Sesiuni de examen
Se consideră mulțimea A = {2, 4, 5, 6}. Determinați câte numere naturale pare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea A.
Arată baremul
Răspuns: 18
4.
Cifra unităților se poate alege în 3 moduri - 2p
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 3 moduri și, pentru fiecare alegere a cifrei unităților și a cifrei zecilor, cifra sutelor se poate alege în câte 2 moduri, deci se pot forma 3·3·2 = 18 numere - 3p
Se consideră mulțimea A = {1, 2, 3, 5, 7}. Determinați câte dintre submulțimile mulțimii A au exact trei elemente și conțin numărul 5.
Arată baremul
Răspuns: 6
Numărul submulțimilor cu exact trei elemente ale mulțimii A, care conțin elementul 5, este egal cu numărul submulțimilor cu exact două elemente ale mulțimii A ∖ {5} - 3p
Mulțimea A ∖ {5} are 6 submulțimi cu exact două elemente - 2p
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de două cifre, √n să fie număr natural par.
Arată baremul
Răspuns: 1/30
I.4.
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 3 numere n pentru care √n este număr natural par, deci sunt 3 cazuri favorabile, de unde obținem p = 3/90 = 1/30 - 3p
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizor al numărului 2⁶.
Arată baremul
Răspuns: 1/30
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 3 divizori ai numărului 2⁶, deci sunt 3 cazuri favorabile, de unde obținem p = 3/90 = 1/30 - 3p
Se consideră mulțimea A={3,4,5,7,9}. Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea A.
Arată baremul
Răspuns: 16
Cifra unităților se poate alege în 4 moduri - 2p
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 4 moduri, deci se pot forma 4·4=16 numere - 3p
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de două cifre, numărul √(n + 1) să fie natural.
Arată baremul
Răspuns: 7/90
4.
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 7 numere n pentru care numărul √(n + 1) este natural, deci sunt 7 cazuri favorabile, de unde obținem p = 7/90 - 3p
Determinați câte submulțimi cu două elemente, ambele numere pare, are mulțimea A = {1, 2, 4, 6, 8, 9}.
Arată baremul
Răspuns: 6
În mulțimea A sunt 4 numere pare - 2p
Sunt C₄² = 4!/(2! · 2!) = 6 submulțimi cu două elemente, ambele numere pare - 3p
Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii A = {1, 2, 3, 7, 9}.
Arată baremul
Răspuns: 16
4.
Cifra unităților se poate alege în 4 moduri - 2p
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 4 moduri, deci se pot forma 4·4 = 16 numere - 3p
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele mai mari sau egale cu 7.
Arată baremul
Răspuns: 1/10
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p
Deoarece cifrele pot fi 7, 8 și 9, sunt 3 · 3 = 9 numere naturale de două cifre care au cifrele mai mari sau egale cu 7, deci sunt 9 cazuri favorabile, de unde obținem p = 9/90 = 1/10 - 3p
Se consideră mulțimea A, a numerelor naturale de două cifre. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A, numărul n + 5 să fie multiplu de 10.
Arată baremul
Răspuns: 1/10
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p
În mulțimea A sunt 9 numere n pentru care n + 5 este multiplu de 10, deci sunt 9 cazuri favorabile, de unde obținem p = 9/90 = 1/10 - 3p
Se consideră mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5}. Determinați numărul submulțimilor nevide ale mulțimii A, care au cel mult două elemente.
Arată baremul
Răspuns: 15
4.
C₅¹ + C₅² = - 3p
= 5 + 10 = 15 - 2p
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele impare și distincte.
Arată baremul
Răspuns: 2/9
4.
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 20 de numere care au cifrele impare și distincte, deci sunt 20 de cazuri favorabile, de unde obținem p = 20/90 = 2/9 - 3p
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor divizor al numărului 6.
Arată baremul
Răspuns: 4/9
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p
Deoarece cifra zecilor poate fi 1, 2, 3 sau 6, în mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 4·10 = 40 de numere care au cifra zecilor divizor al numărului 6, deci sunt 40 de cazuri favorabile, de unde obținem p = 40/90 = 4/9 - 3p
Determinați probabilitatea ca, alegând un element din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele mai mici sau egale cu 3.
