În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O și raza de 6 cm. Punctele A, B, C și D aparțin cercului, astfel încât dreptele AB și CD sunt perpendiculare. Punctul M este mijlocul coardei AB și OM = 3 cm.
Arată că AM = 3√3 cm.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
4. a) OM este mediană în triunghiul isoscel AOB, deci OM este înălțime ⇒ OM ⟂ AB - 1p
AM = √(OA² − OM²) = √(36 − 9) = 3√3 cm - 1p
4. b) BE diametru ⇒ ∢BAE = ∢BDE = 90° - 1p
AE ⟂ AB și, cum CD ⟂ AB, obținem AE ∥ CD, deci ⌢AC = ⌢DE ⇒ AC = DE - 1p
În triunghiul BDE, dreptunghic în D, DE² + BD² = BE², deci AC² + BD² = 12² = 144 cm² - 1p
4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, cu AC = 9 cm. Punctul H este ortocentrul triunghiului ABC, punctul M este proiecția punctului H pe dreapta AC și HM = 2 cm.
Arată că aria triunghiului AHC este egală cu 9 cm².
4. În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD și triunghiul echilateral ACE, astfel încât punctele D și E sunt situate de aceeași parte a dreptei AC. Perimetrul pătratului ABCD este egal cu 48 cm.
Arată că perimetrul triunghiului ACE este egal cu 36√2 cm.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
4. a) AB = 12 cm, AC = 12√2 cm - 1p
P_ΔACE = 3 · AC = 36√2 cm - 1p
4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC cu AB = AC. Înălțimea din vârful A intersectează latura BC în punctul D și AD = BC. Înălțimea din vârful B intersectează latura AC în punctul E. Înălțimile AD și BE se intersectează în punctul H.
Arată că unghiurile DAC și EBC au aceeași măsură.
Arată baremul
4. a) ∢DAC + ∢ACB = 90° - 1p
∢ACB + ∢EBC = 90°, de unde rezultă ∢DAC = ∢EBC - 1p
4. b) Triunghiul ABC este isoscel și AD ⟂ BC, deci BD = DC = BC/2 = AD/2 - 1p
∢HBD = ∢DAC, ∢BDH = ∢ADC = 90°, deci △BHD ∼ △ACD, de unde obținem HD/DC = BD/AD - 1p
HD/(AD/2) = (AD/2)/AD ⇒ HD = AD/4, de unde obținem AH = (3 · AD)/4, deci AH = 3 · HD - 1p
4. În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic ABCD cu AB ∥ CD și BC = 10 cm. Semidreapta BD este bisectoarea unghiului ABC și măsura unghiului ABD este egală cu 15°.
Determină măsura unghiului BCD.
Arată baremul
Răspuns: 150°
SUBIECTUL al III-lea
4. a) BD bisectoarea ∢ABC ⇒ ∢ABC = 30° - 1p
ABCD trapez, deci ∢BCD = 150° - 1p
4. b) CD ∥ AB, BD secantă ⇒ ∢CDB = ∢ABD, deci ΔBCD este isoscel cu CD = BC = 10 cm - 1p
CE ⊥ AB, E ∈ AB ⇒ AECD dreptunghi, deci AD = CE, AE = CD
Triunghiul CEB este dreptunghic în E, ∢CBE = 30° ⇒ CE = BC/2 = 5 cm, BE = 5√3 cm, deci
AB − AD = (5 + 5√3) cm - 1p
Cum 5 + 5√3 < 14 ⇔ 5√3 < 9 ⇔ √75 < √81, obținem AB − AD < 14 cm - 1p
În figura alăturată sunt reprezentate punctele A, B, C, D și E astfel încât AB = 4 cm, AC = 8 cm, AD = 10 cm și AE = 20 cm. Măsura unghiului BAC este egală cu măsura unghiului DAE și ∢CAD = 30°.
Arată că aria triunghiului CAD este egală cu 20 cm².
