Subiectul al III-lea, 2., toate variantele

SUBIECTUL al III-lea

2. a) E(x) = (x² − 2x + x − 3 + 7 − 3x)/((x − 2)(x − 3)) = - 1p = (x − 2)²/((x − 2)(x − 3)) = (x − 2)/(x − 3), pentru orice număr real x, x ≠ 2 și x ≠ 3 - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. b) E(4) = 2 - 1p A = 2ⁿ + 2ⁿ⁺³ = 2ⁿ(1 + 2³) = 2ⁿ · 9 - 1p Cum n este număr natural nenul, 2ⁿ ⋮ 2, deci numărul A = 2ⁿ · 9 este divizibil cu 18 - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. a) x² + 2x − 3 = x² − x + 3x − 3 = - 1p = x(x − 1) + 3(x − 1) = (x − 1)(x + 3), pentru orice număr real x - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. b) E(x) = ((x + 3)(x + 3) + 4x)/((x − 1)(x + 3)) · (x − 1)/(x + 9) = - 1p = (x² + 10x + 9)/(x + 3) · 1/(x + 9) = (x + 1)/(x + 3), pentru orice număr real x, x ≠ −9, x ≠ −3 și x ≠ 1 - 1p E(3) · E(4) · E(5) · E(6) = 5/18, de unde obținem T = √(90 · 5/18) = 5, deci numărul T este natural - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. a) 2/(x − 3) − 3/x + 2/(x + 3) = (2x(x + 3) − 3(x − 3)(x + 3) + 2x(x − 3))/(x(x − 3)(x + 3)) = - 1p = (2x² + 6x − 3x² + 27 + 2x² − 6x)/(x(x − 3)(x + 3)) = (x² + 27)/(x(x − 3)(x + 3)), pentru orice număr real x, x ≠ −3, x ≠ 0 și x ≠ 3 - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. b) E(x) = ((x² + 27)/(x(x − 3)(x + 3))) · (x(x − 3)/1) = (x² + 27)/(x + 3), pentru orice număr real x, x ≠ −3, x ≠ 0, x ≠ 3 - 1p E(n) − 6 = (n − 3)²/(n + 3), pentru orice număr natural n, n ≠ 0 și n ≠ 3 - 1p Cum n + 3 > 0 și (n − 3)² > 0, rezultă că E(n) − 6 > 0, deci E(n) > 6, pentru orice număr natural n, n ≠ 0 și n ≠ 3 - 1p

2. a) x² − 3x + 2 = x² − 2x − x + 2 = - 1p = x(x − 2) − (x − 2) = (x − 2)(x − 1), pentru orice număr real x - 1p

2. b) E(x) = (1/((x − 1)(x − 2)) + 1/(x − 1)) · (x² − 4) = ((x − 1)/((x − 1)(x − 2))) · (x² − 4) = - 1p = ((x − 1)/((x − 1)(x − 2))) · (x − 2)(x + 2) = x + 2, pentru orice număr real x, x ≠ 1 și x ≠ 2 - 1p N = 5/(n + 2) este număr natural, deci n + 2 ∈ {1, 5}, de unde obținem n = −1 și n = 3 - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. a) 1/((x + 1)(x + 2)) + 1/(x + 2) = (1 + x + 1)/((x + 1)(x + 2)) = - 1p = (x + 2)/((x + 1)(x + 2)) = 1/(x + 1), pentru orice număr real x, x ≠ −2 și x ≠ −1 - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. b) E(x) = 1/(x + 1) · (5(x + 1))/(x + 3) = 5/(x + 3), unde x este număr real, x ≠ −3, x ≠ −2 și x ≠ −1 - 1p 5/(x + 3) = (x − 3)/8, de unde obținem x² = 49 - 1p x = −7 sau x = 7, care convin, deci suma soluțiilor ecuației este egală cu 0 - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. a) E(x) = x² + 2x + 1 + 2(x² − 2x + 1) − 3(x² − 1) = - 1p = x² + 2x + 1 + 2x² − 4x + 2 − 3x² + 3 = 6 − 2x, pentru orice număr real x - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. b) 6 − 2x < x - 1p 3x > 6 - 1p x > 2, deci x ∈ (2, +∞) - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. a) E(x) = (4x²/9 + 2x/3 + 1/4) − (x²/9 + 5x/3 + 25/4) − x²/3 − x = - 1p = 4x²/9 + 2x/3 + 1/4 − x²/9 − 5x/3 − 25/4 − x²/3 − x = −2x − 6, pentru orice număr real x - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. b) −2a − 6 > −10 - 1p −2a > −4, deci a < 2 - 1p Cum a este număr natural, obținem a = 0 sau a = 1 - 1p

