Matematică științele naturii, simulare 2021

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Se consideră numărul complex z = 3 + 2i. Arătați că z + 13/z = 6.

   −+din 5
   Arată baremul

   z + 13/z = 3 + 2i + 13/(3 + 2i) = 3 + 2i + 13(3 − 2i)/(9 − 4i²) = 3 + 2i + 13(3 − 2i)/13 = - 3p = 3 + 2i + 3 − 2i = 6 - 2p

2. 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 5 și g : ℝ → ℝ, g(x) = x² + x. Determinați numărul real a pentru care…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 0

   Reguli generale:

   2. f(g(a)) = f(g(−a)) ⇔ 3g(a) − 5 = 3g(−a) − 5 ⇔ g(a) = g(−a) - 3p a² + a = a² − a ⇔ a = 0 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3^(3x + 5) = 9 · 3^(x + 1).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   3^(3x + 5) = 3² · 3^(x + 1) ⇔ 3^(3x + 5) = 3^(x + 3) - 3p 3x + 5 = x + 3 ⇒ x = −1 - 2p

4. 4. Se consideră A, o mulțime cu 4 elemente. Calculați probabilitatea ca, alegând o mulțime din mulțimea submulțimilor…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/2

   Numărul submulțimilor lui A este egal cu 2⁴, deci sunt 16 cazuri posibile - 2p Numărul submulțimilor lui A cu un număr impar de elemente este egal cu C₄¹ + C₄³ = 8, deci sunt 8 cazuri favorabile - 2p p = (nr. cazuri favorabile)/(nr. cazuri posibile) = 8/16 = 1/2 - 1p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,3), B(3,5) și C(0,6). Determinați ecuația dreptei d care trece…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = −x + 4

   Reguli generale:

   5. M(2,4) este mijlocul segmentului AB, deci m_CM = −1 - 2p d ∥ CM ⇒ m_d = −1, deci ecuația dreptei d este y − y_A = m_d(x − x_A), adică y = −x + 4 - 3p

6. 6. Calculați lungimea laturii BC a triunghiului ABC, știind că AB = 2, AC = 2√3 și B = π/3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   AC² = AB² + BC² − 2AB · BC · cos B ⇒ 12 = 4 + BC² − 2 · 2 · BC · 1/2 - 3p BC² − 2BC − 8 = 0 ⇒ BC = 4 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(x)) = a, pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a)

   det(A(x)) = │1 + 2x   0   −4x│
               │   0     a     0│
               │   x     0  1 − 2x│

   = a(1 + 2x)(1 − 2x) + 4ax² = - 3p = a(1 − 4x²) + 4ax² = a, pentru orice număr real x - 2p

2. 1. b) Determinați numărul real nenul a astfel încât A(x)·A(y) = A(x + y), pentru orice numere reale x și y.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   b)

   A(x)·A(y) = ⎡1 + 2(x + y)   0   −4(x + y)⎤
               ⎢      0        a²       0⎥
               ⎣    x + y      0   1 − 2(x + y)⎦,
   A(x + y) = ⎡1 + 2(x + y)   0   −4(x + y)⎤
              ⎢      0        a        0⎥
              ⎣    x + y      0   1 − 2(x + y)⎦,

   pentru orice numere reale x și y - 3p A(x)·A(y) = A(x + y) ⇒ a² = a și, cum a un număr real nenul, obținem a = 1 - 2p

3. 1. c) Pentru a = 1, determinați matricea X ∈ M₃(ℝ) pentru care A(2)·X = A(3).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: X = ⎡3 0 −4⎤ ⎢0 1 0⎥ ⎣1 0 −1⎦

   c) A(−2)·A(2) = A(0) = I₃, deci A(−2) este inversa matricei A(2) - 2p X = A(−2)·A(3) ⇒ X = A(1) ⇒

   X = ⎡3   0   −4⎤
       ⎢0   1    0⎥
       ⎣1   0   −1⎦ - 3p

4. 2. a) Arătați că 0 ∗ 2021 = 2021.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) 0 ∗ 2021 = log₂(2⁰ + 2²⁰²¹ − 1) = log₂(1 + 2²⁰²¹ − 1) = - 3p = log₂ 2²⁰²¹ = 2021 - 2p