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
4. a)
∢CAD = 30°, deci d(C, AD) = AC/2 = 4 cm - 1p
𝒜△CAD = (10 · 4)/2 = 20 cm² - 1p
Demonstrează că dreptele AF și CM sunt perpendiculare.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
4. b)
FB ⟂ AC, deci FB este înălțime în triunghiul AFC - 1p
∠MAB = ∠EBC = 45°, de unde obținem AM ∥ BE și, cum BE ⟂ CF, obținem AM ⟂ CF, deci AM este înălțime în triunghiul AFC - 1p
Înălțimile triunghiului AFC se intersectează în punctul M, deci CM ⟂ AF - 1p
4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC, cu AB = 3 cm și înălțimea AD, unde punctul D se află pe latura BC. Punctul M aparține laturii AB, astfel încât AM = 1 cm. Paralela prin punctul M la dreapta AC intersectează dreapta AD în punctul Q și dreapta BC în punctul P.
Arată că perimetrul triunghiului BMP este egal cu 6 cm.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea:
4. a) MP ∥ AC, deci △BMP este echilateral - 1p
BM = 2 cm, deci P△BMP = 3BM = 6 cm - 1p
4. b) AD este mediană în triunghiul echilateral ABC, deci BD = 1,5 cm - 1p
Triunghiul DPQ este dreptunghic în D, ∠PQD = 30°, deci PQ = 2DP - 1p
DP = 0,5 cm ⇒ PQ = 1 cm - 1p
4. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O. Punctele A, B, C și D aparțin cercului, astfel încât AB este diametru. Dreptele CD și AB sunt paralele, semidreapta AC este bisectoarea unghiului BAD și CD = 16 cm.
Arată că AD = 16 cm.
Arată baremul
4. a)
AC este bisectoarea unghiului BAD ⇒ ∠DAC = ∠CAB - 1p
CD ∥ AB ⇒ ∠CAB = ∠DCA, de unde obținem ∠DAC = ∠DCA ⇒ triunghiul ADC este isoscel, deci AD = DC = 16 cm - 1p
Scrie rezolvările complete.
În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O. Punctele A, B, C și D aparțin cercului, astfel încât ABCD este pătrat, cu AB = 4 cm. Punctul M este mijlocul arcului mic AD, iar dreptele AD și BM se intersectează în punctul P.
Arată că MO = 2√2 cm.
Arată baremul
4. a) BD = 4√2 cm - 1p
MO = OB = BD/2, deci MO = 2√2 cm - 1p
Demonstrează că tangenta unghiului BPA este egală cu 1 + √2.
Arată baremul
4. b) În triunghiul isoscel OAD, OM este bisectoare, deci OQ este înălțime și mediană, Q este punctul de intersecție a dreptelor OM și AD, de unde obținem OQ = 2 cm și MQ = 2(√2 − 1) cm - 1p
MQ ∥ AB ⇒ △MPQ ∼ △BPA ⇒ MQ/BA = PQ/PA ⇒ (BA + MQ)/BA = (PA + PQ)/PA, deci (2 + 2√2)/BA = 2/PA - 1p
În triunghiul BAP, dreptunghic în A, tg(∠BPA) = BA/PA = (2 + 2√2)/2 = 1 + √2 - 1p
4. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O, în care AB și CD sunt diametre perpendiculare. Punctul M aparține arcului mic BC, dreptele DM și AB se intersectează în punctul N, DN = 6 cm și MN = 3 cm.
Arată că măsura unghiului BMN este egală cu 45°.
Arată baremul
4. a)
AB ⊥ CD ⇒ ⌢BD = 90° - 1p
∠BMN = (1/2) · ⌢BD = 45° - 1p
În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic isoscel ABC, cu AB = AC. Punctul O este mijlocul laturii BC, iar punctele A și D sunt de o parte și de alta a dreptei BC, astfel încât ∠BDC = 90° și ∠BCD = 60°.