SUBIECTUL al III-lea:

2. a) E(x) = 4x² − 4x + 1 − (2x² − 8) + x² + 6x + 9 = - 1p = 3x² + 2x + 18, pentru orice număr real x - 1p

SUBIECTUL al III-lea:

2. b) A = 3n² + 3n + 18 = - 1p = 3(n² + n + 6), pentru orice număr natural n - 1p n² + n + 6 = n(n + 1) + 6 este număr par, pentru orice număr natural n, deci A este multiplu de 6, pentru orice număr natural n - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. a) 1/(x + 3) + 3/(x² − 9) = 1/(x + 3) + 3/((x − 3)(x + 3)) = - 1p = (x − 3 + 3)/((x − 3)(x + 3)) = x/((x − 3)(x + 3)), pentru orice număr real x, x ≠ −3, x ≠ 3 - 1p

2. b) E(x) = [3/(x + 3)²] · [x/(x − 3)] · [(x − 3)(x + 3)/x] = 3/(x + 3), pentru orice număr real x, x ≠ −3, x ≠ 0 și x ≠ 3 - 1p N = (n + 3 + n + 4 + n + 5)/3 = (3n + 12)/3 = - 1p = n + 4, care este număr natural, pentru orice număr natural n, n > 3 - 1p

2. a) x² − 3x + 2 = x² − x − 2x + 2 = - 1p = x(x − 1) − 2(x − 1) = (x − 2)(x − 1), pentru orice număr real x - 1p

2. b) E(x) = (1/((x − 2)(x − 1)) − (x − 2)/((x − 2)(x − 1))) : ((x − 3)²/(x − 1)) = - 1p = ((3 − x)/((x − 2)(x − 1))) · ((x − 1)/(x − 3)²) = −((x − 3)/(x − 2)) · (1/(x − 3)²) = −1/((x − 2)(x − 3)), pentru orice număr real x, x ≠ 1, x ≠ 2 și x ≠ 3 - 1p T = −(1/(1 · 2) + 1/(2 · 3) + 1/(3 · 4) + 1/(4 · 5)) = −4/5 și, cum −√64/10 < −√50/10, obținem că T < −√2/2 - 1p

2. a) x² − 6x + 8 = x² − 2x − 4x + 8 = - 1p = x(x − 2) − 4(x − 2) = (x − 2)(x − 4), pentru orice număr real x - 1p

