Subiectul I, 4., toate variantele

x − (65/100)·x = 70, unde x este prețul înainte de ieftinire - 3p x = 200 de lei - 2p

Mulțimea numerelor naturale de o cifră are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile - 2p. În mulțimea numerelor naturale de o cifră sunt 7 numere n pentru care 20 − 2n < 15, deci sunt 7 cazuri favorabile, de unde obținem p = 7/10 - 3p.

4. x − (30/100) · x = 56, unde x este prețul înainte de ieftinire - 3p x = 80 de lei - 2p

4. Mulțimea A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile - 2p În mulțimea A sunt 5 numere n pentru care 6n > 25, deci sunt 5 cazuri favorabile, de unde obținem p = 5/10 = 1/2 - 3p

4. x+(60/100)·x=320, unde x este prețul obiectului înainte de scumpire - 3p x=200 de lei - 2p

(30/100)·300 = 90 de lei - 3p Prețul după ieftinire este 300 − 90 = 210 de lei - 2p

4. Mulțimea A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile - 2p Numerele din mulțimea A care sunt divizibile cu 20 sunt 20, 40, 60 și 80, deci sunt 4 cazuri favorabile, de unde obținem p = 4/9 - 3p

4. Mulțimea A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile - 2p Numerele, din mulțimea A, care sunt divizibile cu 3 sunt 21, 51 și 81, deci sunt 3 cazuri favorabile, de unde obținem p = 3/9 = 1/3 - 3p

(20/100) · 80 = 16 lei - 2p Prețul după ieftinire este 80 − 16 = 64 de lei - 3p

Mulțimea A are 23 de elemente, deci sunt 23 de cazuri posibile - 2p În mulțimea A sunt 14 numere n care verifică inegalitatea n ≥ 10, deci sunt 14 cazuri favorabile, de unde obținem p = 14/23 - 3p

Mulțimea A are 5 elemente, deci sunt 5 cazuri posibile - 2p Numerele n, din mulțimea A, pentru care 2n ≥ 9 sunt 5, 7 și 9, deci sunt 3 cazuri favorabile, de unde obținem p = 3/5 - 3p

4. Mulțimea A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile 2p Numerele n din mulțimea A pentru care 5n ≤ 22 sunt 0, 1, 2, 3 și 4, deci sunt 5 cazuri favorabile, de unde obținem p = 5/10 = 1/2 3p

4. (10/100)·90 = 9 lei - 3p Prețul după scumpire este 90 + 9 = 99 de lei - 2p

Reguli generale:

4. Mulțimea A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile - 2p Numerele n din mulțimea A pentru care numărul 10 − n este par sunt 2, 4, 6 și 8, de unde obținem 4 cazuri favorabile, deci p = 4/9 - 3p

4. (30/100)·70=21 de lei - 3p Prețul după scumpire este 70+21=91 de lei - 2p

x+(25/100)·x=350, unde x este prețul produsului înainte de scumpire - 3p Prețul produsului înainte de scumpire este 280 de lei - 2p

4. Mulțimea A are 8 elemente, deci sunt 8 cazuri posibile - 2p În mulțimea A sunt 2 numere n pentru care numărul n(n + 1) este multiplu de 10, deci sunt 2 cazuri favorabile, de unde obținem p = 2/8 = 1/4 - 3p

4. Mulțimea A are 27 de elemente, deci sunt 27 de cazuri posibile - 2p În mulțimea A sunt 6 numere care sunt pătrate ale unor numere naturale, deci sunt 6 cazuri favorabile, de unde obținem p = 6/27 = 2/9 - 3p

4. (30/100)·500 = 150 - 3p Prețul obiectului după scumpire este 500 + 150 = 650 de lei - 2p

(25/100)·400 = 100 de lei - 2p Prețul obiectului după ieftinire este 400 − 100 = 300 de lei - 3p

x − (45/100)·x = 110, unde x este prețul produsului înainte de ieftinire - 3p x = 200 de lei - 2p

Mulțimea A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile - 2p În mulțimea A sunt 6 numere n pentru care n + 9 ≤ 15, deci sunt 6 cazuri favorabile, de unde obținem p = 6/9 = 2/3 - 3p

4. x + (50/100)·x = 225, unde x este prețul inițial al obiectului - 3p x = 150 de lei - 2p

4. Mulțimea A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile - 2p Numerele, din mulțimea A, care au suma cifrelor egală cu 2 sunt 11 și 20, deci sunt 2 cazuri favorabile, de unde obținem p = 2/10 = 1/5 - 3p

4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p Numerele naturale n, de două cifre, pentru care √n este număr natural par sunt 16, 36 și 64, deci sunt 3 cazuri favorabile, de unde obținem p = 3/90 = 1/30 - 3p

4. x − (30/100) · x = 210, unde x este prețul înainte de ieftinire - 3p x = 300 de lei - 2p

4. Mulțimea A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile - 2p Numerele n din mulțimea A pentru care n² ≤ 23 sunt 0, 1, 2, 3 și 4, deci sunt 5 cazuri favorabile, de unde obținem p = 5/10 = 1/2 - 3p

4. Mulțimea A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile - 2p Numerele n din mulțimea A pentru care numărul 4 · n este element al mulțimii A sunt 0, 1 și 2, deci sunt 3 cazuri favorabile - 2p p = (nr. cazuri favorabile)/(nr. cazuri posibile) = 3/10 - 1p

(30/100)·x = 60, unde x este prețul înainte de scumpire, deci x = 200 de lei - 3p După scumpire, prețul produsului este 200 + 60 = 260 de lei - 2p

4. (20/100) · 500 = 100 de lei - 3p Prețul după scumpire este 500 + 100 = 600 de lei - 2p

Numărul de submulțimi cu două elemente ale mulțimii A este egal cu C₅² = 5!/(3! · 2!) = 10 - 2p Numărul de submulțimi cu trei elemente ale mulțimii A este egal cu C₅³ = 5!/(2! · 3!) = 10, deci numărul de submulțimi cu două elemente ale mulțimii A este egal cu numărul de submulțimi cu trei elemente ale mulțimii A - 3p

4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p În mulțimea numerelor naturale de două cifre, multiplii de 25 sunt numerele 25, 50 și 75, deci sunt 3 cazuri favorabile - 2p p = (nr. cazuri favorabile)/(nr. cazuri posibile) = 3/90 = 1/30 - 1p