Demonstrează că AO = CD.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
4. a)
AO este mediană în triunghiul dreptunghic ABC, deci AO = BC/2 - 1p
În triunghiul dreptunghic DBC, ∠DBC = 30°, deci CD = BC/2, de unde obținem AO = CD - 1p
4. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD, cu AB = 12 cm și BC = 6 cm. Bisectoarea unghiului BCD intersectează latura AB în punctul E și diagonala BD în punctul F.
Arată că perimetrul dreptunghiului ABCD este egal cu 36 cm.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
4. a)
P_ABCD = 2(AB + BC) = - 1p
= 2(12 + 6) = 36 cm - 1p
4. b)
Cum CE este bisectoarea unghiului BCD ⇒ ∠BCE = 45°, deci triunghiul BCE este dreptunghic isoscel ⇒ BE = BC = 6 cm ⇒ BE = AE - 1p
AC ∩ BD = {O}, deci punctul O este mijlocul segmentului AC
BO ∩ CE = {F}, deci punctul F este centrul de greutate a triunghiului ABC - 1p
AF ∩ BC = {M}, deci punctul M este mijlocul segmentului BC, de unde obținem AM = √(AB² + BM²) = 3√17 cm
Cum AF = (2/3) AM, obținem AF = 2√17 cm - 1p
4. În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD, cu AB = 10 cm. Punctul M este mijlocul segmentului AD și punctul N este proiecția punctului B pe dreapta CM.
Arată că aria triunghiului MBC este egală cu 50 cm².
Arată că perimetrul triunghiului MAN este mai mic decât 22 cm.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
4. b) AM este linie mijlocie în triunghiul TBC, unde AB ∩ MC = {T} ⇒ punctul A este mijlocul segmentului TB, deci NA este mediană în triunghiul dreptunghic BNT ⇒ NA = TB/2 = 10 cm - 1p
TC = √(TB² + BC²) = 10√5 cm, BC² = CN · CT ⇒ CN = 2√5 cm, deci MN = 3√5 cm - 1p
P△MAN = AM + MN + NA = 5 + 3√5 + 10 = (15 + 3√5) cm și, cum 3√5 = √45 < √49 = 7, obținem P△MAN < 22 cm - 1p
În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC, cu AB = 6 cm. Punctul G este centrul de greutate al triunghiului ABC și punctul M este simetricul punctului A față de punctul G.
Arată că măsura unghiului ACM este egală cu 90°.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
4. a) AG = GM - 1p
Cum CG = AG ⇒ CG = AM/2 ⇒ triunghiul ACM este dreptunghic, cu ∢ACM = 90° - 1p
În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD cu AB = 12 cm și BC = 9 cm. Punctul E aparține segmentului AC, astfel încât AE = 10 cm. Prin E se duc dreptele QN și PM paralele cu dreptele AB, respectiv BC. Punctele M, N, P și Q aparțin segmentelor AB, BC, CD și respectiv AD.
Arată că AC = 15 cm.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
4. a)
În triunghiul dreptunghic ABC, AC = √(AB² + BC²) = √(12² + 9²) = - 1p
= √225 = 15 cm - 1p
Arată că aria patrulaterului AMEQ este de patru ori mai mare decât aria patrulaterului CNEP.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
4. b)
QN ∥ AB ∥ CD, PM ∥ BC ∥ AD și ∠QAM = ∠PCN = 90°, deci AMEQ și CNEP sunt dreptunghiuri - 1p
PC ∥ AM ⇒ △PEC ∼ △MEA ⇒ PE/ME = PC/AM = EC/EA = 1/2 - 1p
ME = 2·PE, AM = 2·PC ⇒ A_AMEQ = AM·ME = 4·PC·PE = 4·A_CNEP - 1p
4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic ABC, cu ∠A = 90° și ∠B = 40°. Semidreapta BE este bisectoarea unghiului ABC, punctul E aparține segmentului AC. Perpendiculara din punctul A pe BC intersectează dreapta BC în punctul D, iar perpendiculara din punctul E pe BC intersectează dreapta BC în punctul F. Dreptele BE și AD se intersectează în punctul M.