2. b) E(x) = ((x − 4)²/((x − 2)(x − 4)) + (x − 2)²/((x − 2)(x − 4)) − 2(x − 2)(x − 4)/((x − 2)(x − 4))) : (1/(x − 2)) = - 1p = ((x² − 8x + 16)/((x − 2)(x − 4)) + (x² − 4x + 4)/((x − 2)(x − 4)) − 2(x² − 6x + 8)/((x − 2)(x − 4))) · ((x − 2)/1) = 4/((x − 2)(x − 4)) · ((x − 2)/1) = = 4/(x − 4), pentru orice număr real x, x ≠ 2 și x ≠ 4 - 1p 4/(x − 4) = (x + 4)/12, de unde obținem x² = 64, deci x = −8 sau x = 8, care convin, deci suma soluțiilor ecuației este egală cu 0 - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. a) 7/(x² − 4) + 2/(x − 2) + 3/(x + 2) = (7 + 2(x + 2) + 3(x − 2))/((x − 2)(x + 2)) = - 1p = (5x + 5)/((x − 2)(x + 2)) = 5(x + 1)/((x − 2)(x + 2)), pentru orice număr real x, x ≠ −2 și x ≠ 2 - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. b) E(x) = 1/((x + 2)(x + 1)), pentru orice număr real x, x ≠ −2, x ≠ −1 și x ≠ 2 - 1p E(n) = 1/6 ⇒ (n + 1)(n + 2) = 6 - 1p Cum n este număr natural, obținem n = 1 - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. a) x² + x − 12 = x² − 3x + 4x − 12 = - 1p = x(x − 3) + 4(x − 3) = (x − 3)(x + 4), pentru orice număr real x - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. b) E(x) = ((x + 4)² − (x − 3)² + 49)/((x − 3)(x + 4)) · (x − 3)/7 = - 1p = (14x + 56)/(7(x + 4)) = 2, pentru orice număr real x, x ≠ −4 și x ≠ 3 - 1p N = √(2 · 8) = 4, care este număr natural - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. a) (x − 1)(x + 2) = x(x + 2) − (x + 2) = - 1p = x² + 2x − x − 2 = x² + x − 2, pentru orice număr real x - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. b) E(x) = ((x − 1)² + (x + 1)² − 2(x − 1)(x + 1))/((x − 1)(x + 1)) : (4/((x − 1)(x + 2))) = - 1p = ((x − 1) − (x + 1))²/((x − 1)(x + 1)) · ((x − 1)(x + 2))/4 = 4/(x + 1) · (x + 2)/4 = (x + 2)/(x + 1), pentru orice x număr real, x ≠ −2, x ≠ −1 și x ≠ 1 - 1p E(2) · E(3) · … · E(10) = 4/3 · 5/4 · … · 12/11 = 12/3 = 4, deci N = √4 = 2, care este număr natural - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. a) 1/(x² − 4) + 1/(x + 2) = 1/((x + 2)(x − 2)) + 1/(x + 2) = - 1p = (1 + x − 2)/((x + 2)(x − 2)) = (x − 1)/((x + 2)(x − 2)), pentru orice număr real x, x ≠ −2 și x ≠ 2 - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. b) E(x) = ((x − 1)/((x + 2)(x − 2))) · (x(x + 2)(x − 2)/1) = x(x − 1), pentru orice număr real x, x ≠ 0, x ≠ −2 și x ≠ 2 - 1p E(√2 − 1) = 4 − 3√2 - 1p E(√2 + 1) = 2 + √2, deci numărul N = 4 − 3√2 + 3(2 + √2) = 4 + 6 = 10 este natural - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. a) x/(9 + 3x) − 2/(x + 3) + 3/(x² + 3x) = x/(3(x + 3)) − 2/(x + 3) + 3/(x(x + 3)) = - 1p = (x² − 6x + 9)/(3x(x + 3)) = (x − 3)²/(3x(x + 3)), pentru orice număr real x, x ≠ −3 și x ≠ 0 - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. b) x/3 + 3/x − 2 = (x² + 9 − 6x)/(3x) = (x − 3)²/(3x) - 1p E(x) = ((x − 3)²/(3x(x + 3)))·(3x/(x − 3)²) = 1/(x + 3), pentru orice număr real x, x ≠ −3, x ≠ 0, x ≠ 3 - 1p 5·E(n) = 5/(n + 3) este număr natural, deci n + 3 = 1 sau n + 3 = 5 și, cum n este număr natural, obținem n = 2 - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. a) E(0) = (2 · 0 + 3)² + (0 − 2)(0 + 2) − 3(1 − 0) + 2 = - 1p = 9 − 4 − 3 + 2 = 4 - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. b) E(n) + 6 = 4n² + 12n + 9 + n² − 4 − 3 + 3n + 2 + 6 = 5n² + 15n + 10, pentru orice număr natural n - 1p N = 5(n² + 3n + 2) = 5(n + 1)(n + 2), pentru orice număr natural n - 1p Cum n + 1 și n + 2 sunt numere naturale consecutive, obținem (n + 1)(n + 2) ⋮ 2, deci N ⋮ 10 - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. a) 2/(x − 2) + x/(x + 2) = (2(x + 2) + x(x − 2))/((x − 2)(x + 2)) = - 1p = (x² + 4)/((x − 2)(x + 2)), pentru orice număr real x, x ≠ −2, x ≠ 2 - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. b) E(x) = (x + 2)/(x − 2), pentru orice număr real x, x ≠ −2, x ≠ 2 - 1p N = 4/(n − 2), pentru orice număr natural n ≠ 2 - 1p N este număr natural, deci n − 2 = 1 sau n − 2 = 2 sau n − 2 = 4, de unde obținem n = 3, n = 4, n = 6 - 1p

2. a) E(x) = ((x² + 4)/((x − 2)(x + 2))) · ((x² − x − 2)/(x² + 4)) = - 1p = ((x − 2)(x + 1))/((x − 2)(x + 2)) = (x + 1)/(x + 2), pentru orice număr real x ∈ ℝ ∖ {−2, −1, 2} - 1p

