Academos
  1. Subiecte
  2. Bacalaureat
  3. Matematică pedagogic
  4. Subiectul al III-lea, 1.

Subiectul al III-lea, 1., toate variantele

Bacalaureat, Matematică pedagogic, 2021-2026. Rezolvă-le pe rând, cu baremul la îndemână.

Sesiuni de examen

2026, sesiunea iunie-iulie

5 puncte

Se consideră matricele I₂ = [[1, 0], [0, 1]] și A(x) = [[4 − x, x], [−x, 1 − x]], unde x este număr real.

Arătați că det(A(2)) = 2.

Arată baremul

A(2) = [[2, 2], [−2, −1]] ⇒ det(A(2)) = det([[2, 2], [−2, −1]]) = 2·(−1) − 2·(−2) = - 3p = −2 + 4 = 2 - 2p

Pagina itemuluiToată lucrarea

2025, sesiunea specială

5 puncte
Se consideră matricele I₂ = ⎛1  0⎞
                                      ⎝0  1⎠,
A = ⎛1  −1⎞
    ⎝3   1⎠
și B(a,b) = ⎛a  a⎞
            ⎝b  a⎠,

unde a și b sunt numere reale.

Arătați că det(B(1,−1))=2.

Arată baremul
B(1,−1) = ⎛ 1  1⎞
           ⎝−1  1⎠
⇒ det(B(1,−1)) = │ 1  1│
                  │−1  1│ = 1·1−1·(−1)= - 3p

=1+1=2 - 2p

Pagina itemuluiToată lucrarea

2025, sesiunea iunie-iulie

5 puncte

Se consideră matricele I₂ = [[1, 0], [0, 1]] și M(x) = [[2, 3x], [x, 2]], unde x este număr real.

Arătați că det(M(1)) = 1.

Arată baremul

1. M(1) = [[2, 3], [1, 2]] ⇒ det(M(1)) = |2 3; 1 2| = 2·2 − 3·1 = - 3p = 4 − 3 = 1 - 2p

Pagina itemuluiToată lucrarea

2025, sesiunea august

5 puncte

Se consideră matricele

I₂ = ⎛1  0⎞
     ⎝0  1⎠

și

M(a) = ⎛ a      1  ⎞
       ⎝−3    2 − a⎠,

unde a este număr real.

Arătați că det(M(1)) = 4.

Arată baremul

1.

M(1) = ⎛ 1  1⎞
       ⎝−3  1⎠

⇒ det(M(1)) = |1, 1; −3, 1| = 1·1 − 1·(−3) = - 3p = 1 + 3 = 4 - 2p

Pagina itemuluiToată lucrarea

2024, sesiunea specială

5 puncte

Se consideră matricele

I₂ = ⎡1  0⎤
     ⎣0  1⎦

și

A(a) = ⎡1  a−1⎤
       ⎣0    a⎦,

unde a este număr real.

Arătați că det(A(2)) = 2.

Arată baremul

Reguli generale:

SUBIECTUL al III-lea, 1.

A(2) = ⎡1  1⎤
       ⎣0  2⎦

⇒ det(A(2)) = |1 1; 0 2| = 1·2 − 0·1 = - 3p = 2 − 0 = 2 - 2p

Pagina itemuluiToată lucrarea

2024, sesiunea iunie-iulie

5 puncte

Se consideră matricele

I₂ = ⎛1  0⎞
     ⎝0  1⎠

și

A(a) = ⎛a + 2    2  ⎞
       ⎝  2    a − 6⎠,

unde a este număr real.

Arătați că det(A(6)) = −4.

Arată baremul
A(6) = ⎛8  2⎞ ⇒ det(A(6)) = │8  2│ = 8 · 0 − 2 · 2 = - 3p
       ⎝2  0⎠               │2  0│

= 0 − 4 = −4 - 2p

Pagina itemuluiToată lucrarea

2024, sesiunea august

5 puncte

Se consideră matricele

I₂ = ⎛1  0⎞
     ⎝0  1⎠

și

A(a) = ⎛a + 1   −1 ⎞
       ⎝  1    a − 1⎠,

unde a este număr real.

Arătați că det(A(1)) = 1.

Arată baremul
A(1) = ⎛2  −1⎞
       ⎝1   0⎠

⇒ det(A(1)) = |2 −1; 1 0| = 2·0 − 1·(−1) = - 3p = 0 + 1 = 1 - 2p

Pagina itemuluiToată lucrarea

2023, sesiunea iunie-iulie

5 puncte

Se consideră matricele A = [[1, 0], [1, −1]], B = [[1, 2], [0, −1]], I₂ = [[1, 0], [0, 1]] și O₂ = [[0, 0], [0, 0]].

Arătați că det A = −1.