Arată că măsura unghiului EMA este egală cu 70°.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
4. a) ∠ABE = ∠EBC = 20°, deci ∠BMD = 70° - 1p
∠BMD = ∠EMA = 70° - 1p
4. b) EF ⟂ BC, AD ⟂ BC ⇒ EF ∥ AD - 1p
∠AEB = 70° ⇒ ∠AEM = ∠EMA ⇒ ΔEAM este isoscel, deci AE = AM - 1p
ΔEFB ≡ ΔEAB ⇒ EF = EA și, cum AM = EA și EF ∥ AM, obținem că AMFE este romb - 1p
4. În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD. Punctul M aparține laturii CD, iar paralela prin M la dreapta AD intersectează latura AB în punctul N. Bisectoarea unghiului ANM intersectează latura AD în punctul P, iar bisectoarea unghiului MNB intersectează latura BC în punctul Q.
Arată că măsura unghiului PNQ este egală cu 90°.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
4. a)
NP este bisectoarea unghiului ANM, deci ∢PNM = 45° - 1p
NQ este bisectoarea unghiului MNB, deci ∢MNQ = 45°, de unde obținem ∢PNQ = 90° - 1p
Demonstrează că punctele P, O și Q sunt coliniare, unde O este punctul de intersecție a dreptelor AC și BD.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
4. b)
Triunghiurile PAN și NBQ sunt dreptunghice isoscele, deci AN = AP și NB = BQ și, cum ABCD este pătrat, obținem DP = BQ - 1p
Cum DP ∥ BQ, obținem că DPBQ este paralelogram - 1p
AC ∩ DB = {O}, deci punctul O este mijlocul lui DB și, cum DPBQ este paralelogram, rezultă că O este mijlocul segmentului PQ, deci punctele P, O și Q sunt coliniare - 1p
Demonstrează că AM = 4(2 − √3) cm, unde {M} = AB ∩ PD.
Arată baremul
4. b) În triunghiul echilateral APB, PQ ⟂ AB, Q ∈ AB, deci PQ = 2√3 cm și Q este mijlocul lui AB ⇒ AQ = 2 cm - 1p
PQ ∥ AD ⇒ ΔDAM ∼ ΔPQM ⇒ AD/PQ = AM/MQ - 1p
⇒ AM = 4(2 − √3) cm - 1p
4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC cu BC = 10 cm, AC = 20 cm și măsura unghiului ACB este egală cu 30°. Punctul D aparține segmentului AC, astfel încât unghiul DBC este congruent cu BAC.
Arată că aria triunghiului ABC este egală cu 50 cm².
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
4. a)
BP ⟂ AC, P ∈ AC, deci triunghiul BPC este dreptunghic, ∠BCP = 30° ⇒ BP = BC/2 = 5 cm - 1p
𝒜△ABC = (AC · BP)/2 = (20 · 5)/2 = 50 cm² - 1p
4. În figura alăturată sunt reprezentate triunghiurile echilaterale ABC și CDE, cu AB = 8 cm, CD = 4 cm, iar punctele B, C și D sunt coliniare, în această ordine. Punctele M și N sunt mijloacele segmentelor AB, respectiv DE.
Arată că CM = 2 · CN.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
4. a) CM este înălțime în triunghiul echilateral ABC ⇒ CM = 4√3 cm - 1p
CN este înălțime în triunghiul echilateral CDE ⇒ CN = 2√3 cm, deci CM = 2 · CN - 1p
Aria triunghiului MCN reprezintă p% din aria triunghiului ACD. Determină valoarea lui p.
Arată baremul
Răspuns: 75
SUBIECTUL al III-lea
4. b) CM și CN sunt bisectoare în triunghiurile echilaterale ABC, respectiv CDE, deci ∢BCM = ∢DCN = 30°, de unde obținem ∢MCN = 120° - 1p
∢ACD = 120°, deci ∢MCN ≡ ∢ACD și, cum CM/AC = CN/CD = √3/2 ⇒ △MCN ∼ △ACD - 1p
𝒜_MCN/𝒜_ACD = 3/4 = 75/100 = 75% ⇒ p = 75 - 1p
4. În figura alăturată este reprezentat un triunghi ABC cu AB = 12 cm, BC = 9 cm și AC = 15 cm. Punctul D este simetricul punctului B față de mijlocul segmentului AC, punctul M este mijlocul segmentului CD și N este punctul de intersecție a dreptelor BM și AC.
