Subiectul al II-lea, 6., toate variantele

n ∗ p = (n − 2)(p − 1) + 2, deci (n − 2)(p − 1) + 2 = p - 2p (n − 3)(p − 1) = −1, de unde obținem perechile (2,2) și (4,0) - 3p

(n + 1) ∗ (n + 2) = (n + 2)(n + 3) + 9, pentru orice număr natural n - 2p n = 3m, unde m este număr natural, deci (n + 1) ∗ (n + 2) = 3((3m + 2)(m + 1) + 3), de unde rezultă că numărul natural (n + 1) ∗ (n + 2) este divizibil cu 3 - 3p

x ∗ (1/x) = 1 − 6(x² + 1)/x + 14 = 12 − 6(x² + 1)/x + 3 = - 2p = −6(x² − 2x + 1)/x + 3 = −6(x − 1)²/x + 3 ≤ 3, pentru orice x ∈ (0,+∞) - 3p

6. (a − 9)(b − 9) + 9 = 12 ⇔ (a − 9)(b − 9) = 3 - 2p Cum a și b sunt cifre, a ≠ 0, obținem numerele 68 și 86 - 3p

n ∘ (1/n) = 17−5n−5/n, pentru orice număr natural nenul n - 2p Cum n ∘ (1/n) și n sunt numere naturale, obținem n = 1, care convine și n = 5, care nu convine - 3p

(log₂ x) ∘ (logₓ 2) = 1/(log₂ x) + 1/(logₓ 2) + 1, pentru orice x ∈ (1, +∞) - 2p 1/(log₂ x) + 1/(logₓ 2) + 1 = 7/2 și, cum 1/(logₓ 2) = log₂ x, obținem log₂ x = 2 sau log₂ x = 1/2, de unde rezultă x = 4 sau x = √2, care convin - 3p

x ∘ (2/3) = (2/3) ∘ x = 2/3, pentru orice număr real x - 3p ((1/2) ∘ (2/3)) ∘ ((3/4) ∘ (4/5)) = (2/3) ∘ ((3/4) ∘ (4/5)) = 2/3 - 2p

x² + 1/x² − 4 ≥ −2 ⇔ x² + 1/x² − 2 ≥ 0, pentru orice număr real nenul x - 2p (x − 1/x)² ≥ 0, deci x² ∗ (1/x²) ≥ −2, pentru orice număr real nenul x - 3p

6. 3 ∗ x = 3, pentru orice număr real x - 2p 3 ∗ 4 ∗ 5 ∗ … ∗ 2023 = 3 ∗ (4 ∗ 5 ∗ … ∗ 2023) = 3 - 3p

−(1/3)(1/x − 1)² + 1 ≤ 1 ⇔ −(1/3)(1/x − 1)² ≤ 0 - 3p (1/x − 1)² ≥ 0, deci (1/x) ∗ (1/x) ≤ 1, pentru orice număr real nenul x - 2p

SUBIECTUL al II-lea, 6. √3 ∗ √4 ∗ √5 ∗ … ∗ √2022 = √3 ∗ (√4 ∗ √5 ∗ … ∗ √2022) = - 3p = √3 - 2p

(a + 5)(b + 5) = −1 - 3p Cum a și b sunt numere întregi, obținem perechile (a,b) de numere întregi (−6,−4) și (−4,−6) - 2p

SUBIECTUL al II-lea / 6. a ∗ 1 = 1, a ∗ 2 = 4 − 3a, a ∗ 3 = 7 − 6a, deci (a ∗ 1) + (a ∗ 2) + (a ∗ 3) = 12 − 9a, pentru orice număr real a - 3p 12 − 9a = 3a² ⇔ a² + 3a − 4 = 0, de unde obținem a = −4 sau a = 1 - 2p

