Subiectul I, 6., toate variantele

Se consideră expresia E(x) = cos x·sin 3x − sin 2x, unde x este număr real. Arătați că E(π/6) = 0.

Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu tg B = 1/3 și aria egală cu 24. Arătați că AC = 4.

Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu BC = 10 și sin B = 2/5. Arătați că AC = 4.

Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 4 și cos B = 2/3. Arătați că BC = 6.

Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = AC și aria egală cu 18. Arătați că BC = 6√2.

Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AC = 6 și aria egală cu 24. Arătați că AB = 8.

Se consideră expresia E(x) = 2sin x · cos(x/2) + (sin(3x/4))². Arătați că E(π/3) = 2.

Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 5 și BC = 5√5. Arătați că sin C = √5/5.

Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AC = 6 și tg C = √3. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 18√3.

Se consideră E(x) = 2 sin x sin 2x − cos x, unde x este număr real. Arătați că E(π/6) = 0.

Se consideră triunghiul ABC, cu AB = AC = 10 și BC = 16. Arătați că AD = 6, unde AD este înălțime în triunghiul ABC.

Se consideră E(x) = tg x + sin(3x/2) − 2cos(x/2), unde x ∈ (0, π/2). Arătați că E(π/3) = 1.

Se consideră expresia E(x) = sin x + sin(3x/2) − cos(x/2), unde x este număr real. Arătați că E(π/3) = 1.

Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, astfel încât AC = 4 și măsura unghiului B este egală cu 60°. Arătați că înălțimea din vârful A a triunghiului ABC are lungimea egală cu 2.

Determinați x ∈ (0,π), știind că (sin x − cos x)² = 2.

Se consideră E(x) = cos x + cos 2x + cos 3x, unde x este număr real. Arătați că E(π/4) = 0.

Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu C = π/6. Raza cercului circumscris triunghiului ABC este egală cu 4. Arătați că AB = 4.

Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu BC = 12 și C = π/6. Punctul M aparține segmentului AC astfel încât 3AM = AC. Arătați că BM = 4√3.

Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 6 și B = π/6. Arătați că raza cercului circumscris triunghiului ABC este egală cu 2√3.

Se consideră expresia E(x) = sin x + 2cos 2x + 2sin²(x/2), unde x este număr real. Arătați că E(π/2) = 0.

Se consideră E(x) = 3cos²x − cos(x/2) · sin x, unde x este număr real. Arătați că E(π/3) = 0.

Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu B = π/6 și mediana AM = 4. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 8√3.

Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 8 și C = π/4. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 32.

Arătați că (tg x + 1)(ctg x − 1) = 2ctg 2x, pentru orice x ∈ (0, π/2).

Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu măsura unghiului B egală cu π/6 și BC = 24. Bisectoarea unghiului C al triunghiului ABC intersectează latura AB în punctul D. Determinați lungimea segmentului CD.

Arătați că (sin x + cos x)² − (sin x − cos x)² = 2cos(π/2 − 2x), pentru orice număr real x.

Se consideră triunghiul isoscel ABC, cu măsura unghiului A egală cu 120° și AB = 6. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 9√3.

În triunghiul ABC dreptunghic în A, BC = 12 și B = π/6. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 18√3.

Calculați lungimea laturii BC a triunghiului ABC, știind că AB = 2, AC = 2√3 și B = π/3.

Arătați că sin 2x = 1, știind că tg x = 1 și x ∈ (0, π/2).