Subiectul al III-lea, 2., toate variantele

3A(2) − A(4) =

⎡ 6   6⎤   ⎡ 0   4⎤   ⎡ 6  2⎤     ⎡ 3  1⎤
⎣−6  −3⎦ − ⎣−4  −3⎦ = ⎣−2  0⎦ = 2 ⎣−1  0⎦ = 2A(1) - 3p

2A(a) = 2A(1), de unde obținem a = 1 - 2p

B(1, −3) = [1 1; −3 1] ⇒ A · B(1, −3) = [4 0; 0 4] = - 3p = 4[1 0; 0 1] = 4I₂ - 2p

M(1) + 2M(4) = ⎛ 2  3 ⎞ + ⎛ 4  24 ⎞ = ⎛ 6  27 ⎞ =
                ⎝ 1  2 ⎠   ⎝ 8   4 ⎠   ⎝ 9   6 ⎠

- 3p

= 3⎛ 2  9 ⎞ = 3M(3)
   ⎝ 3  2 ⎠

- 2p

2.

3M(4) − M(2) = 3·⎛ 4   1⎞ − ⎛ 2  1⎞ = ⎛10   2⎞ =
                  ⎝−3  −2⎠   ⎝−3  0⎠   ⎝−6  −6⎠ - 3p
= 2·⎛ 5   1⎞ = 2M(5) - 2p
    ⎝−3  −3⎠

SUBIECTUL al III-lea, 2.

2A(3) − A(5) = ⎛2  4⎞ − ⎛1  4⎞ = - 3p
               ⎝0  6⎠   ⎝0  5⎠
= ⎛1  0⎞ = I₂ - 2p
  ⎝0  1⎠

A(3) · A(1) = ⎛5   2⎞ ⎛3   2⎞   ⎛19   0⎞
              ⎝2  −3⎠ ⎝2  −5⎠ = ⎝ 0  19⎠ = - 3p
= 19 ⎛1  0⎞ = 19I₂ - 2p
     ⎝0  1⎠

I₂ + A(a − 1) = ⎛1  0⎞ + ⎛a    −1 ⎞ =
                ⎝0  1⎠   ⎝1   a − 2⎠

3p

= ⎛a + 1    −1 ⎞ = A(a), pentru orice număr real a
  ⎝  1     a − 1⎠

2p

A · A = [[1, 0], [0, 1]] - 2p Cum B · B = [[1, 0], [0, 1]], obținem A · A − B · B = O₂ - 3p

2.

A · A = ⎡ 1 + 4  −2 + 2⎤
        ⎣−2 + 2   4 + 1⎦ = - 3p
= ⎡5  0⎤
  ⎣0  5⎦ = 5I₂ - 2p

2. A(2n,2n+1) = [[2n, 2n+1], [1, 2]], de unde obținem det(A(2n,2n+1)) = 2n−1, pentru orice număr natural nenul n - 3p 2n−1 este număr natural impar, pentru orice număr natural nenul n - 2p

SUBIECTUL al III-lea, 2.

A · A − 2A = ⎛1  0⎞⎛1  0⎞ − ⎛2  0⎞ = ⎛1  0⎞ − ⎛2  0⎞ =
             ⎝3  1⎠⎝3  1⎠   ⎝6  2⎠   ⎝6  1⎠   ⎝6  2⎠

- 3p

= ⎛−1   0⎞ = −I₂
  ⎝ 0  −1⎠

- 2p

A · A = ⎛ 25 − 20   25 − 20⎞
        ⎝−20 + 16  −20 + 16⎠ = - 3p
= ⎛ 5   5⎞
  ⎝−4  −4⎠ = A - 2p

xA − 2I₂ = ⎛ x  −x ⎞ − ⎛ 2  0 ⎞ =
           ⎝ −2x  4x ⎠   ⎝ 0  2 ⎠ - 3p
= ⎛ x − 2    −x ⎞ = B(x), pentru orice număr real x - 2p
  ⎝  −2x   4x − 2 ⎠

B(1) = ⎛ 2   3⎞
       ⎝−1  −2⎠
⇒ 2B(1) − A = ⎛ 4   6⎞ − ⎛ 1   6⎞ = ⎛3  0⎞ =
               ⎝−2  −4⎠   ⎝−2  −7⎠   ⎝0  3⎠

3p

= 3⎛1  0⎞ = 3I₂
   ⎝0  1⎠

2p

A + 2I₂ = ⎛1   6⎞ + ⎛2  0⎞ = ⎛3  6⎞ = 3B
          ⎝0  −2⎠   ⎝0  2⎠   ⎝0  0⎠ - 3p

