Subiectul al II-lea, 3., toate variantele

(−x) ∗ x = −x² − x + 4, pentru orice număr real x - 2p −x² − x + 4 = 2x, deci x² + 3x − 4 = 0, de unde obținem x = −4 sau x = 1 - 3p

(−10) ∗ x = −9x, pentru orice număr real x - 2p −9x = 10 + x, de unde obținem x = −1 - 3p

x ∗ 4 = −2x − 10, pentru orice număr real x - 3p −2x − 10 = 4, de unde obținem x = −7 - 2p

3. x ∗ 10 = (x − 9)(10 − 9) + 9 = x − 9 + 9 = x, pentru orice număr real x - 2p 10 ∗ x = (10 − 9)(x − 9) + 9 = x − 9 + 9 = x, pentru orice număr real x, deci e = 10 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

x ∘ 4 = 3x−5, pentru orice număr real x - 2p 3x−5 ≤ 1, de unde obținem x ≤ 2, deci x ∈ (−∞,2] - 3p

y ∘ x = 1/y + 1/x + 1 = 1/x + 1/y + 1 = - 3p = x ∘ y, pentru orice x ∈ M și y ∈ M, deci legea de compoziție „∘” este comutativă - 2p

(x ∘ 2) + (x ∘ 3) = 4x − 2 + 7x − 4 = 11x − 6, pentru orice număr real x - 3p 11x − 6 = 5, de unde obținem x = 1 - 2p

SUBIECTUL al II-lea, 3. (1 ∗ 2 ∗ 3) ∗ (4 ∗ 5 ∗ 6) = (−2) ∗ 7 = - 3p = −2 + 7 − 4 = 1 > 0 - 2p

x ∗ 4 = (x − 3)(4 − 3) + 3 = x, pentru orice număr real x - 2p 4 ∗ x = (4 − 3)(x − 3) + 3 = x, pentru orice număr real x, deci e = 4 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

4 ∗ x = −(1/3)(4 − 1)(x − 1) + 1 = −x + 2, pentru orice număr real x - 2p −x + 2 = x, deci x = 1 - 3p

(x − √3)² + √3 = 9 + √3, deci x − √3 = ±3 - 2p x = 3 + √3 sau x = −3 + √3 - 3p

SUBIECTUL al II-lea, 3. x ∘ y = xy + 5x + 5y + 25 − 18 = - 3p = x(y + 5) + 5(y + 5) − 18 = (x + 5)(y + 5) − 18, pentru orice numere reale x și y - 2p

x∗(2/3) = 1 − 3(x − 1)(2/3 − 1) = 1 + x − 1 = x, pentru orice număr real x - 2p (2/3)∗x = 1 − 3(2/3 − 1)(x − 1) = 1 + x − 1 = x, pentru orice număr real x, deci e = 2/3 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

(−3) ∗ x = 4x − 15, pentru orice număr real x - 3p 4x − 15 = 9, de unde obținem x = 6 - 2p

x ∗ x² = (x² + x − 12)/3, pentru orice număr real x - 3p x² + x − 12 = 0, de unde obținem x = −4 sau x = 3 - 2p

x ∗ 0 = −4x² + 4, pentru orice număr real x - 3p −4x² + 4 = 0, de unde obținem x = −1 sau x = 1 - 2p

3. x ∗ y = ¼(xy − 4x − 4y + 16) + 4 = - 2p = ¼(x(y − 4) − 4(y − 4)) + 4 = ¼(x − 4)(y − 4) + 4, pentru orice numere reale x și y - 3p

3. (2x + 1) ∘ 1 = (2x + 1 + 1)/2 − 1 = - 2p = x + 1 − 1 = x, pentru orice număr real x - 3p

x ∘ 4 = x/3 + 5, pentru orice număr real x - 3p x/3 + 5 = 4, de unde obținem x = −3 - 2p

Reguli generale:

SUBIECTUL al II-lea / 3. x ∘ 4 = 2x − x − 4 + 4 = x, pentru orice număr real x - 2p 4 ∘ x = 2x − 4 − x + 4 = x, pentru orice număr real x, deci e = 4 este elementul neutru al legii de compoziție „∘” - 3p

x ∘ (7/3) = 3(x · (7/3) − 2x − 2 · (7/3)) + 14 = 7x − 6x − 14 + 14 = x, pentru orice număr real x - 2p (7/3) ∘ x = 3((7/3) · x − 2 · (7/3) − 2x) + 14 = 7x − 14 − 6x + 14 = x, pentru orice număr real x, deci e = 7/3 este elementul neutru al legii de compoziție „∘” - 3p

x ∘ (−7) = (x + 8)(−7 + 8) − 8 = x + 8 − 8 = x, pentru orice număr real x - 2p (−7) ∘ x = (−7 + 8)(x + 8) − 8 = x + 8 − 8 = x, pentru orice număr real x, deci e = −7 este elementul neutru al legii de compoziție „∘” - 3p

3. √x ∘ 6 = √x, pentru orice număr real pozitiv x - 3p √x = 1, de unde obținem x = 1, care convine - 2p

3. x ∘ 1 = 2(x − 1/2)(1 − 1/2) + 1/2 = x − 1/2 + 1/2 = x, pentru orice număr real x 2p 1 ∘ x = 2(1 − 1/2)(x − 1/2) + 1/2 = x − 1/2 + 1/2 = x = x ∘ 1, pentru orice număr real x, deci e = 1 este elementul neutru al legii de compoziție „∘” 3p

−((a − 1)·(7 − 1))/3 + 1 = 5 - 2p −(a − 1)·2 + 1 = 5, de unde obținem a = −1 - 3p

3. x ∗ y = 3xy + 7x + 7y + 14 = 3xy + 7x + 7y + 49/3 − 7/3 = - 3p = 3x(y + 7/3) + 7(y + 7/3) − 7/3 = 3(x + 7/3)(y + 7/3) − 7/3, pentru orice numere reale x și y - 2p

a ∗ 5 = 2(a − 1) + 1 = 2a − 1, pentru orice număr real a - 3p 2a − 1 = 3, deci a = 2 - 2p