Subiectul I, 6., toate variantele

Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AC = 6 și tg C = 1/3. Arătați că raza cercului circumscris triunghiului ABC este egală cu √10.

Se consideră expresia E(x) = (1 + tg²x)sin(x/2) + cos 3x, unde x ∈ (0, π/2). Arătați că E(π/3) = 1.

Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu aria egală cu 32 și BC = AB√2. Arătați că AC = 8.

Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 2 și tg B = 3. Arătați că BC = 2√10.

Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 4 și raza cercului circumscris egală cu 4. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 8√3.

Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AC = 9 și B = π/3. Arătați că AB = 3√3.

Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu aria egală cu 18 și B = π/4. Arătați că AB = 6.

Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu BC = 12 și AB = BC/2. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 18√3.

Se consideră expresia E(x) = sin x + 4cos(x/3)sin(2x/3), unde x este număr real. Arătați că E(π/2) = 4.

Se consideră triunghiul isoscel ABC, dreptunghic în A, cu aria egală cu 4. Arătați că BC = 4.

Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 6 și înălțimea AD = 3. Arătați că raza cercului circumscris triunghiului ABC este egală cu 2√3.

Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, astfel încât BC = 10 și sin B = 2sin C. Arătați că lungimea laturii AB este egală cu 2√5.

Se consideră triunghiul isoscel ABC, cu AB = 10 și cos A = 0. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 50.

Se consideră expresia E(x) = sin 2x − 2tg x · sin(2x/3), unde x ∈ (0, π/2). Arătați că E(π/4) = 0.

Se consideră triunghiul ABC cu AB = 12, AC = 16 și BC = 20. Arătați că r/R = 2/5, unde r este raza cercului înscris în triunghiul ABC și R este raza cercului circumscris triunghiului ABC.

Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în C. Arătați că tg B=1/(tg A).

Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABC în care sin 2A · cos A = sin A. Arătați că A = π/4.

Se consideră triunghiul ABC, cu A = π/2, C = π/3 și AE = 2, unde E este punctul în care bisectoarea unghiului C intersectează latura AB. Arătați că distanța de la punctul B la dreapta CE este egală cu 2√3.

Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 9 și AC = 12. Punctul M este mijlocul segmentului BC. Arătați că distanța de la punctul C la dreapta AM este egală cu 7,2.

Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AC = 6 și B = π/3. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 6√3.

Se consideră triunghiul ABC, cu AB = 6, BC = 10 și cos B = 4/5. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 18.

Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABC, cu AB = 10, înălțimea AD = 8 și distanța de la punctul D la dreapta AC egală cu 4√2. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 56.

Se consideră expresia E(x) = tg x · (cos(3x/4))² − cos(x/2), unde x ∈ (0,π/2). Arătați că E(π/3) = 0.

Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABC, cu AB=5, C=π/4 și înălțimea AD=4. Arătați că BC=7.

Arătați că E(π/3) = 0.

Se consideră triunghiul ABC, cu AB = 8, măsura unghiului C de 30° și punctul O, centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Determinați distanța de la punctul O la latura AB.

Determinați x ∈ [0,π] pentru care sin 2x = 1 + cos 2x.

Calculați lungimea laturii AB a triunghiului ABC, în care AC = 3 și măsurile unghiurilor A și B sunt de 30°, respectiv 60°.

Se consideră triunghiul ABC, în care sin(A + B) + cos C = 1. Arătați că triunghiul ABC este dreptunghic.

Determinați x ∈ (0, π), știind că sin 2x + 2sin² x = 0.

Demonstrați că, în orice triunghi ABC, are loc relația AB + AC + BC = 2R(sin A + sin B + sin C), unde R este raza cercului circumscris triunghiului.