (−2, −3/2] ⇒ f este descrescătoare pe (−2, −3/2] și f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [−3/2, +∞) ⇒ f este crescătoare pe [−3/2, +∞), f(−3/2) = −15/4 + (1/2)ln 2 - 3p Pentru orice x ∈ (−2, +∞), f(x) ≥ f(−3/2), deci x² + 4x − (1/2)ln(x + 2) ≥ −15/4 + (1/2)ln 2, de unde obținem x² + 4x + 15/4 ≥ (1/2)ln(2x + 4), pentru orice x ∈ (−2, +∞) - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₀³ (x² + 1)f(x) dx = 18.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₀³ (x² + 1)f(x) dx = ∫₀³ (x² + 1 + 2) dx = [x³/3 + 3x]₀³ = - 3p. = 27/3 + 9 = 18 - 2p.

5. 2. b) Arătați că ∫₁³ xf(x) dx = 4 + ln 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₁³ xf(x) dx = ∫₁³ (x + 2x/(x² + 1)) dx = [x²/2]₁³ + [ln(x² + 1)]₁³ = - 3p. = (9 − 1)/2 + ln 10 − ln 2 = 4 + ln 5 - 2p.

6. 2. c) Demonstrați că F(x + 1) ≥ F(x) + 1, pentru orice număr real x, unde F este o primitivă a lui f.

   −+din 5
   Arată baremul

   F este o primitivă a funcției f și f este continuă, deci, pentru orice număr real x, F(x + 1) − F(x) = ∫ₓˣ⁺¹ f(t) dt - 2p. f(t) = 1 + 2/(t² + 1) > 1, pentru orice număr real t, deci ∫ₓˣ⁺¹ f(t) dt ≥ ∫ₓˣ⁺¹ 1 dt = x + 1 − x = 1, de unde obținem că F(x + 1) ≥ F(x) + 1, pentru orice număr real x - 3p.