Subiectul I, 5., toate variantele

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0, 3), B(1, 5) și C(6, 0). Arătați că triunghiul ABC este dreptunghic în A.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,5), B(2,0) și C(4,2). Arătați că triunghiul ADC este isoscel, unde punctul D este mijlocul segmentului BC.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,4), B(2,0) și C(8,2). Determinați distanța dintre punctul A și mijlocul segmentului BC.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,5), B(8,4) și C, mijlocul segmentului OB. Arătați că AO = AC.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,2), B(2,5) și C, astfel încât B este mijlocul segmentului AC. Determinați coordonatele punctului C.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(4,6) și B(6,0). Determinați distanța dintre punctele B și M, unde punctul M este mijlocul segmentului OA.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 0), B(4, 4) și C(5, 2). Arătați că triunghiul ABC este dreptunghic în C.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2, 5) și B(4, 2). Determinați distanța dintre punctul A și mijlocul segmentului OB.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, −5) și B(5, 5). Determinați distanța de la punctul O la mijlocul segmentului AB.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(4, 0), B(0, 2), C(3, 3) și M, mijlocul segmentului AB. Arătați că segmentele MO și MC au lungimile egale.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 2), B(a, 0) și C(0, b). Determinați numerele reale a și b, știind că punctul A este mijlocul segmentului BC.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−1,0), B(0,3) și C(4,0). Arătați că triunghiul ABC este isoscel.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3,2) și B(1,4). Determinați coordonatele punctului C, astfel încât punctul A este mijlocul segmentului BC.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(6,0) și B(6,6). Arătați că triunghiul AOM este isoscel, unde punctul M este mijlocul segmentului OB.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,1), B(−1,0), C(3,5) și D(5,6). Demonstrați că punctele B, D și mijlocul segmentului AC sunt coliniare.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,4) și B(3,a), unde a este număr real. Determinați numărul real a, știind că punctele O, A și B sunt coliniare.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,8), B(0,4) și C(a,b), unde a și b sunt numere reale. Determinați numerele reale a și b, știind că segmentele OA și BC au același mijloc.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 0) și B(5, 4) și dreapta d de ecuație 2x + ay = 0, unde a este număr real. Determinați numărul real a pentru care mijlocul segmentului AB aparține dreptei d.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,2), B(2,0) și C(8,2). Determinați lungimea segmentului DE, unde punctele D și E sunt mijloacele segmentelor OA, respectiv BC.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3, 1) și B(2, 4). Arătați că triunghiul OAB este dreptunghic în A.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,1), B(2,2) și C(4,0). Arătați că triunghiul ABC este dreptunghic în B.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0, 3), B(2, 0) și C. Știind că punctul B este mijlocul segmentului OC, determinați distanța dintre punctele A și C.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,8), B(4,2) și C, mijlocul segmentului OA. Determinați coordonatele mijlocului segmentului BC.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−2,1) și B(2,5). Determinați ecuația dreptei d care trece prin punctul B și este perpendiculară pe dreapta AB.

Determinați numărul real a pentru care vectorii u⃗ = ai⃗ + (a − 1)j⃗ și v⃗ = i⃗ + 2j⃗ sunt coliniari.

Se consideră triunghiul ABC și punctul D mijlocul segmentului BC. Arătați că, pentru orice puncte E și F astfel încât AE⃗ = FD⃗, are loc relația 2(EB⃗ + FC⃗) = AB⃗ + AC⃗.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−1,4), B(5,2) și C, mijlocul segmentului AB. Determinați ecuația dreptei d care trece prin punctul C și este perpendiculară pe dreapta AB.

Determinați numărul real a, pentru care vectorii u⃗ = ai⃗ + j⃗ și v⃗ = 8i⃗ + 2j⃗ sunt coliniari.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,3), B(3,5) și C(0,6). Determinați ecuația dreptei d care trece prin punctul A și este paralelă cu mediana din vârful C a triunghiului ABC.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−4, 0), B(4, 0) și C(0, 4). Determinați coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC.