Subiectul al III-lea, 3., toate variantele

det(A(x)) = 2x² − 5x + 4, pentru orice număr real x - 2p 2x² − 5x + 4 = x, deci x² − 3x + 2 = 0, de unde obținem x = 1 sau x = 2 - 3p

A−2I₂ = ⎛−1  −1⎞
         ⎝ 3  −1⎠ - 2p

⎛−1  −1⎞   ⎛a  a⎞
⎝ 3  −1⎠ = ⎝b  a⎠,

de unde obținem a=−1 și b=3 - 3p

3. M(2) = [[2, 6], [2, 2]], M(−2) = [[2, −6], [−2, 2]], M(2)·M(−2) = [[−8, 0], [0, −8]] = −8I₂ - 3p aI₂ = −8I₂, de unde obținem a = −8 - 2p

3. det(M(a)) = | a 1 | = −a² + 2a + 3, pentru orice număr real a - 3p |−3 2−a| −a² + 2a + 3 = 0, de unde obținem a = −1 sau a = 3 - 2p

det(A(a+1)) = a+1, pentru orice număr real a - 3p a+1 = 2a², de unde obținem a = −1/2 sau a = 1 - 2p

3. A(a) + A(−a) =

⎛a + 2    2  ⎞ + ⎛−a + 2     2   ⎞ = ⎛4    4 ⎞ =
⎝  2    a − 6⎠   ⎝   2    −a − 6⎠   ⎝4  −12⎠

- 3p

= 2⎛2   2⎞ = 2A(0), pentru orice număr real a
   ⎝2  −6⎠

- 2p

det(A(a)) = |a + 1 −1| | 1 a − 1| = (a + 1) · (a − 1) − 1 · (−1) = a², pentru orice număr real a - 3p a² = a, de unde obținem a = 0 sau a = 1 - 2p

A · A − xI₂ = [[1 − x, 0], [0, 1 − x]], deci det(A · A − xI₂) = (1 − x)², pentru orice număr real x - 3p (1 − x)² = 0, de unde obținem x = 1 - 2p

3. det(B(a) + A) = |a + 1, 3; 3, a + 1| = (a + 1)² − 3² - 3p a = 2 sau a = −4 - 2p

A(2x, 0) + A(0, 2x) =

⎛ 2x  0 ⎞   ⎛ 0  2x ⎞   ⎛ 2x  2x ⎞
⎝  1  2 ⎠ + ⎝ 1   2 ⎠ = ⎝  2   4 ⎠ = - 3p
= 2 · ⎛ x  x ⎞ = 2A(x, x), pentru orice număr real x - 2p
      ⎝ 1  2 ⎠

A · B = ⎛1  0⎞⎛ 1  0⎞ = ⎛1  0⎞ = I₂
        ⎝3  1⎠⎝−3  1⎠   ⎝0  1⎠

- 2p

B · A = ⎛ 1  0⎞⎛1  0⎞ = ⎛1  0⎞ = I₂ = A · B
        ⎝−3  1⎠⎝3  1⎠   ⎝0  1⎠

- 3p

X(−1) = I₂ − A - 2p X(1) = I₂ + A, deci X(−1) + X(1) = I₂ − A + I₂ + A = 2I₂ - 3p

A·A = ⎛  3  −5 ⎞ - 3p
      ⎝ −10  18 ⎠
B(5) = ⎛  3  −5 ⎞, deci A·A = B(5) - 2p
       ⎝ −10  18 ⎠

SUBIECTUL al III-lea, 3.

B(3) = ⎛2   5⎞
       ⎝1  −2⎠
⇒ B(1) · B(3) = ⎛ 7   4⎞
                 ⎝−4  −1⎠ - 3p

B(1) · B(3) − 3I₂ = ⎛ 4   4⎞
                     ⎝−4  −4⎠
= 2 ⎛ 2   2⎞
    ⎝−2  −2⎠

= 2B(0) - 2p

A · A = ⎛1  −6⎞
        ⎝0   4⎠ - 3p
A · A + A = ⎛2  0⎞
            ⎝0  2⎠
= 2 ⎛1  0⎞
    ⎝0  1⎠

= 2I₂ - 2p

A(5) = ⎛ 5  −3 ⎞
       ⎝ 4  −2 ⎠,
3I₂ − A(5) = ⎛ −2  3 ⎞
             ⎝ −4  5 ⎠,
A(5) · (3I₂ − A(5)) = ⎛ −10 + 12  15 − 15 ⎞
                       ⎝ −8 + 8    12 − 10 ⎠ = - 3p
= ⎛ 2  0 ⎞
  ⎝ 0  2 ⎠ = 2I₂ - 2p

3.

B(−2)·B(5) = ⎛0   3⎞·⎛7  3⎞ = ⎛6   9⎞ = 3⎛2   3⎞ = 3B(0)
             ⎝2  −4⎠ ⎝2  3⎠   ⎝6  −6⎠    ⎝2  −2⎠ - 3p

aB(0) = 3B(0), de unde obținem a = 3 - 2p

3. A(0)·A(0) = [[(−1)·(−1) + 0·0, (−1)·0 + 0·1], [0·(−1) + 1·0, 0·0 + 1·1]] = - 3p = [[1, 0], [0, 1]] = I₂ - 2p

B(−1) + aA = ⎛−2  −2 + a⎞
             ⎝ 2     1  ⎠ ⇒ det(B(−1) + aA) = 2 − 2a, pentru orice număr real a - 3p

2 − 2a = 0, de unde obținem a = 1 - 2p

det(B(a)) = a² + 5a − 5, pentru orice număr real a - 3p a² + 5a − 5 = a, de unde obținem a = −5 sau a = 1 - 2p

X(a) = ⎛1 + 3a    6a⎞
       ⎝  −a    1 − 2a⎠

⇒ det(X(a)) = 1 + a - 3p 1 + a = 2a², de unde obținem a = −1/2 sau a = 1 - 2p

M(−1)·M(1) = ⎛−5  −3⎞
              ⎝−2  −6⎠,
B = (−1)·M(−1)·M(1) = ⎛5  3⎞
                       ⎝2  6⎠ - 3p

5 + 3 + 2 + 6 = 16, care este pătratul numărului natural 4 - 2p

3.

det(B(q − 1)) = │q + 1    1  │ = q² − 2, pentru orice număr rațional q
                │  1    q − 1│ - 2p

q² − 2 = 0 ⇒ q = −√2 ∉ ℚ sau q = √2 ∉ ℚ, deci B(q − 1) este inversabilă pentru orice număr rațional q - 3p

3. M(2)·M(4) = (2I₂ + A)(4I₂ + A) = 8I₂ + 6A + 4I₂ = 3p = 12I₂ + 6A = 6(2I₂ + A) = 6·M(2) 2p

A·A = ⎡ 2   3 ⎤·⎡ 2   3 ⎤ = ⎡ 7  0 ⎤, aI₂ = ⎡ a  0 ⎤
      ⎣ 1  −2 ⎦ ⎣ 1  −2 ⎦   ⎣ 0  7 ⎦        ⎣ 0  a ⎦ - 3p
⎡ 7  0 ⎤ = ⎡ a  0 ⎤ ⇒ a = 7
⎣ 0  7 ⎦   ⎣ 0  a ⎦ - 2p

3.

det(A(a)) = │3  a│
            │a  3│ = 9 − a², pentru orice număr real a - 2p

9 − a² = −16 ⇔ a² − 25 = 0, de unde obținem a = −5 sau a = 5 - 3p

A · A = ⎛−2   6⎞
        ⎝−2  −2⎠,
B(3) = (A · A) · A = ⎛−8   0⎞
                      ⎝ 0  −8⎠ = −8I₂ - 3p

−8I₂ = aI₂, de unde obținem a = −8 - 2p