Arată baremul
Răspuns: 2/15
4.
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 3·4=12 numere cu cifrele mai mici sau egale cu 3, deci sunt 12 cazuri favorabile, de unde obținem p=12/90=2/15 - 3p
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 8.
Arată baremul
Răspuns: 1/90
4.
Mulțimea numerelor naturale de trei cifre are 900 de elemente, deci sunt 900 de cazuri posibile - 2p
Mulțimea numerelor naturale de trei cifre care au produsul cifrelor egal cu 8 este {118, 181, 811, 124, 142, 214, 241, 412, 421, 222}, deci sunt 10 cazuri favorabile - 2p
p = (nr. cazuri favorabile)/(nr. cazuri posibile) = 10/900 = 1/90 - 1p
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 2 și cu 5.
Arată baremul
Răspuns: 1/10
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 9 numere divizibile cu 2 și cu 5, deci sunt 9 cazuri favorabile - 2p
p=(nr. cazuri favorabile)/(nr. cazuri posibile)=9/90=1/10 - 1p
Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are exact 16 submulțimi.
Arată baremul
Răspuns: 4
4.
O mulțime cu n elemente are 2ⁿ submulțimi - 3p
2ⁿ = 16, deci n = 4 - 2p
Simulări, modele de subiect și subiecte de rezervă
Se consideră mulțimea A = {1, 3, 5, 7, 8}. Determinați câte numere naturale de două cifre distincte, cu cifra zecilor impară, se pot forma cu cifre din mulțimea A.
Arată baremul
Răspuns: 16
Cifra zecilor se poate alege în 4 moduri - 2p
Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților se poate alege în câte 4 moduri, deci se pot forma 4 · 4 = 16 numere - 3p
Se consideră A, mulțimea numerelor naturale de două cifre, formate cu cifre nenule. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A, acesta să aibă produsul cifrelor divizibil cu 5.
Arată baremul
Răspuns: 17/81
4.
Mulțimea A are 81 de elemente, deci sunt 81 de cazuri posibile - 2p
În mulțimea A sunt 17 numere care au produsul cifrelor divizibil cu 5, deci sunt 17 cazuri favorabile, de unde obținem p = 17/81 - 3p
Se consideră mulțimea A = {3,6,9,…,60}. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A, acesta să fie divizibil cu 5.
Arată baremul
Răspuns: 1/5
Mulțimea A are 20 de elemente, deci sunt 20 de cazuri posibile - 2p
În mulțimea A sunt 4 numere divizibile cu 5, deci sunt 4 cazuri favorabile, de unde obținem p = 4/20 = 1/5 - 3p
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu impar al lui 9.
Arată baremul
Răspuns: 1/18
Reguli generale:
4.
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre, numerele 27, 45, 63, 81 și 99 sunt multiplii impari de 9, deci sunt 5 cazuri favorabile, de unde obținem p = 5/90 = 1/18 - 3p
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de două cifre, n² să fie număr natural de trei cifre.
Arată baremul
Răspuns: 11/45
4.
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p
Cum 10² ≤ n² ≤ 31², obținem 22 de cazuri favorabile, deci p = 22/90 = 11/45 - 3p
Se consideră mulțimea A = {1,2,3,4,5,6}. Determinați câte dintre numerele naturale de trei cifre distincte, care se pot forma cu cifre din mulțimea A, sunt divizibile cu 5.
Arată baremul
Răspuns: 20
Cifra unităților se poate alege într-un singur mod - 2p
Cifra sutelor se poate alege în 5 moduri și, pentru fiecare alegere a cifrei sutelor, cifra zecilor se poate alege în câte 4 moduri, deci sunt 1 · 5 · 4 = 20 de numere - 3p
Determinați câte numere naturale de două cifre distincte, cu cifra zecilor pară, se pot forma cu elementele mulțimii A = {1, 2, 3, 4, 5}.