Arată baremul

det A = |1 0; 1 −1| = 1 · (−1) − 0 · 1 = - 3p = −1 − 0 = −1 - 2p

Pagina itemuluiToată lucrarea

2023, sesiunea august

5 puncte

Se consideră matricele

A = ⎛−1  2⎞
    ⎝ 2  1⎠,
I₂ = ⎛1  0⎞
     ⎝0  1⎠

și

B(a) = ⎛a + 2  1⎞
       ⎝  1    a⎠,

unde a este număr real.

Arătați că det(B(0)) = −1.

Arată baremul
det(B(0)) = │2  1│ = 2 · 0 − 1 · 1 =
            │1  0│ - 3p

= 0 − 1 = −1 - 2p

Pagina itemuluiToată lucrarea

2022, sesiunea specială

5 puncte

Se consideră matricele A(x,y) = [[x, y], [1, 2]], B = [[1, 2], [−1, 0]] și I₂ = [[1, 0], [0, 1]], unde x și y sunt numere reale.

Arătați că det B = 2.

Arată baremul

1. det B = |1 2; −1 0| = 1·0 − 2·(−1) = - 3p = 0+2 = 2 - 2p

Pagina itemuluiToată lucrarea

2022, sesiunea iunie-iulie

5 puncte

Se consideră matricele A = [[1, 0], [3, 1]], B = [[1, 0], [−3, 1]] și I₂ = [[1, 0], [0, 1]].

Arătați că det(A) = 1.

Pagina din subiect cu figura sau tabelul itemului
Pagina din subiectul oficial.
Arată baremul

SUBIECTUL al III-lea, 1.: det A = |1 0; 3 1| = 1 · 1 − 3 · 0 = - 3p = 1 − 0 = 1 - 2p

Pagina itemuluiToată lucrarea

2022, sesiunea august

5 puncte

Se consideră matricele

I₂ = ⎛1  0⎞
     ⎝0  1⎠,
A = ⎛ 5   5⎞
    ⎝−4  −4⎠

și X(a) = I₂ + aA, unde a este număr real.

Arătați că det A = 0.

Arată baremul
det A = │ 5   5│
        │−4  −4│ = 5 · (−4) − 5 · (−4) = - 3p

= −20 + 20 = 0 - 2p

Pagina itemuluiToată lucrarea

2021, sesiunea iunie-iulie

5 puncte

Se consideră matricele

A = ⎛ 1  −1 ⎞
    ⎝ −2   4 ⎠,
I₂ = ⎛ 1  0 ⎞
     ⎝ 0  1 ⎠

și

B(x) = ⎛ x − 2    −x ⎞
       ⎝  −2x   4x − 2 ⎠,

unde x este număr real.

Arătați că det A = 2.

Arată baremul

det A = | 1 −1; −2 4 | = 1·4 − (−1)·(−2) = - 3p = 4 − 2 = 2 - 2p

Pagina itemuluiToată lucrarea

2021, sesiunea august

5 puncte

Se consideră matricele

I₂ = ⎛1  0⎞
     ⎝0  1⎠,
A = ⎛ 1   6⎞
    ⎝−2  −7⎠

și

B(x) = ⎛  2    x + 2⎞
       ⎝x − 2    −2 ⎠,

unde x este număr real.

Arătați că det A = 5.

Arată baremul
det A = │ 1   6│ = 1 · (−7) − 6 · (−2) =
        │−2  −7│

3p = −7 + 12 = 5 2p

Pagina itemuluiToată lucrarea

Simulări, modele de subiect și subiecte de rezervă

2026, model de subiect

5 puncte

Se consideră matricele

I₂ = ⎛1  0⎞
     ⎝0  1⎠,
A = ⎛1   6⎞
    ⎝0  −2⎠,
B = ⎛1  2⎞
    ⎝0  0⎠

și M(x, y) = xA + yB, unde x și y sunt numere reale.

Arătați că det A = −2.

Arată baremul
det A = │1   6│ = 1 · (−2) − 6 · 0 =
        │0  −2│ - 3p

= −2 − 0 = −2 - 2p

Pagina itemuluiToată lucrarea

2026, simularea națională

5 puncte

Se consideră matricele

I₂ = ⎛ 1  0 ⎞
     ⎝ 0  1 ⎠

și

A(x) = ⎛   x    2 − x ⎞
       ⎝ x − 1  3 − x ⎠,

unde x este număr real.

Arătați că det(A(4)) = 2.

Pagina din subiect cu figura sau tabelul itemului
Pagina din subiectul oficial.
Arată baremul
A(4) = ⎛ 4  −2 ⎞
       ⎝ 3  −1 ⎠
⇒ det(A(4)) = │ 4  −2 │
               │ 3  −1 │ = 4·(−1) − (−2)·3 = - 3p

= −4 + 6 = 2 - 2p

Pagina itemuluiToată lucrarea

2025, model de subiect

5 puncte

Se consideră matricele I₂ = [1 0; 0 1] și A(a) = [a−1 a; a a+1], unde a este număr real. În notația matricelor de mai sus, punctul și virgula separă rândurile.

Arătați că det(A(2)) = −1.