2. b) E(a) ∈ ℤ, E(a) = (a + 1)/(a + 2) = 1 − 1/(a + 2) - 1p Cum a + 2 ∈ ℤ și 1/(a + 2) ∈ ℤ ⇒ a + 2 ∈ {−1, 1} - 1p a = −1 care nu convine și a = −3 care convine - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. a) E(x) = (x² − 9 − x² + 16)/(x² − 16) : (x − 4 + x + 4 − 3)/((x − 4)(x + 4)) = - 1p = 7/((x − 4)(x + 4)) · ((x − 4)(x + 4))/(2x − 3) = 7/(2x − 3), unde x este număr real, x ≠ −4, x ≠ 4 și x ≠ 3/2 - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. b) E(n) = 7/(2n − 3), unde n este număr natural - 1p 7/(2n − 3) ∈ ℕ, deci 2n − 3 = 1 sau 2n − 3 = 7 - 1p n = 2 sau n = 5, care convin - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. a) (x + 1)(x + 2) = x² + 2x + x + 2 = - 1p = x² + 3x + 2, pentru orice număr real x - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. b) E(x) = (x² + 3x + 2 + 2x² + 4x − 3x² − 3x)/(x(x + 1)(x + 2)) : ((2x + 1)/((x + 1)(x + 2))) = - 1p = (2(2x + 1)/(x(x + 1)(x + 2))) · ((x + 1)(x + 2)/(2x + 1)) = 2/x, unde x este număr real, x ≠ 0, x ≠ −1, x ≠ −2 și x ≠ −1/2 - 1p Dacă n este număr natural par, nenul, atunci numărul N = 1/E(n) = n/2 este natural - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. a) x² + 2x + 1 = (x + 1)² - 1p E(x) = (x + 1)² − (x + 1)² + (x + 1)² = (x + 1)², pentru orice număr real x - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. b) E(x) − x = (x + 1)² − x = x² + x + 1 = - 1p = (x + 1/2)² + 3/4 - 1p (x + 1/2)² ≥ 0, deci E(x) − x > 0, pentru orice număr real x - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. a) E(x) = 4x² + 4x + 1 − (4x² − 9) + 4x² − 12x + 9 = - 1p = 4x² + 4x + 1 − 4x² + 9 + 4x² − 12x + 9 = 4x² − 8x + 19, pentru orice număr real x - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. b) E(x) = (2x − 2)² + 15, pentru orice număr real x - 1p (2x − 2)² + 15 ≥ 15, deci E(x) ≥ 15, pentru orice număr real x - 1p Cum A este cel mai mare număr natural pentru care E(x) ≥ A, oricare ar fi numărul real x ⇒ A = 15 - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. a) E(x) = 3(x² + 4x + 4) − 2(4x − 3 − x²) + 21x + 14 − 2 = - 1p = 3x² + 12x + 12 + 2x² − 8x + 6 + 21x + 12 = 5x² + 25x + 30, pentru orice număr real x - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. b) E(n) = 5(n² + 5n + 6), pentru orice număr natural n - 1p n² + 5n + 6 = n(n + 5) + 6 și, cum n și n + 5 au parități diferite, obținem că n(n + 5) + 6 este număr natural par, pentru orice număr natural n - 1p Ultima cifră a lui E(n) este 0, de unde obținem că E(n) este divizibil cu 10 - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. a) x² − 7x + 10 = x² − 2x − 5x + 10 = - 1p = x(x − 2) − 5(x − 2) = (x − 2)(x − 5), pentru orice număr real x - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. b) E(x) = ((2x − x² − 1)/(2 − x)) : (x(x² − 2x + 1)/((x − 2)(x − 5))) = - 1p = ((x² − 2x + 1)/(x − 2)) · (((x − 2)(x − 5))/(x(x² − 2x + 1))) = (x − 5)/x, pentru orice x ∈ ℝ \ {0, 1, 2, 5} - 2p

SUBIECTUL al III-lea

2. a) E(x) = ((x + 1) − (x − 1))² − x² = - 1p = 4 − x² = (2 + x)(2 − x), pentru orice număr real x - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. b) E(√2) = E(−√2) = 2 - 1p A = E(√2) + E(−√2) − 7 = 4 − 7 = −3 și, cum −√10 < −√9 < −√8, rezultă A ∈ [−√10, −2√2] - 2p

SUBIECTUL al III-lea

2. a) E(x) = (x² + 8x + 16) + (x² − 2x + 1) − (2x² − 9) = - 1p = x² + 8x + 16 + x² − 2x + 1 − 2x² + 9 = 6x + 26, pentru orice număr real x - 1p

SUBIECTUL al III-lea

2. b) A − B = (E(1) − E(2)) + (E(3) − E(4)) + ... + (E(9) − E(10)) + E(11) = - 1p = (−6) · 5 + 6 · 11 + 26 = - 1p = 62 - 1p