Subiectul al II-lea, 2., toate variantele

x ∗ (−2) = −3x + 8, pentru orice număr real x - 3p −3x + 8 = x, de unde obținem x = 2 - 2p

x ∗ y = xy + x + y + 1 + 9 = - 2p = x(y + 1) + (y + 1) + 9 = (x + 1)(y + 1) + 9, pentru orice numere reale x și y - 3p

2. y ∗ x = yx − 6(y + x) + 14 = xy − 6(x + y) + 14 = - 3p = x ∗ y, deci legea de compoziție „∗” este comutativă - 2p

2. x ∗ y = xy − 9x − 9y + 81 + 9 = - 2p = x(y − 9) − 9(y − 9) + 9 = (x − 9)(y − 9) + 9, pentru orice numere reale x și y - 3p

SUBIECTUL al II-lea, 2. x ∘ 3 = 2·x·3 − 5(x + 3) + 15 = 6x − 5x − 15 + 15 = x, pentru orice număr real x - 2p 3 ∘ x = 2·3·x − 5(3 + x) + 15 = 6x − 15 − 5x + 15 = x, pentru orice număr real x, deci e = 3 este elementul neutru al legii de compoziție „∘” - 3p

2. x ∘ x = 2/x + 1, pentru orice x ∈ M - 3p 2/x + 1 = 2, de unde obținem x = 2, care convine - 2p

x ∘ 1 = 3·x·1 − 2(x + 1 − 1) = 3x − 2x = x, pentru orice număr real x - 2p 1 ∘ x = 3·1·x − 2(1 + x − 1) = 3x − 2x = x, pentru orice număr real x, deci e = 1 este elementul neutru al legii de compoziție „∘” - 3p

(x ∗ y) ∗ z = (x + y − 4) ∗ z = (x + y − 4) + z − 4 = x + y + z − 8, pentru orice numere reale x, y și z - 2p x ∗ (y ∗ z) = x ∗ (y + z − 4) = x + (y + z − 4) − 4 = x + y + z − 8 = (x ∗ y) ∗ z, pentru orice numere reale x, y și z, deci legea de compoziție „∗” este asociativă - 3p

x ∗ y = xy − 3x − 3y + 9 + 3 = - 2p = x(y − 3) − 3(y − 3) + 3 = (x − 3)(y − 3) + 3, pentru orice numere reale x și y - 3p

x ∗ y = −(1/3)xy + (1/3)x + (1/3)y + 2/3 = −(1/3)x(y − 1) + (1/3)(y − 1) + 1/3 + 2/3 = - 3p = −(1/3)x(y − 1) + (1/3)(y − 1) + 1 = −(1/3)(x − 1)(y − 1) + 1, pentru orice numere reale x și y - 2p

SUBIECTUL al II-lea, 2. x ∗ y = xy − √3x − √3y + 3 + √3 = - 3p = x(y − √3) − √3(y − √3) + √3 = (x − √3)(y − √3) + √3, pentru orice numere reale x și y - 2p

x ∘ y = xy + 5(x + y) + 7 = yx + 5(y + x) + 7 = - 3p = y ∘ x, pentru orice numere reale x și y, deci legea de compoziție „∘” este comutativă - 2p

SUBIECTUL al II-lea / 2. x ∗ y = 1 − 3xy + 3x + 3y − 3 = - 3p = 1 − 3x(y − 1) + 3(y − 1) = 1 − 3(x − 1)(y − 1), pentru orice numere reale x și y - 2p

x ∗ y = 4x + 4y − 3 = 4y + 4x − 3 = - 3p = y ∗ x, pentru orice numere reale x și y, deci legea de compoziție „∗” este comutativă - 2p

4 ∗ x = (4 + x)/3 − 4, pentru orice număr real x - 2p (4 + x)/3 − 4 = x, de unde obținem x = −4 - 3p

y ∗ x = (y − 4x)(x − 4y) + 4 = (x − 4y)(y − 4x) + 4 = - 3p = x ∗ y, pentru orice numere reale x și y, deci legea de compoziție „∗” este comutativă - 2p

x ∗ 5 = x/4 + 3, pentru orice număr real x - 3p x/4 + 3 = 6, de unde obținem x = 12 - 2p

y ∘ x = (y + x)/2 − 1 = - 3p = (x + y)/2 − 1 = x ∘ y, pentru orice numere reale x și y, deci legea de compoziție „∘” este comutativă - 2p

x ∘ y = x − xy/6 + y − 6 + 7 = −(x/6)(y−6) + (y−6) + 7 = - 3p = (y−6)(−x/6+1) + 7 = 7 − (1/6)(x−6)(y−6), pentru orice numere reale x și y - 2p

Reguli generale:

SUBIECTUL al II-lea / 2. x ∘ y = (1/2)xy − x − y + 2 + 2 = (1/2)x(y − 2) − (y − 2) + 2 = (y − 2)((1/2)x − 1) + 2 = - 3p = (1/2)(x − 2)(y − 2) + 2, pentru orice numere reale x și y - 2p

SUBIECTUL al II-lea / 2. x ∘ 2 = 3(x · 2 − 2 · x − 2 · 2) + 14 = - 3p = −12 + 14 = 2, pentru orice număr real x - 2p

x ∘ y = xy + 8x + 8y + 64 − 8 = - 3p = x(y + 8) + 8(y + 8) − 8 = (x + 8)(y + 8) − 8, pentru orice numere reale x și y - 2p

x ∘ 6 = (1/3) · x · 6 − x − 6 + 6 = x, pentru orice număr real x - 2p 6 ∘ x = (1/3) · 6 · x − x − 6 + 6 = x, pentru orice număr real x, deci e = 6 este elementul neutru al legii de compoziție „∘” - 3p

2. x ∘ y = 2xy − x − y + 1/2 + 1/2 = 2x(y − 1/2) − (y − 1/2) + 1/2 = 3p = 2(x − 1/2)(y − 1/2) + 1/2, pentru orice numere reale x și y 2p

x ∗ (−2) = −((x−1)·(−3))/3 + 1 = x−1+1 = x, pentru orice număr real x - 2p (−2) ∗ x = −((−2−1)·(x−1))/3 + 1 = x−1+1 = x, pentru orice număr real x, deci e = −2 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

2. x ∗ y = 3xy + 7(x + y) + 14 = 3yx + 7(y + x) + 14 = - 3p = y ∗ x, pentru orice numere reale x și y, deci legea de compoziție „∗” este comutativă - 2p

x ∗ 3 = ((x − 1)(3 − 1))/2 + 1 = x − 1 + 1 = x, pentru orice număr real x - 2p 3 ∗ x = ((3 − 1)(x − 1))/2 + 1 = x − 1 + 1 = x, pentru orice număr real x, deci e = 3 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p