Arată baremul

A(2) = [1 2; 2 3] ⇒ det(A(2)) = |1 2; 2 3| = 1·3 − 2·2 = - 3p = 3 − 4 = −1 - 2p

Pagina itemuluiToată lucrarea

2025, simularea națională

5 puncte

Se consideră matricele I₂ = [1 0; 0 1], A = [0 1; 0 0] și B(x) = [2x 3x+1; 1−x 1], unde x este număr real. În această notație, punctul și virgula separă rândurile matricei.

Arătați că det(B(1)) = 2.

Arată baremul

B(1) = [2 4; 0 1] ⇒ det(B(1)) = |2 4; 0 1| = 2·1 − 4·0 = - 3p = 2 − 0 = 2 - 2p

Pagina itemuluiToată lucrarea

2024, model de subiect

5 puncte

Se consideră matricele

A = ⎛−1  3⎞
    ⎝ 3  2⎠,
I₂ = ⎛1  0⎞
     ⎝0  1⎠,
O₂ = ⎛0  0⎞
     ⎝0  0⎠

și

B(a) = ⎛a + 1    3  ⎞
       ⎝  3    a + 4⎠,

unde a este număr real.

Arătați că B(1) − B(0) = I₂.

Arată baremul
B(1) − B(0) = ⎛2  3⎞ − ⎛1  3⎞ =
              ⎝3  5⎠   ⎝3  4⎠ - 3p
= ⎛1  0⎞ = I₂
  ⎝0  1⎠ - 2p
Pagina itemuluiToată lucrarea

2024, simularea națională

5 puncte

Se consideră matricele

I₂ = ⎛1  0⎞
     ⎝0  1⎠,
A = ⎛ 3   6⎞
    ⎝−1  −2⎠

și X(a) = I₂ + aA, unde a este număr real.

Arătați că det A = 0.

Arată baremul
det A = │ 3   6│
        │−1  −2│ = 3 · (−2) − 6 · (−1) = - 3p

= −6 + 6 = 0 - 2p

Pagina itemuluiToată lucrarea

2023, model de subiect

5 puncte

Se consideră matricele

I₂ = ⎛1  0⎞
     ⎝0  1⎠,
A = ⎛0  3⎞
    ⎝2  1⎠

și M(x) = I₂ + xA, unde x este număr real.

Arătați că det A = −6.

Arată baremul

det A = |0 3; 2 1| = 0·1 − 2·3 = - 3p = 0 − 6 = −6 - 2p

Pagina itemuluiToată lucrarea

2023, simularea națională

5 puncte

Se consideră matricele A = [−1 2; 2 1], B(a) = [a + 2 1; 1 a], I₂ = [1 0; 0 1], unde a este un număr real.

Arătați că A · A = 5I₂.

Arată baremul

Reguli generale:

SUBIECTUL al III-lea, 1. [−1 2; 2 1] · [−1 2; 2 1] = [1 + 4 −2 + 2; −2 + 2 4 + 1] = - 3p = [5 0; 0 5] = 5I₂ - 2p

Pagina itemuluiToată lucrarea

2022, model de subiect

5 puncte

Se consideră matricele

I₂ = ⎛1  0⎞
     ⎝0  1⎠,
A = ⎛0  2⎞
    ⎝2  0⎠
și M(a) = ⎛a  2⎞
          ⎝2  a⎠,

unde a este număr real.

Arătați că A·A = 4I₂.

Arată baremul

1.

A·A = ⎛0  2⎞ · ⎛0  2⎞ = ⎛4  0⎞
      ⎝2  0⎠   ⎝2  0⎠   ⎝0  4⎠ - 3p
4I₂ = 4·⎛1  0⎞ = ⎛4  0⎞
        ⎝0  1⎠   ⎝0  4⎠,

deci A·A = 4I₂ - 2p

Pagina itemuluiToată lucrarea

2021, model de subiect

5 puncte

Se consideră matricea

A(a) = ⎛3  a⎞
       ⎝a  3⎠,

unde a este număr real.

Arătați că det(A(1)) = 8.

Arată baremul

SUBIECTUL al III-lea, 1.

A(1) = ⎛3  1⎞ ⇒ det(A(1)) = |3  1| = 3·3 − 1·1 = - 3p
       ⎝1  3⎠               |1  3|

= 9 − 1 = 8 - 2p

Pagina itemuluiToată lucrarea

2021, simularea națională

5 puncte

Se consideră matricele

A = ⎛ 1  3 ⎞
    ⎝−1  1 ⎠,
I₂ = ⎛1  0⎞
     ⎝0  1⎠

și B(n) = A · A · … · A, de n ori A, unde n este număr natural nenul.

Arătați că det A = 4.

Arată baremul

det A = | 1 3| |−1 1| = 1 · 1 − (−1) · 3 = - 3p = 1 + 3 = 4 - 2p

Pagina itemuluiToată lucrarea

Exersează zilnic cu Academos

Aplicația pentru Evaluarea Națională și Bac. În curând pe:

  • App Store
  • Google Play