Arată baremul
Răspuns: 8
Cifra zecilor se poate alege în 2 moduri - 2p
Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților se poate alege în câte 4 moduri, deci se pot forma 2 · 4 = 8 numere - 3p
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de două cifre, numărul √(n + 100) să fie natural.
Arată baremul
Răspuns: 2/45
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p
Cum 110 ≤ n + 100 ≤ 199 și n + 100 este pătratul unui număr natural, obținem 4 numere: 21, 44, 69 și 96, deci p = 4/90 = 2/45 - 3p
Se consideră mulțimile A = {1,2,3,4} și F = {f | f : A → A}. Determinați probabilitatea ca, alegând un element f din mulțimea F, acesta să verifice inegalitatea f(n) ≤ n, pentru orice n ∈ A.
Arată baremul
Răspuns: 3/32
Reguli generale:
4.
Mulțimea F are 4⁴ = 256 de elemente, deci sunt 256 de cazuri posibile - 2p.
Pentru fiecare n ∈ A, f(n) se poate alege în n moduri, deci sunt 1 · 2 · 3 · 4 = 24 de cazuri favorabile, de unde obținem p = 24/256 = 3/32 - 3p.
Se consideră mulțimea A, a numerelor naturale de cel mult două cifre. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A, acesta să fie divizibil cu 9.
Arată baremul
Răspuns: 3/25
4.
Mulțimea A are 100 de elemente, deci sunt 100 de cazuri posibile - 2p
Numerele din mulțimea A, divizibile cu 9, sunt 9 · 0, 9 · 1, 9 · 2, ... 9 · 11, deci sunt 12 cazuri favorabile, de unde obținem p = 12/100 = 3/25 - 3p
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre distincte, acesta să aibă cifra zecilor multiplu de 3.
Arată baremul
Răspuns: 1/3
Mulțimea numerelor naturale de două cifre distincte are 81 de elemente, deci sunt 81 de cazuri posibile - 2p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre distincte sunt 3·9 = 27 de numere care au cifra zecilor multiplu de 3, deci sunt 27 de cazuri favorabile - 2p
p = (nr. cazuri favorabile)/(nr. cazuri posibile) = 1/3 - 1p
Se consideră mulțimea A, a numerelor naturale de două cifre. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A, acesta să aibă exact doi multipli în mulțimea A.
Arată baremul
Răspuns: 8/45
4.
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p
Numărul n din mulțimea A are exact doi multipli în mulțimea A dacă 2n ≤ 99 < 3n, de unde obținem că numerele din mulțimea A care au exact doi multipli în mulțimea A sunt 34, 35, 36, ..., 49, deci sunt 16 cazuri favorabile și p = (nr. cazuri favorabile)/(nr. cazuri posibile) = 16/90 = 8/45 - 3p
Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi A, știind că mulțimea A are exact 15 submulțimi cu două elemente.
Arată baremul
Răspuns: 6
Reguli generale:
SUBIECTUL I, 4.
Mulțimea A are Cₙ² submulțimi cu 2 elemente, unde n ∈ ℕ, n ≥ 2, este numărul de elemente ale lui A - 2p
Cₙ² = 15, deci n(n − 1)/2 = 15, de unde obținem că mulțimea A are 6 elemente - 3p
Determinați numărul de numere naturale de trei cifre care au exact două cifre egale.
Arată baremul
Răspuns: 243
Numerele naturale de trei cifre care au exact două cifre egale sunt de forma a̅a̅b̅, a̅b̅a̅ sau b̅a̅a̅, unde a și b sunt cifre distincte - 2p
Sunt 9 · 9 = 81 de numere de forma a̅a̅b̅, 9 · 9 = 81 de numere de forma a̅b̅a̅ și 9 · 9 = 81 de numere de forma b̅a̅a̅ cu a și b cifre distincte, deci numărul cerut este 81 · 3 = 243 - 3p
Exersează zilnic cu Academos
Aplicația pentru Evaluarea Națională și Bac. În curând pe:
