Subiectul al II-lea, 4., toate variantele

x ∗ y = xy − 2y − x + 2 + 2 = - 2p = y(x − 2) − (x − 2) + 2 = (x − 2)(y − 1) + 2, pentru orice numere reale x și y - 3p

Reguli generale:

SUBIECTUL al II-lea / 4. x ∗ (−x) = −x² + 10, pentru orice număr real x - 3p −x² + 10 = 1, deci −x² + 9 = 0, de unde obținem x = −3 sau x = 3 - 2p

4. (−m) ∗ (−n) = mn + 6(m + n) + 14, pentru orice numere naturale m și n - 2p mn + 6(m + n) + 14 = mn − 6(m + n) + 14 + 36, deci m + n = 3 și, cum m și n sunt numere naturale, cu m < n, obținem perechile (0,3) și (1,2) - 3p

4. (26/3) ∗ x = x ∗ (26/3) = 10, deci (26/3 − 9)(x − 9) + 9 = (x − 9)(26/3 − 9) + 9 = 10 - 3p x = 6 - 2p

SUBIECTUL al II-lea, 4. x ∘ y = 2xy − 5x − 5y + 25/2 + 5/2 = 2x(y − 5/2) − 5(y − 5/2) + 5/2 = - 3p = 2(x − 5/2)(y − 5/2) + 5/2, pentru orice numere reale x și y - 2p

x ∘ (1/x) = (x² + x + 1)/x, pentru orice x ∈ M - 2p (x² + x + 1)/x = 3, deci x² − 2x + 1 = 0, de unde obținem x = 1, care convine - 3p

(3n + 1) ∘ 1 = 3n + 1, pentru orice număr natural n - 2p 3n + 1 < 7, de unde obținem n < 2 și, cum n este număr natural, rezultă n = 0 și n = 1 - 3p

x ∗ x ∗ x = 3x − 8, (x + 1) ∗ x = 2x − 3, pentru orice număr real x - 2p 3x − 8 = 2x − 3, de unde obținem x = 5 - 3p

4. 7/3 ∗ 3/2 = (7/3 − 3)(3/2 − 3) + 3 = 4 - 2p 3/2 ∗ 7/3 = (3/2 − 3)(7/3 − 3) + 3 = 4, deci 7/3 este simetricul lui 3/2 în raport cu legea de compoziție „∗” - 3p

4. (−2) ∗ x = −(1/3)(−2−1)(x−1) + 1 = x−1+1 = x, pentru orice număr real x - 2p x ∗ (−2) = −(1/3)(x−1)(−2−1) + 1 = x−1+1 = x, pentru orice număr real x, deci e = −2 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

SUBIECTUL al II-lea, 4. x ∗ (√3 + 1) = (x − √3)(√3 + 1 − √3) + √3 = x, pentru orice număr real x - 2p (√3 + 1) ∗ x = (√3 + 1 − √3)(x − √3) + √3 = x, pentru orice număr real x, deci e = √3 + 1 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

x² + 10x + 7 = 7 - 2p x² + 10x = 0, de unde obținem x = 0 sau x = −10 - 3p

SUBIECTUL al II-lea / 4. (2 − x) ∗ 2 = 3x − 2, pentru orice număr real x - 3p 3x − 2 = 2 + x, de unde obținem x = 2 - 2p

4. (−x) ∗ (2x) = 4x − 3, pentru orice număr real x - 2p 4x − 3 = x² ⇔ x² − 4x + 3 = 0, de unde obținem x = 1 sau x = 3 - 3p

(2x) ∗ (2y) = (2x + 2y)/3 − 4, pentru orice numere reale x și y - 2p x ∗ (y + 6) = (x + y)/3 − 2 ⇒ 2·(x ∗ (y + 6)) = (2x + 2y)/3 − 4, deci (2x) ∗ (2y) = 2·(x ∗ (y + 6)), pentru orice numere reale x și y - 3p

x ∗ (x + 1) = (−3x − 4)(1 − 3x) + 4 = - 3p = −3x + 9x² − 4 + 12x + 4 = 9x² + 9x = 9x(x + 1), pentru orice număr real x - 2p

x ∗ (y + 1) = (1/4)(x − 4)(y − 3) + 4, (x − 1) ∗ y = (1/4)(x − 5)(y − 4) + 4, pentru orice numere reale x și y - 2p (x − 4)(y − 3) = (x − 5)(y − 4), de unde obținem x + y = 8 - 3p

4. x² ∘ x = (x² + x)/2 − 1, pentru orice număr real x - 2p (x² + x)/2 − 1 = 2, deci x² + x − 6 = 0, de unde obținem x = −3 sau x = 2 - 3p

m ∘ n = 7 − (1/6)(m − 6)(n − 6), de unde obținem (m − 6)(n − 6) = 41 - 3p Cum m și n sunt numere întregi cu m < n, obținem perechile (−35, 5) și (7, 47) - 2p

m = 2k și n = 2p, unde k și p sunt numere naturale nenule - 2p N = 2(k − 1)(p − 1) + 2, deci N este număr natural par - 3p

x ∘ x = 3x² − 12x + 14, pentru orice număr real x - 2p 3x² − 12x + 14 = 5, deci x² − 4x + 3 = 0, de unde obținem x = 1 sau x = 3 - 3p

x ∘ (x + 2) = (x + 8)(x + 10) − 8 - 2p (x + 8)(x + 10) − 8 ≤ −8 ⇔ (x + 8)(x + 10) ≤ 0, de unde obținem x ∈ [−10, −8] - 3p

4. 2n/3 − 2 − n + 6 < 2n/3 − 2n − 1 + 6 + 1 - 2p n < 2 și, cum n număr natural, obținem n = 0 sau n = 1 - 3p

4. x ∘ 1/2 = 2(x − 1/2)(1/2 − 1/2) + 1/2 = 1/2, pentru orice număr real x - 2p 1/2 ∘ x = 2(1/2 − 1/2)(x − 1/2) + 1/2 = 1/2, deci x ∘ 1/2 = 1/2 ∘ x = 1/2, pentru orice număr real x - 3p

x ∗ (1 + x) = −((x − 1)·(1 + x − 1))/3 + 1 = −x(x − 1)/3 + 1 - 2p −x(x − 1)/3 + 1 ≥ −3, deci x² − x − 12 ≤ 0, de unde obținem x ∈ [−3, 4] - 3p

4. x ∗ x = 3(x + 7/3)² − 7/3, pentru orice număr real x - 2p 3(x + 7/3)² − 7/3 = x ⇔ (x + 7/3)(3x + 6) = 0, deci x = −7/3 sau x = −2 - 3p

x ∗ (1 − x) = (−x² + x + 2)/2, pentru orice număr real x - 2p (−x² + x + 2)/2 ≥ −5 ⇔ −x² + x + 12 ≥ 0, de unde obținem x ∈ [−3, 4] - 3p