3B = aB, de unde obținem a = 3 - 2p

A(3) = ⎛3  −1⎞
       ⎝2   0⎠,
A(6) = ⎛6  −4⎞
       ⎝5  −3⎠,

3A(x) = 4A(6) − A(3) - 2p

4A(6) − A(3) = ⎛21  −15⎞
                ⎝18  −12⎠ = 3A(7),

deci 3A(x) = 3A(7), de unde obținem x = 7 - 3p

2.

2B(3) + B(6) = ⎛10  6⎞ + ⎛8  3⎞ = ⎛18  9⎞ =
                ⎝ 4  2⎠   ⎝2  4⎠   ⎝ 6  6⎠ - 3p
= 3⎛6  3⎞ = 3B(4)
   ⎝2  2⎠ - 2p

A(2) + A(0) = [1 2; 2 3] + [−1 0; 0 1] = [0 2; 2 4] = - 3p = 2[0 1; 1 2] = 2A(1) - 2p

B(2) = ⎛ 4  7⎞
       ⎝−1  1⎠,
B(1) · B(2) = ⎛ 4  18⎞
              ⎝−1   1⎠ - 3p
B(1) · B(2) − B(2) = ⎛0  11⎞ = 11⎛0  1⎞ = 11A
                     ⎝0   0⎠     ⎝0  0⎠ - 2p

Reguli generale:

SUBIECTUL al III-lea / 2.

B(−1)·B(−4) = ⎛0  3⎞·⎛−3  3⎞ =
              ⎝3  3⎠ ⎝ 3  0⎠ - 3p
= ⎛9  0⎞ = 9I₂
  ⎝0  9⎠ - 2p

SUBIECTUL al III-lea / 2.

A · A = ⎛3 · 3 + 6 · (−1)       3 · 6 + 6 · (−2)⎞
        ⎝−1 · 3 + (−2) · (−1)   −1 · 6 + (−2) · (−2)⎠ = - 3p
= ⎛ 3   6⎞
  ⎝−1  −2⎠ = A - 2p

M(x) = ⎛1  0⎞ + ⎛ 0  3x⎞ =
       ⎝0  1⎠   ⎝2x   x⎠ - 3p
= ⎛ 1    3x ⎞
  ⎝2x  x + 1⎠, pentru orice număr real x - 2p

2.

⎛a + 2  1⎞ + ⎛−1  2⎞ = ⎛a + 1    3  ⎞
⎝  1    a⎠   ⎝ 2  1⎠   ⎝  3    a + 1⎠,

det(B(a) + A) = (a + 1)² − 9 - 3p (a + 1)² − 9 = 0, de unde obținem a = −4 sau a = 2 - 2p

2.

aI₂ + A = a · ⎛1  0⎞ + ⎛0  2⎞ = ⎛a  0⎞ + ⎛0  2⎞ =
              ⎝0  1⎠   ⎝2  0⎠   ⎝0  a⎠   ⎝2  0⎠

- 3p

= ⎛a  2⎞ = M(a), pentru orice număr real a
  ⎝2  a⎠

- 2p

A + xI₂ = ⎡ 2   3 ⎤ + ⎡ x  0 ⎤ = ⎡ 2 + x     3 ⎤
          ⎣ 1  −2 ⎦   ⎣ 0  x ⎦   ⎣     1  −2 + x ⎦ - 2p

det(A + xI₂) = x² − 7, deci x² − 7 ≥ −7 ⇔ x² ≥ 0, pentru orice număr real x - 3p

2.

A(0) = ⎛ 3  0 ⎞
       ⎝ 0  3 ⎠ = 3I₂ - 2p

A(0) · A(2020) = 3I₂ · A(2020) = 3A(2020) - 3p

A + xI₂ = ⎛1 + x    3  ⎞
           ⎝ −1    1 + x⎠

⇒ det(A + xI₂) = |1 + x 3 | | −1 1 + x| = (1 + x)(1 + x) − 3 · (−1) = - 3p = (1 + x)² + 3 ≥ 3, pentru orice număr real x - 2p