5. 2. b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 0

   b) x ∗ e = x ⇔ log₂(2ˣ + 2ᵉ − 1) = x ⇔ 2ˣ + 2ᵉ − 1 = 2ˣ, pentru orice x ∈ [0, +∞), de unde obținem 2ᵉ = 1, deci e = 0 ∈ M - 3p Cum 0 ∗ x = log₂(1 + 2ˣ − 1) = x, pentru orice x ∈ [0, +∞), obținem că e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 2p

6. 2. c) Determinați x ∈ M pentru care x ∗ (x + 1) ∗ (x + 2) = log₂ 54.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   c) x ∗ (x + 1) ∗ (x + 2) = log₂(2ˣ + 2ˣ⁺¹ + 2ˣ⁺² − 2), x ∈ M - 3p log₂(2ˣ + 2ˣ⁺¹ + 2ˣ⁺² − 2) = log₂ 54 ⇒ 7·2ˣ − 2 = 54 ⇒ 2ˣ = 8, deci x = 3, care convine - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = (1 − x²)/(2(x² + 1)√((x² + x + 1)(x² + 1))), x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = (1/2)√((x² + 1)/(x² + x + 1)) · ((x² + x + 1)/(x² + 1))′ = - 2p = (1/2)√((x² + 1)/(x² + x + 1)) · ((2x + 1)(x² + 1) − (x² + x + 1) · 2x)/(x² + 1)² = (1 − x²)/(2(x² + 1)√((x² + x + 1)(x² + 1))), x ∈ ℝ - 3p

2. 1. b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre −∞ la graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 1

   lim(x → −∞) f(x) = lim(x → −∞) √((x² + x + 1)/(x² + 1)) = lim(x → −∞) √((1 + 1/x + 1/x²)/(1 + 1/x²)) = 1 - 3p Dreapta de ecuație y = 1 este asimptotă orizontală spre −∞ la graficul funcției f - 2p

3. 1. c) Demonstrați că √2 ≤ √((x² + x + 1)/(x² + 1)) + √((x² − x + 1)/(x² + 1)) ≤ √6, pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ (−∞, −1] ⇒ f descrescătoare pe (−∞, −1], f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [−1, 1] ⇒ f crescătoare pe [−1, 1] și f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ [1, +∞) ⇒ f descrescătoare pe [1, +∞) - 2p f(−1) = √2/2, f(1) = √6/2 și lim(x → +∞) f(x) = 1 ⇒ √2/2 ≤ f(x) ≤ √6/2, pentru orice număr real x, deci √2 ≤ f(x) + f(−x) ≤ √6 ⇒ √2 ≤ √((x² + x + 1)/(x² + 1)) + √((x² − x + 1)/(x² + 1)) ≤ √6, pentru orice număr real x - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₁³ (f(x) + 2 ln x) dx = 14.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. a) ∫₁³ (f(x) + 2 ln x) dx = ∫₁³ (2x + 3 − 2 ln x + 2 ln x) dx = ∫₁³ (2x + 3) dx = [x² + 3x]₁³ = - 3p = 9 + 9 − 1 − 3 = 14 - 2p

5. 2. b) Calculați ∫₁ᵉ (2x + 3 − f(x)) dx.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   Reguli generale:

   2. b) ∫₁ᵉ (2x + 3 − f(x)) dx = 2∫₁ᵉ ln x dx = [2x ln x]₁ᵉ − 2∫₁ᵉ x · (1/x) dx = - 3p = 2e − 2(e − 1) = 2 - 2p

6. 2. c) Arătați că ∫₀¹ x² f(x³ + 1) dx = 4(2 − ln 2)/3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. c) ∫₀¹ x² f(x³ + 1) dx = (1/3)∫₁² f(t) dt = (1/3)(∫₁² (2t + 3) dt − 2∫₁² ln t dt) = - 3p = (1/3)[t² + 3t − 2t ln t + 2t]₁² = (1/3)(4 + 6 − 4 ln 2 + 4 − 1 − 3 − 2) = 4(2 − ln 2)/3 - 2p