6. (x/2) ∗ (x/4) = 3x − 3, x ∗ ((x/2) ∗ (x/4)) = 16x − 15, pentru orice număr real x - 3p 16x − 15 − x = x − 1, de unde obținem x = 1 - 2p

lg x ∗ lg x = (2 lg x)/3 − 4, (−3) ∗ lg(1/x) = (−3 − lg x)/3 − 4, pentru orice x ∈ (0, +∞) - 2p (2 lg x)/3 − 4 = (−3 − lg x)/3 − 4, deci lg x = −1, de unde obținem x = 1/10, care convine - 3p

x ∗ (mx) = x²(1 − 4m)(m − 4) + 4, pentru orice numere reale x și m - 2p x²(1 − 4m)(m − 4) + 4 = 4, pentru orice număr real x, deci (1 − 4m)(m − 4) = 0, de unde obținem m = 1/4 sau m = 4 - 3p

4ᵐ ∗ (n + 1) = (4ᵐ − 1) ∗ n, de unde obținem 4ᵐ + n = 8 - 3p Cum m și n sunt numere naturale, obținem perechile (0, 7) și (1, 4) - 2p

6. m ∘ n = (m + n − 2)/2, pentru orice numere naturale m și n - 2p (m + n − 2)/2 ≤ 0 ⇔ m + n ≤ 2 și, cum m și n sunt numere naturale, cu m < n, obținem perechile (0,1) și (0,2) - 3p

7 − (1/6)(b−6)(c−6) = −5 și, cum c = b + 6, obținem b² − 6b − 72 = 0 - 3p b = −6 sau b = 12, deci tripletele sunt (−12,−6,0) și (6,12,18) - 2p

Reguli generale:

SUBIECTUL al II-lea / 6. (1/2)(4ˣ − 2)(8ˣ − 2) + 2 = 2 ⇔ (2²ˣ − 2)(2³ˣ − 2) = 0 - 3p x = 1/2 sau x = 1/3 - 2p

m ∘ n = 8 ⇔ 3(m − 2)(n − 2) + 2 = 8 - 3p (m − 2)(n − 2) = 2 și, cum m și n sunt numere naturale nenule, obținem m = 4 și n = 3 sau m = 3 și n = 4, deci m + n = 7 - 2p

a ∘ 1 = 9a + 64, a ∘ 2 = 10a + 72 - 3p 18a + 128 = 11a + 72, de unde obținem a = −8 - 2p

Reguli generale:

SUBIECTUL al II-lea, 6. x ∘ 3 = 3 ∘ x = 3, pentru orice număr real x - 2p (√1 ∘ √2 ∘ … ∘ √8) ∘ √9 ∘ (√10 ∘ … ∘ √2023) = 3 ∘ (√10 ∘ … ∘ √2023) = 3 - 3p

6. (log₂x + 1/2) ∘ (log₃x + 1/2) = 2(log₂x + 1/2 − 1/2)(log₃x + 1/2 − 1/2) + 1/2 = 2·log₂x·log₃x + 1/2, 3p 2·log₂x·log₃x + 1/2 = 1/2 ⇔ log₂x·log₃x = 0, de unde obținem x = 1, care convine 2p

−((m−1)(n−1))/3 + 1 = −1 ⇒ (m−1)(n−1) = 6 - 2p Perechile (m,n) de numere naturale sunt: (2,7); (3,4); (4,3); (7,2) - 3p

SUBIECTUL al II-lea, 6. 3(3ˣ + 7/3)² − 7/3 = 83 ⇔ (3ˣ + 7/3)² = 256/9 - 2p Cum 3ˣ > 0, obținem 3ˣ + 7/3 = 16/3 ⇒ 3ˣ = 3, deci x = 1 - 3p

Reguli generale:

SUBIECTUL al II-lea / 6. m ∗ n ∗ p = ((m − 1)(n − 1)(p − 1))/4 + 1, pentru orice numere naturale m, n și p - 3p ((m − 1)(n − 1)(p − 1))/4 + 1 = 8 ⇔ (m − 1)(n − 1)(p − 1) = 28 și, cum m, n și p sunt numere naturale, cu m < n < p, obținem tripletele (2, 5, 8) și (2, 3, 15) - 2p