Subiectul I, 4., toate variantele

Prețul după prima ieftinire este x − (50/100)·x = x/2, unde x este prețul înainte de cele două ieftiniri - 2p Prețul după a doua ieftinire este x/2 − (50/100)·(x/2) = x/4, deci x/4 = 200, de unde obținem x = 800 de lei - 3p

Mulțimea A are 15 elemente, deci sunt 15 cazuri posibile - 2p În mulțimea A sunt 4 numere care sunt divizori ai lui 15, deci sunt 4 cazuri favorabile, de unde obținem p=4/15 - 3p

x + (35/100)·x = 54, unde x este prețul obiectului înainte de scumpire - 3p x = 40 de lei - 2p

4. Mulțimea A are 20 de elemente, deci sunt 20 de cazuri posibile - 2p În mulțimea A sunt 6 numere n pentru care numărul 3n + 2 aparține mulțimii A, deci sunt 6 cazuri favorabile, de unde obținem p = 6/20 = 3/10 - 3p

SUBIECTUL I, 4. Mulțimea A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile - 2p Numerele n, din mulțimea A, pentru care numărul n² aparține mulțimii A sunt 0, 1, 2 și 3, deci sunt 4 cazuri favorabile, de unde obținem p = 4/10 = 2/5 - 3p

(25/100) · x = 50, unde x este prețul obiectului înainte de scumpire - 3p x = 200 de lei - 2p

Mulțimea A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile - 2p Numerele n, din mulțimea A, pentru care numărul 2n + 1 aparține mulțimii A sunt 1, 2, 3 și 4, deci sunt 4 cazuri favorabile, de unde obținem p = 4/9 - 3p

După prima scumpire cu 20%, prețul obiectului este 150 + (20/100) · 150 = 180 de lei - 2p După a doua scumpire cu 20%, prețul obiectului este 180 + (20/100) · 180 = 216 lei - 3p

Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p În mulțimea numerelor naturale de două cifre, numerele care au produsul cifrelor egal cu 8 sunt: 18, 24, 42 și 81, deci sunt 4 cazuri favorabile, de unde obținem p = 4/90 = 2/45 - 3p

4. Cifra unităților poate fi aleasă în 4 moduri - 2p Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor poate fi aleasă în câte 8 moduri, deci se pot forma 4·8 = 32 de numere naturale impare de două cifre - 3p

SUBIECTUL I, 4. 4^(2x − 1) = 4³ - 2p 2x − 1 = 3, deci x = 2 - 3p

x + (20/100)x = 6x/5, unde x este prețul inițial - 2p 6x/5 + (20/100)·(6x/5) = 36x/25 ⇒ 36x/25 = 180, de unde obținem x = 125 lei - 3p

Mulțimea numerelor naturale nenule de o cifră are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile - 2p Divizorii numărului 18, din mulțimea numerelor naturale nenule de o cifră, sunt 1, 2, 3, 6 și 9, deci sunt 5 cazuri favorabile - 2p p = (nr. cazuri favorabile)/(nr. cazuri posibile) = 5/9 - 1p

4. Mulțimea A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile - 2p Numerele n din mulțimea A pentru care numărul n + 2 este impar sunt 1, 3, 5, 7 și 9, deci sunt 5 cazuri favorabile - 2p p = (nr. cazuri favorabile)/(nr. cazuri posibile) = 5/9 - 1p

(15/100) · x = 75, unde x este prețul înainte de ieftinire - 3p x = 500 de lei - 2p

x + (20/100)·x = 600, de unde obținem x = 500, unde x este prețul obiectului înainte de scumpiri - 2p 600 + (5/100)·600 = 630 de lei este prețul obiectului după cele două scumpiri, deci diferența dintre prețul obiectului după scumpiri și prețul înainte de scumpiri este 630 − 500 = 130 de lei - 3p

4. Mulțimea A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile - 2p În mulțimea A sunt 2 numere n pentru care n³ este număr natural de două cifre, deci sunt 2 cazuri favorabile, de unde obținem p = 2/10 = 1/5 - 3p

x − (75/100)·x = 2, unde x reprezintă lungimea traseului - 3p x = 8 km - 2p

(70/100)·900 = 630 de lei - 2p 630 − (10/100)·630 = 567 de lei este prețul de vânzare al produsului - 3p

Reguli generale:

SUBIECTUL I / 4. (20/100)·x = 80 de lei, unde x este prețul inițial al produsului - 2p x = 80·5 = 400 de lei, deci prețul final al produsului este 480 de lei - 3p

(40/100) · x = 80, unde x este numărul total de concurenți - 3p x = 200 de concurenți - 2p

Mulțimea M are 2022 de elemente, deci sunt 2022 de cazuri posibile - 2p Multiplii de 2 din M sunt 2·1, 2·2, 2·3, …, 2·1011, deci sunt 1011 cazuri favorabile p = (nr. cazuri favorabile)/(nr. cazuri posibile) = 1/2 - 3p

300 + (p/100) · 300 = 360, deci (p/100) · 300 = 60 - 3p p = 20 - 2p

4. Mulțimea numerelor naturale nenule mai mici decât 114 are 113 elemente, deci sunt 113 cazuri posibile - 2p În mulțimea numerelor naturale nenule mai mici decât 114 sunt 28 numere divizibile cu 4, deci sunt 28 cazuri favorabile - 2p p = (nr. cazuri favorabile)/(nr. cazuri posibile) = 28/113 - 1p

Numerele naturale de o cifră, pătrate perfecte sunt: 0, 1, 4, 9, deci sunt patru cazuri favorabile - 2p Numerele naturale de o cifră sunt 0, 1, 2, ..., 9, deci sunt zece cazuri posibile - 2p P = (număr cazuri favorabile)/(număr cazuri posibile) = 2/5 - 1p

SUBIECTUL I, 4. x + (20/100)·x = 660, unde x este prețul obiectului înainte de scumpire - 3p x = 550 de lei - 2p

Sunt 10 de numere naturale de o cifră, deci sunt 10 cazuri posibile - 2p Sunt 3 numere naturale de o cifră care pot fi scrise sub forma n³, deci sunt 3 cazuri favorabile - 2p p = (nr. cazuri favorabile)/(nr. cazuri posibile) = 3/10 - 1p