Demonstrează că BN = 2 · MN.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
4. a)
ABCD paralelogram ⇒ AB ∥ CD - 1p
△ABN ∼ △CMN, BN/MN = AB/CM, deci BN = 2 · MN - 1p
4. b)
Cum 12² + 9² = 15², obținem că triunghiul ABC este dreptunghic în B - 1p
AN/CN = AB/CM = 2 ⇒ AN/AC = 2/3 - 1p
NT ⟂ AB, unde T ∈ AB ⇒ NT ∥ BC, deci △ATN ∼ △ABC, de unde obținem NT/BC = 2/3, deci distanța de la N la AB este NT = 6 cm - 1p
4. În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD și triunghiul echilateral CDE cu EC = 6 cm. Dreptele EC și AB se intersectează în punctul P.
Arată că CP = 4√3 cm.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
4. a) CD ∥ AP și EP secantă, obținem că ∠DCE = ∠BPC = 60°, deci ∠BCP = 30° ⇒ CP = 2 · BP - 1p
În triunghiul BCP dreptunghic în B, CP² = BP² + BC² ⇒ BP = 2√3 cm, deci CP = 4√3 cm - 1p
Arată că distanța de la punctul P la dreapta AE este egală cu √2(3 + 2√3) cm.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
4. b) ∠ADE = 150°, AD = DE, deci triunghiul ADE este isoscel și ∠AED = 15° ⇒ ∠AEP = 45° - 1p
EP = 6 + 4√3 cm - 1p
PQ ⟂ AE, Q ∈ AE, în triunghiul dreptunghic PQE, sin(∠QEP) = PQ/EP ⇒ PQ = √2(3 + 2√3) cm, deci d(P,AE) = √2(3 + 2√3) cm - 1p
4. În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic ABCD cu AB ∥ CD și ∠BAD = 90°. Dreptele AC și BD sunt perpendiculare, BD = 10 cm și AD = 6 cm.
Arată că perimetrul triunghiului DAB este egal cu 24 cm.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
4. a) ΔDAB dreptunghic în A ⇒ AB = √(BD² − AD²) = 8 cm - 1p
P_ΔDAB = AB + BD + DA = 24 cm - 1p
4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC, cu AB = 8 cm. Notăm cu M mijlocul laturii AB și construim din M perpendiculara pe AC, care intersectează pe AC în P și paralela prin C la AB în D.
Arată că CD = 12 cm.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
4. a) ΔAMP ∼ ΔCDP ⇒ AM/CD = AP/CP - 1p
AP = 2 cm, deci CD = 12 cm - 1p
4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC, cu AB = 8 cm. Notăm cu M mijlocul laturii AB și construim din M perpendiculara pe AC, care intersectează pe AC în P și paralela prin C la AB în D.
(2p) a) Arată că CD = 12 cm.
Calculează aria trapezului AMCD.
Arată baremul
Răspuns: 32√3 cm²
SUBIECTUL al III-lea
4. b) CM = 4√3 cm - 1p
𝒜_AMCD = ((AM + CD) · CM)/2 = 32√3 cm² - 2p
Știind că punctul N aparține segmentului DM astfel încât DN = 4 cm și punctul P este centrul de greutate al triunghiului BCD, demonstrează că dreptele NP și AC sunt paralele.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
4. b) CP/CO = 2/3, unde O este mijlocul segmentului BD și, cum DN = 2/3 DM și punctul M este mijlocul segmentului AB, obținem N este centrul de greutate în △ADB, deci AN/AO = 2/3 - 2p
AN/AO = CP/CO ⇒ NP ∥ AC - 1p
