Subiectul I, 5., toate variantele

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(6, 4) și B(1, 3). Determinați coordonatele punctului C pentru care 2BC⃗ = OA⃗.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3, 6), B(4, 1) și C(5, a), unde a este număr real. Determinați numărul real a pentru care dreptele OA și BC sunt paralele.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,3), B(6,2) și C(4,a), unde a este număr real. Determinați numărul real a pentru care dreptele AC și OB sunt paralele.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,1), B(5,0), C(6,3) și D(a,b), unde a și b sunt numere reale. Determinați numerele reale a și b, știind că segmentele AC și BD au același mijloc.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,2) și B(6,4). Determinați coordonatele punctului C pentru care 2AC⃗ = OB⃗.

În sistemul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 2), B(3, 0) și C(5, a), unde a este număr real. Determinați numărul real a, știind că dreptele OA și BC sunt paralele.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3,1) și B(3,0). Determinați coordonatele punctului C pentru care AC⃗ = OB⃗.

În reperul cartezian xOy se consideră punctul A(2,1). Determinați coordonatele punctului B pentru care AB⃗ = 2OA⃗.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0, 4), B(3, −2) și C(2a, a), unde a este număr real nenul. Arătați că dreptele AB și OC sunt perpendiculare, pentru orice număr real nenul a.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(4,0) și B(5,4). Determinați ecuația dreptei d care trece prin punctul O și este paralelă cu dreapta AB.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3, 1) și B(4, 4). Determinați coordonatele punctului C, știind că OA⃗ = BC⃗.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,0), B(1,6) și C(4,2). Determinați coordonatele punctului D, știind că A⃗B = D⃗C.

În reperul cartezian xOy se consideră dreapta d de ecuație y = 3x − 2 și punctul A(a, a), unde a este număr real. Determinați numărul real a, știind că punctul A aparține dreptei d.

În sistemul cartezian xOy se consideră punctele A(3,2) și B(1,−1). Determinați coordonatele punctului C pentru care vectorul AC = 2·vectorul BC.

Se consideră paralelogramul ABCD cu AB = 4, BC = 6 și măsura unghiului ABC de 120°. Determinați modulul vectorului AM⃗, unde punctul M este mijlocul segmentului BD.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele M(3,4), N(0,1) și P(3,0). Determinați ecuația dreptei d care trece prin punctul P și este paralelă cu dreapta MN.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele M(3,0), N(8,3) și P(6,3). Determinați coordonatele punctului Q, știind că MN⃗ + MP⃗ = MQ⃗.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,5) și B(3,4). Determinați coordonatele punctului C pentru care 3OC⃗ = OA⃗ + OB⃗.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,5) și B(4,2). Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul A și este perpendiculară pe dreapta OB.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,2), B(a,0) și C(1,b), unde a și b sunt numere reale. Determinați numerele reale a și b pentru care OB⃗ + OC⃗ = 2OA⃗.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2, 0), B(2, 4) și C(5, a), unde a este număr real. Determinați numărul real a, știind că dreptele OB și AC sunt paralele.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 2), B(7, 4) și C, astfel încât A⃗B = 2A⃗C. Determinați coordonatele punctului D pentru care O⃗D = C⃗B.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,1), B(2,0) și C(4,6). Determinați ecuația dreptei d ce trece prin punctul A și este paralelă cu dreapta BC.

În sistemul cartezian xOy se consideră punctele A(0,3) și B(4,0). Determinați coordonatele punctului C pentru care O⃗A + O⃗B = O⃗C.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,4), B(4,6) și C(4,2). Determinați coordonatele punctului D, știind că OD⃗ = ½(AB⃗ + AC⃗).

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(5,3) și B(−1,5). Determinați coordonatele punctului C, știind că CA⃗ + CB⃗ = 2OC⃗.

În triunghiul ABC, punctul M este mijlocul laturii AC, iar punctele D și E aparțin segmentului AB, astfel încât AD = BE. Arătați că MD⃗ + ME⃗ = CB⃗.

Se consideră triunghiul ABC, punctul D mijlocul laturii AC și punctul M astfel încât MA⃗ + 2MB⃗ + 3MC⃗ = 0⃗. Arătați că dreptele MD și AB sunt paralele.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−2, −2), B(3, 1) și M(2, 4). Determinați coordonatele punctului N, știind că patrulaterul ABMN este paralelogram.

Se consideră triunghiul ABC și punctele M, N și P mijloacele segmentelor BC, BM, respectiv CM. Arătați că AM⃗ + AN⃗ + AP⃗ = 3/2(AB⃗ + AC⃗).

Segmentele AB și A′B′ au același mijloc. Demonstrați că AB′⃗ + BA′⃗ = 0⃗.