Subiectul al II-lea, 5., toate variantele

4 ∗ a = 2a, 4 ∗ (4 ∗ a) = 4a, pentru orice număr real a - 2p 4a = 1/a, de unde obținem a = −1/2 sau a = 1/2, care convin - 3p

(x−9)∗(9−√x)=(x−8)(10−√x)+9, pentru orice x∈[0,+∞) - 2p (x−8)(10−√x)+9=9, deci (x−8)(10−√x)=0, de unde obținem x=8 sau x=100, care convin - 3p

5. (1 + 3ˣ) ∗ (1 − 3ˣ) = −3²ˣ + 3, pentru orice număr real x - 3p −3²ˣ + 3 = 0 ⇔ 3²ˣ = 3, de unde obținem x = 1/2 - 2p

5. x ∗ 9 = 9 și 9 ∗ y = 9, pentru orice numere reale x și y - 2p 3⁰ ∗ 3¹ ∗ 3² ∗ 3³ ∗ 3⁴ = (3⁰ ∗ 3¹) ∗ 9 ∗ 3³ ∗ 3⁴ = 9 ∗ (3³ ∗ 3⁴) = 9 - 3p

SUBIECTUL al II-lea, 5. x ∘ x = 2(x − 5/2)² + 5/2, pentru orice număr real x - 2p 2(x − 5/2)² + 5/2 = x, de unde obținem 2(x − 5/2)² − (x − 5/2) = 0, deci x = 5/2 sau x = 3 - 3p

(n + 1) ∘ (n + 1) = 2/(n + 1) + 1, pentru orice număr natural n - 2p (n + 1) ∘ (n + 1) este număr natural dacă n + 1 este divizor natural al lui 2, de unde obținem n = 0 și n = 1, care convin - 3p

x ∘ y = 3xy − 2x − 2y + 4/3 + 2/3 = 3x(y − 2/3) − 2(y − 2/3) + 2/3 = - 3p = 3(x − 2/3)(y − 2/3) + 2/3, pentru orice numere reale x și y - 2p

4ˣ ∗ 2ˣ = 4ˣ + 2ˣ − 4, pentru orice număr real x - 2p 4ˣ + 2ˣ − 6 = 0 ⇔ (2ˣ − 2)(2ˣ + 3) = 0, de unde obținem x = 1 - 3p

5. 9ˣ ∗ 3ˣ = (9ˣ − 3)(3ˣ − 3) + 3, pentru orice număr real x - 2p (3²ˣ − 3)(3ˣ − 3) = 0, de unde obținem x = 1/2 sau x = 1 - 3p

5. x ∗ x = −(1/3)(x−1)² + 1, pentru orice număr real x - 2p −(1/3)(x−1)² + 1 = −2 ⇔ (x−1)² = 9, de unde obținem x = −2 sau x = 4 - 3p

SUBIECTUL al II-lea, 5.: √3 ∗ x = (√3 − √3)(x − √3) + √3 = - 2p = 0 · (x − √3) + √3 = √3, pentru orice număr real x - 3p

(−x) ∘ (−y) = xy − 5x − 5y + 7, pentru orice numere reale x și y - 2p (xy − 5x − 5y + 7) + (−xy − 5x + 5y + 7) + (−xy + 5x − 5y + 7) + (xy + 5x + 5y + 7) = 28, pentru orice numere reale x și y - 3p

1 − 3(m − 1)(n − 1) = 19 ⇔ (m − 1)(n − 1) = −6, unde m și n sunt numere naturale - 2p m și n sunt numere naturale, deci m − 1 ≥ −1 și n − 1 ≥ −1, de unde obținem (0,7) și (7,0) - 3p

2ˣ ∗ 2ˣ = 8 · 2ˣ − 3, pentru orice număr real x - 2p 8 · 2ˣ − 3 = 1 ⇔ 2ˣ = 1/2, de unde obținem x = −1 - 3p

(2n) ∗ n = n − 4, (3n) ∗ ((2n) ∗ n) = (4n − 16)/3, pentru orice număr natural n - 2p (4n − 16)/3 ≤ −n, deci 7n ≤ 16 și, cum n este număr natural, obținem n = 0, n = 1, n = 2 - 3p

(x − 1) ∗ x = 9x(x − 1), (x + 1) ∗ (x + 2) = 9(x + 1)(x + 2), pentru orice număr real x - 3p 9x(x − 1) = 9(x + 1)(x + 2), de unde obținem x = −1/2 - 2p

5. x − 4 ≥ 0, y − 4 ≥ 0, de unde obținem (x − 4)(y − 4) ≥ 0 - 3p (1/4)(x − 4)(y − 4) + 4 ≥ 4, deci x ∗ y ∈ [4, +∞) - 2p

(x² + 3) ∘ (4x + 5) = (x² + 3 + 4x + 5)/2 − 1 = (x² + 4x + 6)/2, pentru orice număr real x - 2p (x² + 4x + 6)/2 = (x² + 4x + 4)/2 + 1 = (x + 2)²/2 + 1 ≥ 1, pentru orice număr real x - 3p

0 ∘ x = x + 1, (0 ∘ x) ∘ (x + 1) = 7 − (1/6)(x − 5)², pentru orice număr real x - 3p 7 − (1/6)(x − 5)² = 1, deci (x − 5)² = 36, de unde obținem x = −1 sau x = 11 - 2p

x ∘ x = (1/2)(x − 2)² + 2, deci (1/2)(x − 2)² + 2 = 4 - 2p (x − 2)² = 4, de unde obținem x = 0 sau x = 4 - 3p

x ≥ 2 și y ≥ 2 ⇒ x − 2 ≥ 0 și y − 2 ≥ 0, deci (x − 2)(y − 2) ≥ 0 - 2p x ∘ y = 3(x − 2)(y − 2) + 2 ⇒ x ∘ y ≥ 2, pentru orice numere reale x ≥ 2 și y ≥ 2 - 3p

2ˣ ∘ (−7) = 2ˣ - 3p 2ˣ = 2⁴, de unde obținem x = 4 - 2p

5. x ∘ y = ⅓xy − ⅓·3x − y + 3 + 3 = - 2p = ⅓x(y − 3) − (y − 3) + 3 = (y − 3)(⅓x − 1) + 3 = ⅓(x − 3)(y − 3) + 3, pentru orice numere reale x și y - 3p

5. (1/3) ∘ (2/4) ∘ (3/5) ∘ … ∘ (2020/2022) = ((1/3) ∘ (1/2)) ∘ (3/5) ∘ … ∘ (2020/2022) = - 2p = (1/2) ∘ ((3/5) ∘ … ∘ (2020/2022)) = 1/2 - 3p

n ∗ n = −(n − 1)²/3 + 1, n ∗ n ∗ n = (n ∗ n) ∗ n = (−(n − 1)²/3 + 1) ∗ n = (n − 1)³/9 + 1 - 3p ((n − 1)(n − 4)(n + 2))/9 ≤ 0, n număr natural ⇒ n = 4 este cel mai mare număr natural căutat - 2p

5. x ∗ (1/x) ≥ 31 ⇔ 3 · x · (1/x) + 7(x + 1/x) + 14 ≥ 31 ⇔ x + 1/x ≥ 2 - 3p x + 1/x − 2 ≥ 0 ⇔ (x − 1)²/x ≥ 0, adevărat pentru orice număr real x, x > 0 - 2p

N = (√n + 1) ∗ (√n + 1) = n/2 + 1, pentru orice număr natural n - 2p De exemplu, pentru n = 4k + 2, unde k ∈ ℕ, obținem că N = 2(k + 1), care este număr natural par - 3p